广义主观词典期望效用表示

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英文标题：
《Generalized Subjective Lexicographic Expected Utility Representation》
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作者：
Hugo Cruz-Sanchez
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We provide foundations for decisions in face of unlikely events by extending the standard framework of Savage to include preferences indexed by a family of events. We derive a subjective lexicographic expected utility representation which allows for infinitely many lexicographically ordered levels of events and for event-dependent attitudes toward risk. Our model thus provides foundations for models in finance that rely on different attitudes toward risk (e.g. Skiadas [9]) and for off-equilibrium reasonings in infinite dynamic games, thus extending and generalizing the analysis in Blume, Brandenburger and Dekel [3].
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中文摘要：
我们通过扩展Savage的标准框架，将一系列事件索引的偏好包括在内，为面对不太可能发生的事件时的决策提供了基础。我们推导了一个主观的词典预期效用表示，它允许无限多个按词典顺序排列的事件级别，以及对风险的事件依赖态度。因此，我们的模型为依赖不同风险态度的金融模型（如Skiadas[9]）和无限动态博弈中的非均衡推理提供了基础，从而扩展和推广了Blume、Brandenburger和Dekel[3]中的分析。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Generalized_Subjective_Lexicographic_Expected_Utility_Representation.pdf (300.98 KB)

2022-5-25 07:57:46 上传

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关键词：期望效用 Mathematical Presentation Quantitative Generalizing

一般化的主观词典，其预期效用代表Hugo CRUZ SANCHEZAbstract。我们通过扩展Savage的标准框架，将事件族索引的偏好包括在内，为在不太可能的事件面前做出决策提供了基础。我们推导出了一种客观的词典预期效用表示法，该表示法允许出现许多按词典顺序排列的事件级别，以及对风险的事件依赖态度。因此，我们的模型为依赖于风险差异的金融模型（如Skiadas[9]）和有限动态博弈中的差异均衡推理提供了基础，从而扩展和推广了布鲁姆、布兰登堡和德克尔[3]的分析。2雨果·克鲁兹·桑切斯1。导言我们从博弈论中的纳什均衡条件理论中学到的一个教训是，面对不太可能发生的事件，决策在决定如何进行博弈中发挥着重要作用。特别是，动态博弈的分析在很大程度上依赖于有效均衡推理，即确定如果玩家没有玩他们应该玩的游戏，会发生什么。我们还从金融理论中了解到，对风险的态度可能取决于代理人面临的事件类型。例如，可以想象，代理人在面对灾难性的、不太可能发生的事件时会变得更加厌恶风险。词典预期效用（LEU）是一种在非常不可能的事件面前为决策建模的明智方法，因为它假定了事件的层次结构，或由相对不可能的程度排序，并捕获了代理一旦面临不可能的事件，他就下降到层次结构中的事件级别，并执行标准的预期效用计算。

因此，对风险持完全多水平和水平依赖态度的LEU模型似乎是用于有限动态薪酬理论和具有不同风险态度的金融理论的正确模型。然而，事实证明，文献中并没有这种模型的决策理论基础。本文填补了这一空白。特别是，在标准的Savage StyleFramework中，我们考虑一个决策者，它不仅由对行为的引用关系描述，而且还由对行为的一系列偏好关系描述。该族中的每个首选项都由状态空间中的某个事件索引。其思想是，由事件（例如%a）索引的首选项，其中a是索引事件，表示当代理被告知事件a已发生时，代理的首选项。然后，我们提供了这样一个偏好系统应该满足的公理列表，并表明与公理一致的决策可以用广义主观词典期望度（GSLEU）函数表示。具体而言，对于给定的状态空间S、S子集上的asigma代数∑和结果空间O，我们考虑了偏好关系%和族（%a）a∈行为空间上偏好关系的∑f:S→ O、 当这些偏好满足我们的公理时，一定存在一个（可能不可数）事件族E ∑和，对于每个E∈ E、 a效用函数uE:O→ 现在，这个家族被视为原始家族；稍后我们将证明，家庭中的每个偏好都可以从给定的优先关系推断为一种条件偏好，而不是行为。词典期望效用3a主观概率测度，当且仅当f的主观期望效用大于g的主观期望效用时，f在%（简而言之，f%g）以下优先于g。

在symb ols中，对于某些E∈ E、 那么一定存在E′∈ E带E E′，使ZuE′（f）dPE′>ZuE′（g）dPE′。此外，对于每个E∈ E、 对于任何其他E′，PEis唯一确定，uEis唯一到a ffne变换，uEis顺序等价于uE′∈ E、 最后一个属性允许效用指数uE和uE′代表对风险的不同态度。观察到，家族E的解释是事件的层次结构，按相对不可能性排序，因为较高级别的事件被解释为比较低级别的事件更可能发生。与现有文献相比，最相关的贡献是Blume、Brandenburger和Dekel[3]，他们将Archimian公理重新放在Anscombe和Aumann[2]的框架中，与许多州进行了比较，为主观预期表达提供了基础，这些公理具有许多级别和级别独立性。也就是说，它们确定了一个效用指数和若干主观概率测度的存在性（Pl)Ll=当且仅当存在一个能级时，这样的行为f优先于行为gl 这样的t hatXu（g（s））Pl（s） >Xu（f（s））Pl（s） 意味着存在一个级别l′< l 这样Xu（f（s））Pl′（s） >Xu（g（s））Pl′（s） 。很明显，这里导出的表示更适合于对博弈论和上述金融问题的分析，因为它允许有很多层次和依赖于层次的效用指数。继续讲公理，我们首先要对代理被告知事件发生时的偏好进行精确的解释。然后，我们继续将标准萨维奇公理与族（%A）中的每个首选项相对化∈∑。

我们注意到，因为“当被告知事件A时的偏好”是我们原语的一部分，萨维奇的确定原则有一个直接的表述：如果被告知事件A时，代理人更喜欢f而不是g，当被告知事件s\\A的补充时，代理人也更喜欢雨果·克鲁兹·桑切斯，那么f应该比g更受欢迎。我们离开萨维奇是为了进行词典学反思。我们想要捕捉的是一个决策者，当得知发生了极不可能发生的事件时，他/她的世界观会发生最小的变化，以理解不可能发生的事件，然后作为标准的预期效用最大化者继续进行。从词典学的角度来看，这意味着我们在追求一个完全有序的层次事件，其中的顺序表示更高层次的事件比较低层次的事件更可能发生。当不太可能发生的事件发生时，决策者会下降到事件发生的第一级，并使用该级的预期效用术语（效用指数和主观概率）在我们的公理中，代表这样一个决策者的关键特征是假设存在一个事件亚家族，即 ∑，满足以下性质。首先，它足够丰富，可以识别整个家族∑的相关事件，其中n事件的“相关性”意味着它对家族中的某些索引偏好很重要。其次，它并不比必要的内容更丰富，从某种意义上说，它避免了冗余。

第三，更重要的是，族E连接相应的索引首选项（%）E∈以词典编纂的方式，使用非索引首选项%。重要的是要注意，正如我们的公理所假设的那样，族E的存在对于我们的表示结果来说远远不是enoug h。事实上，我们的定理1表明，其他公理已经暗示存在按“相对零度”排序的事件类别的层次结构：类α中的事件具有“可比的可能性”，这意味着两者相对于另一个都不为零，但类α中的事件比更高类β中的事件“完全不太可能”>> α、 意味着相对于该事件为空。事实上，这样的其他公理已经暗示每个类都存在一个定性概率，这是我们广义词典预期效用表示的关键要素。假定的E族所起的作用是，它为每个α类提供了必要的“顶级事件”。也就是说，对于任何类α，都存在一个事件E∈ E可以被解释为类α的“局部状态空间”：类α的预期效用表示由E确定，因为类α中的每个事件A共享相同的效用指数UE，主观概率Pac可以计算为PEgiven A的条件。此外，作为Savage公理的相对化，它们还意味着每个事件A的SEU表示∈ ∑。词典预期效用5有了公理系统，我们可以在定理3中建立我们的GSLEU表示结果。也就是说，如果决策者代表一个偏好%和一系列索引偏好（%a）a∈∑，而这个偏好系统满足了我们的公理，那么选择可以用那些最大化GSLEU函数的选项来表示。

然而，此时的一个重要问题是，假定的“知情”偏好（%A）A∈∑可以从agiven“未告知”偏好%推断出，而不是ACT。我们对这个问题提供了一个肯定的答案，通过在事件a上设置偏好%的概念，该事件a捕获了迄今为止的原始概念%Ais想要捕获的内容。我们的条件化概念比萨瓦格e的概念更强，因为它还需要检查一个动作f的“扰动”是否（有条件地）优先于另一个动作g。更准确地说，萨维奇的条件化概念说，如果一个动作f优先于另一个动作g，那么对于任何其他动作h，一个动作f优先于一个动作g，条件是一个事件A，其中，旋转“f Ah”表示A上等于f且等于A的补码的动作。除此之外，我们还补充说，动作fAh必须优先于动作gAh，动作fAh必须优先于动作ct gAh，其中▄fAh表示动作fAh的扰动，该扰动在A的大部分上等于f，但在A的大部分部分上等于其他常数动作，和等于A的补码上的h。我们在图4中表明，这种更强的条件作用概念表征了A的非形式偏好%A，f∈ ∑。换句话说，我们原则上可以从%中挑出“强”条件引用%A，A∈ ∑，通过提供行为和干扰行为的选择。在决策理论术语中，这意味着原语%A，A∈ ∑，是可观察的。但从其他角度来看，定理4也很有趣。例如，概率中的一个经典问题是零概率事件的条件概率问题。我们的强条件作用通过要求计算对小扰动具有鲁棒性，提供了对不太可能事件计算条件的见解。

与此相关，博弈论中的均衡条件往往需要考虑策略/收益的扰动。我们的条件作用概念似乎正好抓住了这种扰动的需要。这些是我们计划在未来研究中解决的问题。1.1。相关文献。如上所述，Blume、Brandenburger和Dekel【3】为SLEU代表性提供了基础，这种代表性的特殊之处在于，它不允许存在很多级别或依赖级别的风险态度。这些问题是6 HUGO CRUZ-SANCHEZAnscombe-Aumann框架的结果，因为它假设了一个有限的状态空间，并且只考虑混合空间价值的行为。扩展到有限状态空间并不是一件简单的事情。LaValle和Fishburn[6]将有限状态空间中的有限SLEU表示扩展为有限状态空间中的这种表示，同时仍然只允许有很多字典级别。该扩展在本质上是技术性的，并没有像这里所做的那样将SLEUmodel真正扩展到一个有限的版本。事实上，我们的贡献可以被视为在Blume、Brandenburger和Dekel的分析中提供完整的最终扩展的第一步【3】：他们没有像我们这里所做的那样，假设存在原始词典序；词典表示法是他们放松阿奇米德公理的结果。因为在我们的有限框架中，我们甚至没有一个有序的事件类空间来开始，所以不清楚非建筑学方法如何工作。这是未来研究的另一个问题。

一篇相关的论文是Amarante[1]的论文，该论文通过将一系列偏好视为模型的原始元素，允许有很多“知情”（或条件）偏好，但没有提供词典编纂的表示，因为本文的重点是表明一系列EU条件偏好不一定会产生SEU无条件偏好。我们现在转到第2节，其中介绍了基本框架和公理。结果见第3节，结论见第4节。附录包含正文中未证明的结果。2、设置和公理根据Savage【8】和Machina及Schmeidler【7】（包括公理的命名），我们的设置如下：S是一组有限的状态，用于捕捉决策过程中存在的不确定性，∑ 2是σ-事件代数，O是输出的集合，F是∑的集合-从S到O的可测量函数，带有监视功能。这是代表决策过程中可能选择的一组行为。弱序（完全和传递二元关系）表示决策者对F的排序。除此经典设置外，%a是∑中每个事件a的F的弱偏好。符号1。对于事件A以及一对动作f和g，fAg表示组合动作，该组合动作等于A上的f和S上的g。词典预期效用7表示法2。对于非空集X上的弱序%和X，f和g，f的一对元素 G<=> （f%g）和（非（g%f））和f~ G<=> （f%g）和（g%f）。定义1（同意）。%A每对ACT fand g，f%Ag的分数为%B<=> f%Bg。我们关于原语的第一条公理明确指出，%确实是“当得知事件a时的偏好”。

这种定义符合萨维奇的排序思想，如果已知A获得（第22页，萨维奇[8]，“如果已知B获得，f优先于g，那么f可以附加什么技术解释？在任何合理的解释下，这一问题似乎不取决于f和g在B以外的国家所假定的值”），尤其是，由空事件索引的偏好是退化的（即每个行为都弱于任何行为）。然而，下面的公理p3和p5确保不会产生由非空事件索引的弱偏好。公理1（第1页）。对于每对动作f a和g，f%Ag=> fAh%AgAh针对每个动作，fAh%AgAh针对某些动作=> f%股份。在Savage[8]中，空事件是与决策过程无关的事件。然而，在我们的框架中，决策过程有多个层次，一个事件可能在某些层次上不相关，但与其他层次相关。因此，空事件的概念与每个索引首选项相关。定义2（空事件）。对于每对事件A和B，使B A、 B是A中的null事件，当且仅当%A与%A生成树。请注意，A中的null事件的概念仅指A中包含的事件（即属于∑）。即使A是空事件，空事件在每个A中也是null。下一条公理是确定原则，它涉及不同的指数化偏好。它说，对于事件A所索引的偏好，行为f弱于行为g，如果f是弱偏好8 HUGO CRUZ SANCHEZto g，对于由A的二分体的每个事件所索引的偏好，行为f是弱偏好8，而对于由A所索引的偏好，行为f和行为g之间的顺序是严格的，对于由A处非空的二分体的事件所索引的偏好，行为f和行为g之间的顺序是严格的。