预测日前电力现货价格：EXAA对

这种关系也适用于季节性ARMA过程，因为每个季节性ARMA过程都是一个特殊的ARMA（p，q）过程，这包括Taylor（2010）中使用的双和三个季节性ARMA模型。然而，上述季节性ARMA模型不同于那些具有单独季节趋势建模的ARMA模型，例如Koopman et al.（2007）或Keles et al.（2013）使用的。这种ARMA型模型不一定能用AR（p）很好地逼近。下面我们用εt表示所考虑的单变量或多变量模型的单变量和多变量误差项。我们假设误差项具有常数和有限方差的零均值。协方差矩阵。当然，由于数据中存在一种季节性结构，也会影响误差项的（条件）方差，因此无法满足同质性假设。然而，出于隐含的原因，我们假设同构。为了指出EXAA对其他电力市场的影响，我们以标准方式对这两种模型进行了估算，然后通过以各种方式考虑EXAA价格对其进行了扩展。通过提供全面的预测研究，我们可以测试基本模型是否与EXAA对应。3.1。持续模型我们介绍的第一个基本模型是非常简单和快速的估计持续模型，或naive模型，其中电价估计与168小时前相同，通常代表一周。由YXt=YXt给出-168+εtand可通过xt+h=YXt+h估算-168对于1≤ H≤ H（ed（n+1））。3.2。单变量AR（p）第二个基本模型是众所周知的p阶自回归过程（AR（p）），它通常具有很高的拟合优度，也可以在很短的时间内进行估计。由YXt=u+pXk=1φk（YXt）给出-K- u）+εt（1），其中u为时间序列的平均值和系数φkfor1≤ K≤ P

对于估计过程，有几个选项可用，例如通过求解Yule-Walker方程进行估计，（条件）最小二乘估计，或（条件）似然估计。我们通过求解3个电价模型6Yule-Walker方程来估计AR（p）过程，该方程保证了平稳解，有关更多详细信息，请参见Hamilton（1994）。平均u由样本平均值提前估计。通过信息准则选择模型的阶数p。这也是文献中非常常见的方法，参见Karakatsani和Bunn（2008）或Liebl（2013）。我们通过最小化Akaike信息准则（AIC）来执行p的选择，该准则由AIC=n log（bσ）+2（p+1）给出，bσ作为估计的均方误差。其他标准，如贝叶斯信息标准（BIC）也可能是一个合理的选择。为了执行选择过程，我们决定一个最大可能的模型顺序pmax。从p=1开始，我们估计模型，计算AIC，将p增加1，然后重复此过程，直到Pmax达到。然后将AIC最小的模型声明为最终模型。上限Pmax选择为1400。该值足够大，因此p的所有选定值至少为一周，例如168小时，小于pmax。请注意，估计订单通常大于336。可通过bYXn+h=bu+Ppk=1bφk（bYXn+h）迭代进行预测-K- bu）对于1≤ H≤ H（ed（n+1）），其中BYXT=YXT代表t≤ n、 3.3。基于EXAA的持久模型此模型是与持久模型等效的EXAA类型。这里，我们简单地假设市场X上的电价与EXAA价格相同。由于EXAA价格是在较早的时间点结算的，因此相应小时的价格是可观察的。

因此，基于EXAA的持久模型由YXt=YEXAAt+ε给出，可通过BYXT+h=YEXAAt+HF对1进行估计≤ H≤ H（ed（n+1））。3.4。二维AR（p）与上文讨论的单变量AR方法类似，我们可以对二维Yt进行建模，其中包含EXAA价格和所调查交易所的时间序列。根据方程式（1），由Yt=u+pXk=1Φk（Yt）给出-K- u）+εt。使用平均向量u和参数矩阵Φk。我们通过求解多元Yule-Walker方程来估计AR（p）过程，并确定如上所述的AIC策略，其中pmax=700。对于预测，我们现在可以利用YEXAAn+his已经观察了1年的事实≤ H≤ H（ed（n+1））。因此，预测由bYn+h=（YEXAAn+h，bYXn+h）给出，其中bYXn+h=buX+Ppk=1（bΦk）（bYn+h-K-bu）对于1≤ H≤ H（ed（n+1）），其中（bΦk）作为第二行bΦkandbYt=YT≤ n、 从今以后，只需要对第二个自回归方程进行估计，因为我们只想预测一天。3.5。多元AR（p）模型中的二维AR（p）修正值高于观察到的EXAA值YEXAAn+Hf1≤ H≤ H（ed（n+1））仅在预测中考虑，以便用其真实值Yexan+H来代替估计值YEXAAn+HB。因此，我们可以调整模型，以便将此信息也直接用于模型估计过程。我们表示byeYt=（YEXAAt+H（ed（t+1）），YXt）二维过程，其中包含第二部分时间t的X价格和第一部分提前一天的EXAA价格。然后，由eYt=u+pXk=1eΦk（eYt）给出的二元自回归模型-K- u）+εt。在这种情况下，预测与单变量情况一样简单。

用beYn+h=bu+Ppk=1beΦk（beYn+h）迭代完成-K-bu）对于1≤ H≤ H（ed（n+1）），其中Beyt=Eyt for t≤ n、 我们想强调的是，两种二维建模方法是不同的，因为额外的信息是以另一种方式使用的。在第一种方法中，预测BYXn+1独立于未来几个小时的观测到的DEXAA信息，而在第二种方法中，它实质上很重要。因此，BYXn+1可能取决于BYEXAN+1，但也取决于h的观测信息BYEXAN+h≥ 2、对于预测，第一个预测小时数23、第二个预测小时数22所考虑的确定性未来EXAA小时值的最大数量，以此类推。4预测研究的设置73.6。基于差异的AR（p）后两种模型基于目标价格yx与EXAA electricityprice YEXAAt的差异。因此，我们定义t=YXt- YEXAAt。如果twould可能是i.i.d.噪声，那么基于persistentEXAA的估计器将是一个合理的选择，对差异进行建模不会导致价格预测的任何改进。然而，如果还剩下一些相关结构，那么假设t下面的AR（p）似乎是合理的。因此，我们假设t=u+pXk=1φk(T-K- u）+εt（2）适用于某些滞后p，其中u表示差异的平均值。在单变量情况下，我们使用Yule-Walker方程和AIC进行估计，其中我们选择pmax=1400。实际上，（2）可以重写为asYXt=YEXAAt+u+pXk=1φk（YXt-K- YEXAAt公司-K- u）+εt这表明这实际上是误差修正模型的特例。

所以这基本上是上面考虑的二维AR（p）的一个特殊情况。（2）的预测由byxn+h=YEXAAn+h+bu+Ppk=1bφkb迭代完成n+h-驻科部队1≤ H≤ H（ed（n）+1），其中bt=t对于t≤ 请注意t=bYXt-对于t>n，ByExaat，对于1，ByExaan+h=Yexan+Hf≤ H≤ H（ed（n）+1）。该模型无法直接涵盖未来一天以上的预测，因为我们必须在相应的估计中为YEXAAtto插件指定amodel。3.7。模型汇总表2给出了所有考虑模型的汇总表以及最相关的信息。在以下章节中，我们将参考本表缩写栏中所示的模型。模型缩写使用EXAAinformationpmaxpersistent Model naive no univariate AR（p）AR（p）no 1400persistent EXAA based Model naive EXAA yes 2d AR（p）yes 7002d AR（p）oneYt2dgAR（p）yes 700 univariate AR（p）on differences-AR（p）是1400表2：预测中考虑的模型汇总表4。预测研究的设置为了评估EXAA价格的预测性能和预期影响，我们进行了预测研究。我们面临的情况是，我们有时不得不预测23或25个价格，而不是24个，这使记法和预测变得复杂。然而，分析中考虑了此类特定天数的发生。如前所述，可用数据涵盖7×365=2555天，约为7年。在预测研究中，我们使用每小时数据的滚动窗口（Y1+R（R），YT+R（R））的长度，R（R）作为滚动指数移动。所考虑的样本长度为D=2×365=730天，对应于通常为2年的样本期。因此，对于使用的观测量，我们有T=PDd=1H（ed（M（d）+R（R）），其中M（1）=1，M（d）=1+Pd-1i=1H（i），d>1。

该表达式通常约为24×2×365=17520。给定2年的数据，我们在给定的窗口上执行估计程序。如上所述，我们将窗口移动R（R）1≤ R≤ Rmax，Rmax=4×365+366-1=1825天。因此，RMAX将剩余的5年观测值缩短一天。具体来说，我们有R（1）=0和R（R）=Pr-1i=1H（i），1<r≤ rmax。在后一个公式中，我们通常有R（R）=24×（R- 1） 。预测范围包含一个闰年（2012）5结果和讨论8在给定窗口上进行估计后，我们对第二天的交易值进行预测bYXT+R（R）+1，bYXT+R（R）+H（ed（T+R（R）+1））感兴趣的电力时间序列。记住，H（ed（T+R（R）+1））是前一天的交易小时数，通常是24小时，但有时是23或25小时。为了比较我们的预测，我们计算了所有预测值的平均绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE）。它们由Maex=R（rmax+1）给出- 1T+R（rmax+1）-1Xt=T+1 | YXt-bYXt | andRMSEX=vuutR（rmax+1）- 1T+R（rmax+1）-1Xt=T+1 | YXt-bYXt | 0.5。结果和讨论结果基于样本外数据。表3给出了估计的MAE和RMSE。根据MAE或RMSE，每个粗体印刷数字对应最佳型号。带下划线的值表示一个模型，该模型产生的MAE或RMSE至少在最佳模型的置信区间内。括号中的数字显示了标准偏差，这是通过Bootstrappings估计的，样本量为B=1000。首先，我们可以观察到，与RMSE值相比，MAE值的标准偏差更小。因此，他们的结果似乎更可靠。原因可能是大多数电价都是重尾的，这也会影响模型残差。

因此，在计算RMSE时对残差进行平方处理，将相应的尾部指数减半。这会自动导致更不可靠的结果。考虑到MAE值，我们可以看到，对于所有相邻的价格区域，至少有一个模型包含EXAA信息，并且优于不包含EXAA信息的naiveand AR（p）模型。考虑到2-sigma范围，我们可以得出，除了瑞典的情况外，性能明显更好。因此，基于MAE，我们可以在考虑EXAA信息的情况下改进预测结果。EPEX有一个有趣的特性。价格方面，naive EXAA模型似乎比其他涉及EXAA信息的复杂AR类型模型要好得多。作为两者，EPEX。以EXAA等价格购买（&A）。DE和AT价格，考虑同一地区。该结果可能表明市场对EXAA上观察到的信息进行了有效定价。这两种价格之间的关系似乎没有表现出可识别的自回归模式，因此无法用于投资策略。然而，这只适用于我们研究的AR模型类型。naive EXAA模型也优于OTE。CZ价格，涵盖捷克交货区域。这表明市场似乎有着密切的关系。考虑RMSE的结果基本相似。然而，高标准差导致的高置信区域使得解释更加不稳定。此外，我们定义了MAE和RMSE的每小时版本，以比较一天中特定小时的预测性能。MAEXhand RMSEXhare由maexh=#（h）rmaxXr=1{h给出≤H（D+r）}YXT+r（r）+H-bYXT+R（R）+h |和RMSEXH=VUT#（h）rmaxXr=1{h≤H（D+r）}YXT+r（r）+H-bYXT+R（R）+h |带#（h）=Prmaxr=1{h≤H（D+r）}表示1≤ H≤ 25

请注意，表达式#（h）是对应于小时h的预测数。对于1≤ H≤ 23这只是rmax，而对于h=24，由于3月份的时钟变化，这是一个较低的计数。对于h=25，该值并不真正令人感兴趣，因为它只包含很少的10月观测值，这也是由于时钟变化。MAEXhand RMSEXhare在附录图4和图5中显示了所有市场、车型和小时数。这些图表清楚地表明，从晚上到晚上大约20:00到06:00的时间所面临的预测误差小于中午左右的时间。将前面提到的问题与可见的RMSEecomes进行比较。由于严重的异常值，尤其是在中午，RMSE通常比一天中的其他时间高10倍。这使得RMSE类型误差的解释复杂化，RMSE类型误差将24小时预报作为一个整体进行分析。