交易成本下的风险套利与可接受性对冲

这一结果也适用于经典一致价格体系分类失败的某些情况。在第7节中，我们通过采用广义d条件期望作为可接受性标准来描述无障碍条件。这些是我们框架中最强大的无套利条件；它们的有效性保证了所有满足[9]中扩张单调性条件动态版本的接受准则都不存在套利。第6节和第7节的结果在第8.2节“动态验收集和选择风险度量”2中的两个资产示例中进行了说明。1定义和主要属性let(Ohm, （Ft）t=0，。。。，T、 P）是完全概率空间上的随机基，因此Fis是平凡的σ-代数，FT=F。在下面，我们赋予随机向量和事件一个下标，该下标指示它们可以测量的σ-代数。对于可测量的随机向量，下标通常被省略。设Lp（Rd，F）与p∈ [1，∞] 是p-可积随机向量族（如果p=∞), 设L（Rd，F）是Rd中所有随机向量的族。p∈ [1，∞) 由clp判定，CLI是L（Rd，F）中概率的闭包。如果p=∞, 考虑一致有界序列的a.s.收敛性。对于次σ-代数bra H F、 表示LpH（Rd，F）F-可测随机向量的模，可以用ξ表示为γξ∈ Lp（Rd，F）和γ∈L（R，H），见【15，Ex.2.5】。特别地，LH（Rd，F）是所有ξ的族，它们承认关于H的广义条件期望Eg（ξ| H），参见[26，引理B.3]。根据【15，Ex.2.5】，模块范数定义为| | |ξ| | | p，H=（E（kξkp | H）1/p，p∈ [1，∞),ess supHkξk，p=∞,（2.1）其中ess supHkξk是kξk的H-可测本质上确界，参见【17，附录A.5】。

通过假设ξnConvergence为ξif | | |ξn，我们赋予空间LpH（Rd，F）以LpHconvergence的拓扑y- ξ| | | p，H→ 如果p，概率为0∈ [1，∞). 如果p=∞, 我们在概率上使用Ft有界收敛，这意味着ess supHkξnk有界且| | |（ξn- ξ）∧ 1 | | | 1，H→ 0可能性为n→ ∞.风险套利7短期内表示Lp=Lp（Rd，F），Lpt，s=LpFt（Rd，Fs），对于t≤ s、 letLpt，s=LpFt（Rd，Fs）是可以分解为ξs=ξ′s+ξ′s的随机向量ξst的族，其中ξ′s∈ Lpt，砂ξ′\'s∈ L（Rd+，Fs）。根据风险度量理论中对接受集的经典定义，我们引入了接受集Ct，sfor t≤ s是在时间t时被视为可接受的所有Fs可测量财务状况的集合。定义2.1离散时间Lp动态凸接受集是一个{Ct，s，0≤ T≤ s≤ T}，这样Ct，sLpt，对所有0保留以下属性≤ T≤ s≤ T（i） 归一化：Ct，t=L（Rd+，Ft），Ct，s L（Rd+，Fs），和CT，s∩ L（Rd-, Ft）={0}。（ii）可积性：Ct，s=（Ct，s∩ Lpt，s）+L（Rd+，Fs）。（2.2）（iii）封闭性：Ct，s∩ Lpt，T在Lpt，T中是闭合的。（iv）条件凸性：对于所有αT∈ L（[0，1]，Ft）和η′s，η′s∈ Ct，s，αtη′s+（1- αt）η′s∈ Ct，s.（v）弱时间一致性：Ct，s∩L（Rd，Fu）=Ct，Uf或全部0≤ T≤ U≤ s≤ T（vi）补偿：如果ξs∈ Lpt，s，then（ξs+Ct，s）∩ L（Rd，Ft）6=.可积性性质意味着Ct，sis是一个上集，即ηs∈Ct，砂ηs≤ η′sa。s、 （所有不等式都可以协调地理解）产生η′s∈ Ct，s。补偿性质意味着，对于所有ξs∈ Lpt，s，存在γt∈ L（Rd，Ft），使得γt+ξs∈ Ct，s，即可以通过添加位置γt使财务位置ξ可接受。在以下情况下，我们只需要验收集Ct-1，t对于t=1，T例2（静态单变量凸风险度量）考虑t=0，1的一维周期设置。

如果r是凸Lp风险测度w ithp∈ [1，∞), 然后其验收集C0,1∩ Lp（R，F）是η族∈Lp（R，F），使得R（η）≤ r的下半连续性等价于接受集的闭性。交流接受集的条件凸性等价于风险测度的凸性。补偿属性对应于r的完整性。以下结果涉及到有限分解能力属性（见定义9.2），也称为可数浓缩属性【15】或σ-稳定性【16】。引理2.1对于所有0≤ T≤s≤ T如果η为∈ Ct，s∩ Lpt，砂钻头∈ 英尺，i≥ 1，则“ηns=nXi=1位ηis+ηs”Ohm\\∪ni=1比特∈ Ct，s8 Emmanuel Lepinette，Ilya Molchanovby条件凸性性质，因此Ct，s∩ Lpt、sis Ft可分解。自ηns起→ (R)ηs=P∞i=1位ηisin the | | | |·| | | | p，Ft norm if p∈ [1，∞) 如果p=∞, 我们有\'ηs∈ Ct，s∩Lpt，s.通过可积性，Ct，sis也可完全分解。定义2.2如果αtηs，则动态凸接受集族称为（i）相干∈ Ct、SFO所有t≤ s、 αt∈ L（[0，∞), Ft）和ηs∈ Ct，s；（ii）从零开始连续，如果，对于所有t≤ s、 和任意序列ξns∈LpFt（Rd-, Fs），n≥ 1，带| | |ξns | | | p，Ft→ 0的概率为n→ ∞, 存在一个序列γnt∈ L（Rd+，Ft），n≥ 1和k∈ R+，γnt+ξns∈Ct，砂kγntk≤ k | | |ξns | | | p，Fta。s、 如果p=∞ 然后，下面的连续性始终保持不变，并且可以通过选择γNt轻松验证，所有相同的分量为| | |ξns|||∞,Ft.示例3可使用单变量凸动态Lp风险度量（rt）t=0，…，确定验收集，。。。，T、 所以Ct，s∩ Lpt，sis rt验收集的dth Cartesianpower。等效地，ξs∈ Ct，s∩ 在rt下，Lpt、sif和ξ的所有成分都是可接受的。

从下方属性的连续性（带p∈ [1，∞)) 如果rtis在| | | |·| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | p、Ft normand c CONTINUUSE from be low，这是rtis c onvex和a.s FINITE的情况，请参见[33，Th.4.1.4.4]。示例4（条件验收集的双重构造）设p=∞, 并考虑Zt、s系列 LFt（Rd+，Fs）0≤ T≤ s≤ T使Zt，u Zt，所有t的稳定部队≤ U≤ s、 对于所有ζs，Eg（ζs | Ft）=（1，…，1）∈ 注意，我们并没有假设Zt是弱紧的。连接，s=L（Rd+，Fs）+\\ζs∈Zt，sηs∈ L∞t、 s:Eg（hζs，ηsi | Ft）≥ 0,其中hζs，ηsi是标量积。很容易看出，定义2.1的条件（i）、（ii）、（iv）和（v）成立，这些接受集是一致的。如果ξns→ ξns的ξsin概率∈ Ct、s和所有ξnsare在normbyγt内有界∈ L（R+，Ft），然后Eg（hζs，ξsi | Ft）≥ 0通过广义条件期望的支配收敛定理。因此，条件（iii）也是如此。如果ξs∈ L∞t、 则ξ的分量在绝对值ηt内有界∈ L（Rd+，英尺）。那么，ηt- ξsis非阴性，因此属于Ct、s和ξs+（ηt- ξs）∈ L（Rd，Ft）。因此，（vi）也成立。2.2动态选择风险度量letΞTbe是L（Rd，FT）的上子集，即每个ξ∈ ΞT，族ΞTalso包含llξ′∈ L（ξ+Rd+，FT）。此类风险套利9系列最重要的例子是FT可测上限随机集XTin Rd的选择L（XT，FT）系列，即XT+Rd+ XTa。s、 如果XTis也关闭，则其中心对称版本(-XT）是一种集值投资组合，术语为[29]。定义2.3 LetΞT L（Rd，FT）为上集合。对于t≤ s≤ T，Rt，s（ΞT）=（ΞT+Ct，s）∩ L（Rd，Ft）（2.3）表示所有γt的集合∈ L（Rd，Ft），使得γt- ξ∈ Ct，SFO部分ξ∈ ΞT.Let Rt，s（ΞT）表示Rt，s（ΞT）概率的闭包。

如果ΞT=L（XT，FT）是上随机集XT的选择族，我们写Rt，s（XT）和Rt，s（XT），而不是Rt，s（ΞT）和Rt，s（ΞT）。有鉴于此，Rt，s（XT）（和alsoRt，s（ΞT））被称为动态s选择风险度量。注意，RT，T（ΞT）=ΞT，RT，s（ΞT）=RT，s（ΞT∩L（Rd，Fs）），和Rt，u（ΞT）所有0的Rt，s（ΞT）≤ T≤ U≤ s≤ T如果在时间t时只允许来自随机集合mta的投资组合进行补偿，如【14】中的情况，则通过将（t+Ct，s）与L（Mt，Ft）相交，很容易修改（2.3）。空的选择风险度量对应于完全不可接受的头寸。验收集的补偿属性保证，如果ΞT，则rt，s（ΞT）不为空∩ Lpt，s6=. 如果0，则该家族在时间范围内是可接受的∈ Rt，s（ΞT），等效，-Ξt包含来自Ct，s的元素。动态选择风险度量是条件凸的，即Rt，s（αtΞ′t+（1- αt）Ξ′t） αtRt，s（Ξ′T）+（1- αt）Rt，s（Ξ′\'t），对于所有αt∈ L（[0，1]，Ft），对于闭包也是如此。下一个结果来自引理2.1。引理2.2如果Ξ是完全Ft可分解的，那么Rt，s（ΞT）和Rt，s（ΞT）也是完全Ft可分解的。引理2.3设Xt为FT可测的随机上闭集。（i） Rt，s（XT）是Rd中Ft可测随机上闭集的选择族，用Rt，s（XT）表示。（ii）如果XT是a.s.凸，则Rt，s（XT）是a.s.凸。如果XT是一个圆锥体，且接受集是一致的，则Rt，s（XT）是一个圆锥体。引理2.2证明（i），Rt，s（XT）是Ft可分解族，因此定理9.1适用。（ii）如果γt，γt∈ Rt，s（XT），然后γit-ξ为∈ Ct，s，i=1，2，对于ξs，ξs∈ L（XT，Fs）。对于任何t∈ （0，1），tγt+（1）的条件凸性-t） γt- ξs∈ Ct，开关ξs=tξs+（1- t） ξs∈ L（XT，Fs）。

圆锥特性是特殊的。示例5如果Xs=ξs+Rd+表示ξs∈ Lpt，s，然后Rt，s（Xs）=Rt，s（Xs）=Rt(-ξs）+Rd+对于向量值动态风险度量rton Lpt，s，请参见【33】。附录中定义了随机集的（图）可测性。10 Emmanuel Lepinette，Ilya Molchanov3对冲至可接受性3。1个可接受的组合processLet（Kt）t=0，。。。，t是一个随机闭凸集序列，因此，对于allt，我们有Kt∩ 研发部-= {0}，kt是上集，Ktis Ft可测。集合KT被理解为在时间t以物理单位表示的所有溶剂头寸的系列，被称为偿付能力集合，参见【24】。如果偿付能力集合是锥型的，则以卡巴诺夫模式l的名义对该模型进行了深入研究；它描述了受比例交易成本影响的市场，见【24,32】。如果偿付能力集是圆锥体，而接受集是相干的，我们讨论相干圆锥体集。设Kt是Kt中包含的最大Ft可测线性子空间，即Kt=\\c6=0cKt=\\c∈Q \\{0}cKt，也是一个随机闭集。如果Kt={0}，则称偿付能力集为适当的；如果Kt=Kt，则称偿付能力集为严格适当的∩ (-Kt）={0}对于所有t=0，T如果Kt是一个圆锥体，则▄Kt=Kt，而通常为Kt~Kt。由于▄Ktis凸且原点对称，因此当且仅当▄Ktis有界时，Ktis正确。定义3.1 A序列Vt∈ L（Rd，Ft），t=0，被称为可接受的投资组合过程ifVt-1.- Vt公司∈ L（Kt，Ft）+Ct-1，t，t=1，T、 （3.1）根据选择风险度量的定义，（3.1）相当于VT-1.∈ Rt公司-1，t（Vt+Kt），t=1，T、 （3.2）因此，在支付交易成本的情况下，有可能改造Vt-1.- Vt进入地平线t的可接受位置。相当于Vt-1是否需要为某些kt购买Vt+kt+ηt∈ kt和ηt∈ Ct-1，t。

初始捐赠时间t为任何Vt-∈ L（Vt+Kt，Ft），以便可以转换Vt-支付交易费用。3.2可达到位置和超边缘时间s>t的可达到位置族是随机向量族，可作为VS获得。对于可接受的组合过程，从时间t的零投资开始。到（3.1），可达到位置族为Nbyat，s=sXu=tL(-Ku，Fu）-s-1Xu=tCu，u+1。Letξ∈ L（Rd，FT）为最终索赔（或付款）。对可接受性的对冲旨在提出一个可接受的投资组合过程（Vt）t=0，。。。，特里斯克套利11，保证支付ξ，即终端财富VTbelongstoΞξT=L（XξT，FT），是随机闭集XξT=ξ+KT的选择族。递归定义Ξξt=L（Kt，Ft）+Rt，t+1（Ξξt+1），t=t- 1.0，（3.3）是索赔ξ的时间t超边际价格集。族Ξξt包含ξ的时间t超边值，因此可以作为ξ的动态凸风险度量，其值为L（Rd，Ft）的子集。如果ξ=ξ′- ξ′表示ξ′∈ Lp（Rd，FT）和ξ′\'∈ L（Rd+，FT），验收集的compensationproperty确保Ξξ对于所有t都不是空的。为了处理ris k度量的渐近版本，让ξt=Ξξt，进一步的ξt=L（Kt，FT）+Rt，t+1（Ξξt+1），t=t- 1.0。（3.4）注意Ξξt^Ξξt cl（ξt），其中cl（ξt）=cl（ξt），对于所有t。族通过ξ=0 a来进行分类。s、 引理3.1（i）族Rt、s（ξs）、Rt、s（ξs）和ξTar是凸的，并且完全Ft可分解为所有0≤ T≤ s≤ T（ii）对于每个t≤ T，存在一个（可能是非闭合的）随机集Xξtsuchthat^926;ξT=L（XξT，Ft）。（iii）对于任何t≤ 所有初始捐赠的家庭-在时间t，允许启动可接受的投资组合流程（Vs）t≤s≤Tsch该VT∈L（ξ+KT，FT）a.s.，与ΞξtandΞξt=(-At，T+ξ）∩ L（Rd，Ft）。

（3.5）（iv）如果Kt是圆锥体，则Ξξt Ξt对于任何ξ∈ L（KT，FT）。引理2.2给出了证明（i）。（ii）对于t=t，Xξ的存在是平凡的。假设它在timet保持不变。t的结果- 1源自归纳假设和（3.4）byLemma 9.1。（iii）根据以下事实得出（γT+At，T）∩ （ξ+KT）6= 当且仅当γT∈ (-At，T+ξ）。（iv）从（iii）开始，自ξ+KT KTa。s、 示例6如果Kt=Rd+a.s.for all t（如果d=1，则始终如此），则可接受的投资组合流程满足Vt-1.- Vt公司∈ Ct-1，t对于所有t=1，T那么，ξt=（ξ+t-1Xs=tCs，s+1）∩ L（Rd，Ft）。自Ct以来-1，t∩ L（Rd，Ft-1） =L（Rd+，英尺-1） 对于所有t≥ 1根据弱时间一致性和归一化性质，归纳论点得出12 Emmanuel Lepinette，Ilya MolchanovΞt=L（Rd+，Ft）。如果ξ未完成，则设置Rt，s（ξT）将变得不重要。其静态变量在[20]中被称为监管机构风险度量；它只考虑可接受性要求，不考虑组件之间的任何交易机会。在[20]的术语中，R0,1（ξ+K）（在具有锥形K的静态设置中）被称为监管机构风险度量的市场扩展。4风险套利人称，Ξ是泽o索赔的时间集合t超套期保值价格。按（3.5），Ξt=(-At，T）∩ L（Rd，Ft）。（4.1）对于多变量财务模型，例如具有比例交易成本的模型，已经考虑了几个无仲裁条件。在卡巴诺夫的模型中，有NA条件，它的健壮版本NAr，但也有使用另一种方法导出的NA2条件，见【31】和【24】。所有这些条件都是根据从零初始捐赠开始可获得的所有最终债权的价值来制定的。

这里，我们考虑对零索赔的超级套期保值价格施加较弱的无ar比特币条件。定义4.1如果满足，则多周期模型满足（SNR）（严格无风险套利）∩ L(-Kt，Ft） L（Kt，Ft）表示所有t=0，T（NRA）（无风险套利）如果∩ L（Rd-, Ft）={0}对于所有t=0，T（NARA）（无渐近风险套利）如果（clΞt）∩ L（Rd-, Ft）={0}对于所有t=0，T（NRA2）（第二类无风险套利机会）如果，对于任何t=0，T和ηT∈ L（Rd，Ft），使得（ηt+At，t）∩ L（KT，FT）6=, wehaveηt∈ L（Kt，Ft）+Ct-1，t；（SNAR）（强无风险套利）如果PTT=0（kt+ηt）=0，则kt∈ L（Kt，Ft）和ηt∈ Ct-1，t对于所有t意味着kt∈ L（Kt，Ft）和ηt=0 a.s.表示所有t。让我们来评论一下（SNR）条件。如果pt∈^Ξt∩ L(-Kt，Ft），然后，从时间t的零初始禀赋开始，表示为0=pt-pt，我们从价格PTA中获得时间T的零索赔，并允许在时间T的中间可能的利润，因为清算价值为-pt公司∈ KT为非负。类似的解释适用于（NRA）条件及其渐近版本（NARA）。（NRA2）条件可与[31]中的（NA2）条件进行比较，而（SNAR）是[24，条件（iii），第3.2.2节]的一个版本。注意，（NRA）条件等同于At，T∩L（Rd+，Ft）={0}，而通常的（NA）条件为，T∩ L（Rd+，FT）={0}更强，见【24，第3.2.1节】。示例1表明，在不损害可接受性标准的情况下，可以从零头寸中释放有限资本，尤其是违反（SNR）条件的风险套利13。根据引理3.1，（SNR）可以写成XT∩(-Kt） Kta。s、 ，和（NARA）as（clXt）∩研发部-= {0}a.s.很明显，（NARA）比（NRA）强。根据（4.1），（NRA）条件相当于T，T∩L（Rd+，Ft）={0}对于所有t.如果Kt=Rd+a.s。

对于所有t，则Ξt=L（Rd+，Ft）且满足所有无套利条件，参见示例6。引理4.1（SNR）表示RT，t+1（Ξt+1）∩ L(-Kt，Ft） L（Kt，Ft），t=0，T- 1、如果偿付能力集严格正确，则相反的含义成立。证明表示M=Rt，t+1（Ξt+1），A=L（Kt，Ft），B=L（Kt，Ft）。我很可能看到M∩ (-（A） B如果（M+A）∩ (-（A） B只有在情况A下∩ (-A） ={0}。对于反向含义，如果x∈ （硕士+硕士）∩ (-A） ，则x=m+A=- a、 其中m∈ M和a，a∈ A、 因此，m/2∈ M∩(-（A） B、 然后x/2∈ A.∩ (-A） ，因此x∈ B=A∩ (-A） ={0}如果K是严格正确的。引理4.2假设验收集是严格正确的，即Ct，s∩(-Ct，s）由几乎肯定等于0的所有随机向量组成。（i） 如果所有t的Kt=~Kt，（SNAR）意味着a0，t∩ （L（Kt，Ft）+Ct-1，t） L（Kt，Ft），t=0，T、 （4.2）At，T∩ （L（Kt，Ft）+Ct-1，t） L（Kt，Ft），t=0，T、 （4.3）（ii）如果偿付能力设置严格适当(-Kt，Ft）∩ Ct-1，t={0}，t=0，T、 （4.4）则条件（4.2）、（4.3）中的任一项暗示（SNAR）。证明（i）根据[24，引理3.2.7]，假设-K- · · · - 千吨级- η- · · · - ηt=gt+ζt∈ A0，t∩ （L（Kt，Ft）+Ct-1，t）带ks∈ L（Ks，Fs），ηs∈ Cs公司-1，s，s=0，t、 燃气轮机∈ L（Kt，Ft）和ζt∈Ct-1，t.自（ηt+ζt）/2∈ Ct-1，tby凸性和-k/2- · · · - 千吨级-1/2- （kt+gt）/2- η/2- · · · - （ηt+ζt）/2=0，我们有（kt+gt）/2∈ K和（ηt+ζt）/2=0乘以（SNAR）。验收集的严格属性得出ηt=ζt=0。此外，gt∈ -kt+kt - Kt，以便gt∈ Kt，即（4.2）保持不变。属性（4.3）类似地源自（SNAR）。（ii）为了证明（4.2）暗示（SNAR），继续归纳asin【24，引理3.2.13】。允许-K- · · · - 千吨级- η- · · · - ηT=0。ThenkT+ηT=T-1Xs=0(-堪萨斯州- ηs）∈ A0，T-1. A0，T.14 Emmanuel Lepinette，Ilya MolchanovBy（4.2），kT+ηT∈ L（KT，FT）。