如果a、b∈ R++,α,β∈ R、 σ,σ∈ R++, ∈ (-1,1)和(Y,X)=(Y,X)∈R++×R,则(3.4)中给出的(c,d,γ,δ)的CLSE(bcCLSEn,bdCLSEn,bγCLSEn,bδCLSEn)是强一致且渐近正态的,即。,(bcCLSEn、bdCLSEn、bγCLSEn、bδCLSEn)a.s。-→ (c,d,γ,δ)为n→ ∞,和√NbcCLSEn公司- cbdCLSEn公司- dbγCLSEn- γbδCLSEn- δL-→ N(0,E)为N→ ∞,对于一些显式给定的对称正定义矩阵E∈ R2×2插入(3.14)。证据根据(3.4),我们得到“bcCLSEnbdCLSEn#=nXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1nXi=1“Yi-1#易=nXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1.nXi=1“Yi-1#“易”-1个#“cd#+nXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1nXi=1“Yi-1#(彝语)- C- dYi公司-1) =“cd#+nnXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1nnXi=1“Yi-1#εi,(3.5),其中εi:=Yi- C- dYi公司-1,我∈ N、 前提是nPni=1Yi-1> (Pni=1Yi-1) 。根据(3.1)和(3.3),E(Yi | Fi-1) =dYi-1+c,i∈ N、 因此(εi)i∈Nis是关于过滤(Fi)i的一系列鞅差∈Z+。通过(2.1),我们得到yi=e-bYi公司-1+aZii-1e级-b(一)-u) du+σZii-1e级-b(一)-u) pYudWu=dYi-1+c+σZii-1e级-b(一)-u) 我是pYudWu∈ N、 因此,根据Karatzas和Shreve[12]中的命题3.2.10和(2.2),我们得到了(εi | Fi)-1) =σE齐伊-1e级-b(一)-u) 俾德乌金融机构-1.= σZii-1e级-2b(一)-u) E(Yu | Fi-1) du=σZii-1e级-2b(一)-u) e类-b(u-i+1)易-1du+σZii-1e级-2b(一)-u) 阿祖伊-1e级-b(u-v) dv du=σYi-1尺寸-b(2-v) dv+σaZZue-b(2-五、-u) dv du=:CYi-现在我们将定理2.5应用于平方可积的martin gale M(C)n:=Pni=1εi,n∈ N、 具有可预测的二次变化过程hM(c)in=Pni=1E(εi | Fi-1) =CPni=1Yi-1+Cn,n∈ N、 例如,见Shiryaev【16,第七章,第1节,公式(15)】。根据(2.5)和(2.7),hM(c)inna。s-→ CE(Y∞) + Cas号→ ∞,因为C,C∈ R++,hM(c)ina。s-→ ∞ 作为n→ ∞. 因此,根据定理2.5,(3.6)nnXi=1εi=M(c)nhM(c)inhM(c)inna。s-→ 0·(CE(Y∞) + C) =0为n→ ∞.同样,E(Yi-1εi | Fi-1) =易-1E(εi | Fi-1) =CYi-1+CYi-1,我∈ N、 并且,通过与之前基本相同的推理,nPni=1Yi-1εia。s-→ 0作为n→ ∞.
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