限价订单市场中随机波动的交易策略

在这种情况下，γ=0，优化问题可以写为：V（qt，νt，t）=max（δau，δbu）u∈[t，t]EtZTt（δau+β）dNau+（δbu- β） dNbu公司= 最大（δau，δbu）u∈[t，t]ZTt（δau+β）λa（δau）+（δbu- β） λb（δbu）dt。当最佳距离满足以下条件时，该表达式达到最大值：（2.12）λa（δau）+（δau+β）λa（δau）δau=0和λb（δbu）+（δbu- β）λb（δbu）δbu=0。因此我们有δa，*U≡K- β和δb，*U≡k+β。我们注意到，对于最大值的存在，我们需要（2.13）（δau+β）λa（δau）（δau）+2λa（δau）δau≤ 0（δbu- β）λb（δbu）（δbu）+2λb（δbu）δbu≤ 很容易验证δa，*U≡K-β和δb，*U≡k+β也满足条件s，等式（2.13），对于最大化器a和函数方程v（qt，νt，t）=Ae-1k（ekβ+e-kβ）（T- t） 。同时，设置c=Ae-1k（ekβ+e-kβ），这是一个有限的正常数，通过近似方法，我们得到（2.14）~V（qt，νt，t）=0≤ V（qt，νt，t）≤V（qt，νt，t）+c（t- t） 和δa，*t=k- β=δa，*tand^δb，*t=k+β=δb，*t、 然后，我们为经销商设定了一个买卖价差，由（2.15）^δa给出，*t+δb，*t=k+γθ（νt- α）1.- E-θ（T-t）+ γα（T- t） 价格调整变量mt定义为（2.16）mt=δa，*T-^δb，*t=-2β- 2.γθ（νt- α）1.- E-θ（T-t）+ γα（T- t）qt。我们现在就近似值发表一些评论。（i） 对ν的依赖性：^δa，*Tν<0，^δb，*Tν> 0，如果qt>0^δa，*Tν> 0，^δb，*Tν> 0，如果qt=0^δa，*Tν> 0，^δb，*Tν<0，如果qt<0和（δa，*t+δb，*t）ν> 0。这背后的基本原理是，方差νtwill的增加会导致库存风险增加9%。因此，为了降低这一风险，持有多头仓位的经销商将试图降低其出价和要价，以鼓励销售和阻止购买。同样，持有空头头寸的经销商将试图提高价格，以鼓励购买并阻止销售。

综上所述，由于价格风险增加，反映市场面临风险的买卖价差扩大。（ii）我们注意到t^δa，*t+δb，*t=k+γθ（νt- α）1.- E-θ（T-t）+ γα（T- t） 。如果ξ=0和θ→ 0，则（2.17）^δa，*t+δb，*t=k+γνt（t- t） 。这与[3]中的结果相对应，其中方差ν为常数。（iii）（a）对于证券市场上不活跃的交易商，采用“冻结库存”交易策略，无限制订单，仅持有q股库存直到终端时间T，以下情况如下：（a1）预期终端财富T[XT+qT（ST- β） ]=xt+qt（st- β） 。（a2）值函数v（qt，νt，t）=-γqt2θ（νt- α）1.- E-θ（T-t）-γqtα（T- t） 。（b） 对于使用最优库存策略的活跃经销商，以下情况适用：（b1）预期终端财富集[XT+qT（ST-β） ]=xt+qt（st-β） +EtZTt（δa，*u+β）dNau+（^δb，*U- β） dNbu公司.（b2）值函数V（qt，νt，t）≥ -γqt2θ（νt- α）1.- E-θ（T-t）-γqtα（T- t） 。此处，预期终端财富的最后一项可被视为交易的累积回报率thrtt（δa，*u+b）dNau+（^δb，*U- b） dNbui=RTtEth（^δa，*u+β）dNau+（^δb，*U- β） dNbui=RTt（δa，*u+β）λa（^δa，*u） +（^δb，*U- β） λb（^δb），*u）du=ARTt（δa，*u+β）e-k^δa，*u+（δb，*U- β） e类-k^δb，*U杜。由于两个变量^δa，*uand^δb，*u、 在与变量qt有关的被积函数中，不容易得到闭式解。在下一节中，我们使用Mont-eCarlo方法验证最后一项始终为正。

与“冻结库存”策略相比，我们的策略可以在不低于经销商原始差异曲线的情况下改善最终利润（在“冻结库存”问题的情况下，（δat，δbt）t∈[0，T]可以看作(+∞, +∞)), 这意味着活跃的经销商通常比不活跃的经销商更具优势。（iv）价格调整，（2.18）公吨=-2β-2.γθ（νt- α）1.- E-θ（T-t）+ γα（T- t）QT接近-2β- 2γνt（t- t） qt，如θ→ 它取决于库存水平，是一个库存响应方程，规定了当库存大于（小于）一定数量的库存时，价格调整变量为负（正）。由于清算（清算）成本，拥有大量库存的交易商迫切需要在交易期间清算其持有的股份。当t<0时，出价和要价都是“低”的，经销商有出售而不是购买的动机，因此，它会降低经销商的库存水平。当mt>0时，经销商有购买而非销售的动机，因此，这将提高其库存水平。价格对临时变更的响应程度取决于决定投标规模的相同因素，以及剩余时间（T-t） 2.4数值试验在我们的数值模拟中，我们做了如下参数，这些参数与[3]中的参数相同：s=100，t=1，ν=4，dt=0.005，q=0，γ=0.1，θ=0.02，α=4，ρ=0.7，ξ=0.5，k=1.5，a=140。

通过以下步骤获得仿真：步骤1：计算代理的引号δa、δb和其他状态变量。步骤2：概率λa（δa）dt，dNa=1，dX=s+δa；概率λb（δb）dt，dNb=1，dX=-s+δb；中间价格通过随机增量进行更新±√五、√dt；波动率通过随机增量θ（α）进行相应更新- v） dt+ξ√v（ρ√t±p1- ρ√t） 或θ（α- v） dt+ξ√五(-ρ√t±p1- ρ√t） 。步骤3：t：=t+dt，返回步骤1。[这里的图1]我们首先使用Mentor Carlo方法模拟股票中间价的动态，如红色曲线图1所示，然后使用相同的方法测试最优交易策略的性能。蓝色曲线显示询价的动态，绿色曲线显示出价的动态。如图1所示，询价总是高于股票中间价，投标价格总是低于股票中间价，人们认为这是均值回复。图2显示了有关交易累积收入和最优交易策略的买卖价差的一些详细信息。图2（a）表明，最优交易策略可以为用户带来正收益。买卖价差总是用来描述一个人在证券市场上面临的风险，如图2（b）所示，一个人面临的风险大致随时间而减少。【图2此处】2.4.1交易曲线和风险规避可以使用蒙特卡罗模拟计算每个时间点的平均股票数量，例如交易曲线。

图3（a）和3（b）描述了初始发明q=6和q=-6，当采用最优交易策略时。[这里的图3]我们注意到，终端时间T的平均股数不等于0，这可以解释为，由于终端时间清算产生的清算费用较低，交易员没有足够的动力严格在时间T之前清算交易头寸。有些情况下，在时间T之前未完成清算。[图4此处]图4显示了风险规避对交易策略的影响。在案例（1）中，γ=0.01，表示风险中性的交易者。交易员推迟清算，最终处于卖空状态。在案例（3）中，γ=1.00，描述了一个厌恶风险的交易者，他希望快速卖出以减少波动风险敞口。在案例（2）中，γ=0.10，介于上述两个极端之间。从图4可以看出，γ=0.10的交易倾向于快速清算，以避免因股票波动而产生的风险。2.4.2有效边界有效边界由所有最佳交易策略组成。这里的“最优”指的是，对于相同或更高水平的预期交易利润，没有策略的方差较小的情况，即最优交易策略解决了以下约束优化问题：max（δau，δbu）u∈【t，t】：V ar【IT | Ft】≤五、*Et[ZT- βqT]对于某些V*. 我们可以通过引入Lagrangemultiplierλ来解决约束优化问题，即解决无约束问题，max（δau，δbu）u∈[t，t]{Et[ZT- βqT]- λVar【IT | Ft】}。对于λ的每个级别，对应于特定的风险规避，存在一个最优报价策略，由（δat，δbt）t给出∈[0，T]。通过在初始库存q=6的情况下运行1000次模拟，我们获得了一个有效的前沿（见图5）。

当交易商的风险厌恶程度降低时，该边界沿近似光滑凹曲线增加。它显示了交易的预期收入和存货价值的累计方差之间的权衡。图5最右侧的点为arisk neutral dealer（γ=0），我们将该点定义为（V，R）。对于左边的任何其他点，我们有- R≈（五）- 五） dRdVV=V。一个重要的见解是，对于风险中性的交易商，预期收益的一阶下降可能导致累计方差的二阶增加。[图5此处]2.4.3最优库存策略和对称策略通过在初始库存等于零的情况下运行1000次模拟，我们获得了“库存”策略和“对称”策略之间的比较，这两种策略采用了我们的库存策略的平均价差，但不管投资多少，都是以中间价格进行分配。结果a如表1所示。[表1]我们可以从表中了解到，与库存策略相比，对称策略具有更高的回报率和更大的标准偏差。不难理解，对称策略的回报率略高于库存策略，因为它以中间价格为中心，因此收到的订单量高于库存策略。然而，从表1中的模拟结果可以看出，库存策略获得的损益（P&L）比例差异较小。[图6此处]图6描述了两个战略的损益分布。从图6可以看出，对称策略的损益分布似乎比库存策略的损益分布有更大的影响。3.

阿尔姆格伦（Almgren）[1，2]的工作中提到，模型对市场影响案例的扩展，每笔交易的价格都受到买卖价格的影响。本节讨论了通过引入市场影响来扩展模型。我们假设股票中间价按照以下动力学演化：（3.1）dSt=√νtdWt- η（t）（dNbt- dNat），其中η（t）是t的函数，代表市场影响，并可能与状态变量vt相关。可以选择式（3.1）中的函数η（t）来反映市场微观结构的任何首选模型，仅受某些自然凸性条件的约束。3.1持续的市场影响为了研究市场影响，一种简单的方法是考虑价格的以下动态【19】：（3.2）dSt=√νtdWt+η（d Nat- dNbt），其中η>0是一个常数，描述了市场稳定的情况。在该模型中，当投标方的限价订单被填满时，参考价格会下降，当要求方的限价订单被填满时，参考价格会上升，并且价格的增减量等于常数η。这与市场订单市场影响的经典模型一致。