基于拟范数正则化的稀疏投资组合选择

此外，设K+=|(R)P+|和K-= |\'\'P-|, andLji=\'Qjii-Kj（\'Qje）i+（Kj）（eT\'Qje），i∈(R)Pj，代表j∈ {+，-},其中是'qjon到向量e的零空间的投影的对角线项：我-克吉特(R)Qj我-克吉特.那么它认为（i）’P+∩\'\'P-= .（ii）（K）+-1） （K+）3/2≤δ+13/2磅∈\'P+Liλ=δ+13/2λhtr（(R)Q+）-K+eT'Q+eiand（K--1） （K）-)3月2日≤δ- 1.3/2磅∈\'\'P-Liλ=δ- 1.3/2λhtr（(R)Q-)-K-eT'Q-ei。（iii）对于某些i，如果Li=0∈(R)P+（或i∈\'\'P-), 那么K+=1（或K-= 1） ；否则，\'xji≥λ（Kj- 1） 4Lji（千焦）2/3，i∈(R)Pj，代表j∈ {+，-}.证明：请参见附录I中的证明。定理3.3设‘‘x=（’x+，’x-) 是（2.11）、‘P＋和‘P’的任何二阶KKT解-是“x”和“x”的支持-, 和“P=”P+∪\'\'P-. 此外，设Q是对应于P的子午线子矩阵，K=| P |，li=| Qii+2u-K（\'Qe）i+（K）（eT\'Qe），i∈(R)P。那么它认为（i）’P+∩\'\'P-= .（ii）如果k'xk≤ δ、 然后（K- 1） K3/4≤4δ3/2Pi∈\'PLiλ=4δ3/2λhtr（\'Q）-KeT’Qei。（ii）对于某些i，如果Li=0∈\'P，然后K=1，因此\'xi=1和i∈(R)P+；否则，\'xji≥λ（K- 1） 4LiK公司2/3，i∈(R)P。证明：请参见附录I中的证明。上述理论表明，计算“p-范数正则化投资组合管理问题（2.4）和（2.9）”的二阶KKT解而不仅仅是一阶KKT解的重要性。在本文中，我们提出了一种内点算法来计算多项式时间内具有固定误差容限的近似第二个KKT点；详见附录二。

使用内点算法的总体思路是从每个考虑中的股票的完全支持的投资组合x（即x>0）开始，并在过程结束时迭代消除一部分股票。3.2 Li的特征在支持我们模型的理论中（见第3.1节），出现了一些有趣的事实和特征，需要注意的是“p-范数正则化马科维茨模型选择的投资组合的支持集的“预测方差”{Li}。给定任何股票组合，非零部分表示为x，支持p大小为K，可以重写定理3.1中的数量Li，如下所示：Li=（ei- e） T’Q（ei- e） =Var[ηT（ei- e） ]，（3.1）ei∈ Rk是除第i个位置的1外的所有零的向量，e=Ke∈ Rk。这里，Ei和eare是通过100%投资于股票i和投资组合x的每支股票而获得的各自分布，η表示投资组合的随机回报向量。注意，Li，i=1。。。，K、 与x的输入值无关。差异向量（ei- e） 可以被视为“成本中性投资组合行动”，出售当前投资组合中同等数量的所有资产，并使用所有这些资金购买当前投资组合中的一只股票，即股票i。因此，Liestimate了该动作的方差。现在让我们考虑拉格朗日形式的马科维茨模型的可行解和最优解：minxTQx- φmTxs。t、 eTx=1，x≥ 0，（3.2），其中φ是与预期收益不等式相关的拉格朗日乘数。对于任何分配组合，表示为x-one的非零部分可以绘制向可行交换方向ei移动的目标函数- e： f[x+ε（ei- e） ]=[x+ε（ei- e） ]TQ[x+ε（ei- e） ]- φmT[x+ε（ei- e） ]（3.3）=f（x）+εCov[xTη，（ei- e） Tη]- εφ（(R)mi- \'m）+εli我们现在考虑当我们从投资组合x中移除时，哪种股票的方差增加最小。

假设我们沿着ei方向移除库存i- e、 然后我们有一个新的投资组合支持P/{i}，分布为x=x-KxiK公司-1（ei-e） 。方程（3.3）将给出稀疏性的边际成本（3.4）MCSi=-KK公司- 1xi[Cov（xTη，（ei- e） Tη）- φ（(R)mi- \'m）]+（KK- 1） 西丽。这些边际成本只是稀疏性真正成本的上界。他们没有考虑通过重新平衡可以做出任何进一步的改进，thusover估计了成本。当我们当前的投资组合x接近KKT点或局部极小值时，我们从一阶条件中知道，第一部分[Cov（xTη，（ei-e） Tη）-φ（(R)mi- “\'m）]必须接近零，因此二阶项本身将是边际成本的良好近似值。因此，在接近（局部）最优的投资组合x中，可以通过搜索xi的最小值来找到移除的最佳候选者√李。相对稀疏成本指数（3.5）RSCi=xipli，其中最小的非零RSC指数是从x中剔除的最便宜（边际上），并且可能是去除的最便宜（绝对）。因此，数量可以被视为弹性的度量：它们表明objectivevalue对x中微小的成本中性变化有多敏感；因此，较小的LIV值表明哪些股票可以以最低成本从投资组合中移除。3.3 f（x；ei）的财务解释- e） 和ε*I成本中性投资组合行动ei公司- e | i∈ [1，n]形成可行方向的基础，因此目标沿这些方向的方向导数形成敏感性分析方法。f（x，ei- e） =Cov[xTη，（ei- e） Tη]- φ（mi- m）（3.6），其中m是支持x的所有股票的预期回报的平均值。在最佳点，这些衍生工具必须为零。