将波动率微笑纳入马尔可夫函数模型

随后将介绍UVDDmodel。置换扩散模型（以下简称DD）我们在此设置中假设远期计量下掉期利率Sn（t）的动态如下，dSn（t）=σN（Sn（t）+mn）dWn，N+1t。（3.2）参数mn称为位移系数。根据等式A.6到A.7的相同推理，我们可以推导数字接收器接收值的闭合形式解，DSNn（0；K）=Pn（0）Φ（log（K+mnSn（0）+mn）+σnTnσn√Tn）。（3.3）类似地，欧洲掉期期权的值由ESNN（0；K）=ДPn（0）（（Sn（0）+mn）Φ（Дd+）给出- （K+mn）Φ（Дd-)) （3.4）d±=对数（Sn（0）+mnK+mn）±σnTnσn√Tn，其中，对于付款人欧洲掉期期权，Д为1，对于收款人欧洲掉期期权，则为-1。图3.1：各种位移系数值的隐含偏差。位移系数可用于生成隐含波动率的倾斜形状。位移系数的正值产生向下倾斜的倾斜，而负值产生向上倾斜的倾斜。后者是不现实的，不应使用。我们在图3.1中报告了各种位移系数值的隐含偏差。mn=0%的情况对应于通常的对数正态模型。我们使用了与附录E.1.1中的数据集I和附录E.2.3.1中的交易I相对应的市场数据，将波动率微笑纳入MF模型17。测试工具是在第五个浮动重置日到期的欧洲掉期期权，即T，货币掉期利率为5.45%。调整参数σ，使所有情况下的隐含ATM波动率相同。更准确地说，我们确定σ，使得UVDD ATM价格等于BS ATM价格。DD模型只能包含波动率偏斜，但市场数据表明，掉期期权的波动率报价通常是一个微笑形状[9]。

因此，DD模型不足以描述市场报价。UVDD模型在UVDD设置中，假设Sn（t）+mn具有以下动态Sn（t）=（σn（Sn（t）+mn）dWn，n+1tt∈ [0，ε]ηn（Sn（t）+mn）dWn，n+1tt>ε，（3.5），其中σnis是一个常数，ηnis是一个独立于Wn的随机变量，n+1可以取以下值，ηn=概率为λn的σn概率为λn的σn。。。σMn，概率λMn，（3.6），其中∑Mi=1λin=1。用P表示在正向测度qn，N+1下的风险中性概率，我们有P{Sn（t）+mn≤ y} =σMi=1P{{Sn（t）+mn≤ y}∩{ηn=σin}=σMi=1λiP{Sin（t）+mn≤ y |ηn=σin}，（3.7）微分方程3.7关于y，我们得到了n（t）+mn，pn，t（y）的概率密度函数=yP{Sn（t）+mn≤ y} =σMi=1λinyP{Sin（t）+mn≤ y |ηn=σin}=∑Mi=1λinpin，t（y），（3.8），其中pin，t（y）是具有恒定挥发性σin的位移对数正态变量的密度。数字接收机swoption的值可以用Qn表示，N+1如下，DSNn（0；K）=Pn（0）En，N+1[Pn（Tn）I{Sn（Tn）<K}Pn（Tn）]=Pn（0）En，N+1[Pn（Tn）I{Sn（Tn）+mn<K+mn}Pn（Tn）]=Pn（0）Z+∞I{y<K+mn}∑Mi=1λinpin，t（y）dy=∑Mi=1λinPn（0）Z+∞I{y<K+mn}pin，t（y）dy=∑Mi=1λinPn（0）En，N+1[I{Sin（Tn）+mn<K+mn}]=∑Mi=1λinPn（0）En，N+1[I{Sin（Tn）<K}]。（3.9）18波动率微笑的积分3再次遵循从A.6到A.7的相同推理路线，我们推导出数字接收机选择值的闭合形式解，DSNn（0；K）=Pn（0）∑Mi=1λinΦ（log（K+mnSn（0）+mn）+（σin）Tnσin√Tn）。（3.10）类似地，可通过ESNN（0；K）=ДPn（0）∑Mi=1λin（（Sn（0）+mn）Φ（Дdi+）分析确定欧洲Swoption的值- （K+mn）Φ（Дdi-)) （3.11）di±=对数（Sn（0）+mnK+mn）±（σin）Tnσin√Tn，其中，对于付款人欧洲掉期期权，Д为1，对于收款人欧洲掉期期权，则为-1。我们使用两个组件（M=2）进行了本章中报告的测试。模型可以用以下参数mn、σn、σn、λn、λn表示。

也可以用参数mn、σn、ωn、λnw表示：σn=σnσn=ωnσnλn=λnλn=1- λn.（3.12）我们在图3.2中首次报告了通过将λ设置为0.75获得的波动率微笑的形状，图3.2：不同ω值（λ=0.75，m=0）下的UVDD隐含微笑。将ωnf从1变为5。ωn=1的情况简化为通常的对数正态模型。在本次测试和下一次测试中，我们使用了相同的数据集，在前面描述的DD案例中使用了贸易规范。我们再次调整参数σ，使3。1将波动率微笑纳入MF模型19，对应于货币罢工时的隐含黑色波动率在所有情况下都是相同的。我们看到，没有位移的对数正态分量的混合会产生一个对称英里（symmetricsmile），该英里以货币走向为中心。ω值越高，微笑形状越明显。这是因为增加ω的值意味着在基础分布中有更胖的尾部（左右两侧），因此在对数正态模型中，远离货币期权的定价更低。我们在图3.3中报告了图3.3的形状：UVDD对不同m值（λ=0.75，ω=2）的隐含微笑。通过将λ设置为0.75，ω设置为2，并将mfrom从1变为5得到的波动率微笑。当错误设置为零时，会产生对称微笑。为该参数指定一个正值会使低走向的权重增加，而高走向的权重减少。当错误设置为负值时，会发生相反的情况。这是因为较高的位移意味着基础分布的左尾较薄，右尾较薄。

因此，UVDDapproach允许将微笑的对称形状与向上或向下倾斜的行为相结合。3.1.3 UVDD数字映射我们可以通过在原始BSmapping中应用一个小的更改来执行UVDD数字映射。第2.2.3节解释了BS映射。在UVDD数字映射中，应使用与UVDD模型（方程式3.10）相对应的数字交换选项分析公式，而不是黑色数字公式。通过数值求解关于Xn的以下方程，我们得到了Sn（Xn）的函数形式，DSNn（0；K）=DSNn（0；Sn（Xn））=Pn（0）∑Mi=1λiΦ（log（Sn（Xn）+mnSn（0）+mn）+（σin）Tnσin√Tn）=^DSNn（0；xn）。（3.13）20波动率积分3请注意，方程式2.21中定义了DSNn（0；xn）。这是一个非线性寻根问题，我们采用牛顿-拉斐逊方法。3.2不同数字地图的测试结果我们根据附录E中数据集I的市场数据进行了大量测试。1和使用附录E.2中贸易I的设置。测试针对以下数字映射进行：o案例1：Black-Scholes映射；o案例2：mn=2.5%的位移扩散图案例3：mn=5%的位移扩散图案例4：mn=-2.5%；o案例5：mn=0%、λn=0.75和ωn=2的UVDD映射案例6：mn=0%、λn=0.75和ωn=5的UVDD映射案例7：mn=2.5%、λn=0.75和ωn=2的UVDD映射案例8：mn=2.5%、λn=0.75和ωn=3的UVDD映射。对于案例2至案例8，我们调整参数σn（n=1，2，…，10），以恢复与案例1相同的EATM挥发度σn（n=1，2，…，10）。我们首先讨论一些一致性检查的结果。

接下来，将显示一些测试结果，以验证MF模型中所作假设的有效性以及马尔可夫函数模型相对于离散化参数的收敛性。最后，我们将讨论smileon对百慕大Swaption价值的影响。3.2.1欧洲掉期期权价格的一致性为了证明实施的正确性，我们首先将MF模型获得的欧洲掉期期权值（ESNN，n=1..10）与上述八种情况的分析公式进行比较。罢工（固定息票利率）设定为5%。结果如表3.1至表3.4所示。第一行是指1到10周期选项，最后一行是指10到1周期选项。