交易成本下的风险套利与可接受性对冲

自kT+ηTis FT起-1-可测量和偿付能力集严格正确，kT+ηT∈ L（KT-1，英尺-1） 。因此，kT+ηTcan b e与kT合并-1，然后归纳继续T-1代替T。为了说明（4.3）的含义（SNAR），从时间零点开始进行归纳。Sincek+η=TXs=1(-堪萨斯州- ηs）∈ A1，T A0，T，（4.3）表示k+η=0，（4.4）表示k=η=0。条件（4.4）可以看作是接受集和偿付能力集之间的一致性，即-KT不包含任何可接受的非平凡选择。以下结果的第一部分表明（NRA）与纳沃夫·卡巴诺夫（NAwof Kabanov）的弱无套利资产模型相似，见【24，第3.2.1节】。用内饰和A的边界 Rd.命题4.1假设Rd+\\{0} intKta。s、 对于所有t，则（NRA）等于以下两个条件中的每一个。（i） Rt，t+1（Ξt+1）∩ L(-Kt，Ft） L(-Kt，Ft）对于所有t.（ii）^Ξt∩ L（Rd-, Ft）={0}对于所有t.证明（i）对于γt，考虑xt=γt+kt∈ M=Rt、t+1（Ξt+1）和kt∈ L（Kt，Ft）。假设xt是非平凡的，并且xt∈ L（Rd-, 英尺）。因此，γt/2=xt/2-千吨/2∈L(-Kt，Ft）和γt/2∈ -intKton{xt6=0}，因为intkt包含Rd+\\{0}，这与假设相反。考虑任何xt∈ M∩L(-Kt，Ft），使xt=- ktfor kt∈ L（Kt，Ft），使得P（Kt∈ intKt）>0。通过一个可测量的选择参数，kt+γt∈L（Kt，Ft）表示某些γt∈ L（Rd-, Ft）\\{0}。因此，xt+kt+γt=γt∈ （米+升（千吨，英尺））∩ L（Rd-, Ft），与（NRA）相反。（ii）必须表明（NRA）意味着（ii）。假设kt∈ L（Kt，Ft）和γt∈ Rt，t+1（Ξt+1）等于t kt+γt∈ 研发部-a、 s.和kt+γt6=0，概率为正。自kt/2+Rd起+ （{kt/2}∪ intKt）a.s.，具有正概率的集合（intKt+Rt，t+1（Ξt+1））与rd有无n平凡相交-. 根据[26，P rop。

2.10]当X=intKt且Ξ=Rt，t+1（Ξt+1）时，集合（intKt+Rt，t+1（Ξt+1））与Rd有一个非平凡的交点-正概率，与（NRA）相反。定理4.1如果偿付能力集是正确的，则（SNR）意味着（NARA）和所有t=0的^Ξtin概率的闭合性，T风险套利15证明表示M=Rt，t+1（Ξt+1）。回想一下cl^Ξt=clΞt。假设KNT+γnt→ ζt∈ L（Rd-, Ft）knt的a.s∈ L（Kt，Ft）和γnt∈ M使得kNt+γnt∈^Ξt，n≥ 由于M是L-闭且凸的，我们可以通过[24，引理2.1.2]假设knt→ 千吨级∈ 集合A上的L（Kt，Ft）={lim infnkkntk<∞}.因此，γnt→ γt∈ M，因此γt=ζt- 千吨级∈ M∩ L(-Kt，Ft） L（Kt，Ft）。因此，γt∈ kt和ζt/2=γt/2+kt/2∈ 千吨级。因此，ζt/2∈ 研发部-∩ A上的Kt={0}和ζt=0。如果P(Ohm\\A） >0，假设knt=γnt=ζt=0（按Ft分解），并使用标准归一化程序，即将knt，γnt，ζtby除以（1+kkntk）。如前所述，我们得到kt∈ L（Kt，Ft），使kktk=1onOhm \\ A、 自0起∈ 我们有γt∈ M的条件凸性。此外，kt+γt=0，因为ζt/（1+kkntk）→ 因此，γt6=0属于M∩L(-Kt，Ft）={0}，从引理4.1来看，这是一个矛盾。这个参数还产生了c闭度，即^Ξt=L（Kt，Ft）+M.LetApt，s注意Apt的闭度，s=At，s∩ p<∞在Ft中，p=∞.以下定理表明，（NARA）和（SNR）条件是非免费午餐类型的弱无套利条件。回想一下，通常的NFL条件是∩ L（Rd+，FT）={0}。定理4.2假设接受集从下到下是连续的，并且∈ [1，∞].（i） （NARA）等于pt，T∩ L（Rd+，Ft）={0}，t=0，T- 1.（4.5）（ii）如果偿付能力集合适，则（SNR）等于PT，T∩ L（Kt，Ft）={0}，t=0，T- 1.

（4.6）此外，性质（4.5）和（4.6）等同于p=1的相同性质，也等同于通过对At，Tin Lpt，T=LpFt（Rd，FT）进行闭包得到的性质。证明（i）（4.5）对于Lpt，T上的条件范数的闭包成立。因此，（4.5）如果对于Lp（Rd，FT）上的范数进行闭包，则lso成立。因此，根据（4.1），有必要证明（NARA）源自CLP（t∩ Lp（Rd，Ft））∩ L（Rd-, Ft）={0}，t=0，T- 1.（4.7）假设（4.7）并考虑xt∈ （clΞt）∩ L（Rd-, 英尺）。然后是xnt→ xta。s、 forxnt公司∈ Ξt，n≥ 因此，xntkxntk≤m+1kxtk≤M→ xtkxtk≤文科硕士s、 作为n→ ∞16 Emmanuel Lepinette，Ilya Molchanovfor all m≥ 1，其中xntkxntk≤m+1kxtk≤M∈ Ξt根据可分解性和自0∈ Ξt.支配收敛定理得出xtkxtk≤mbelongs toclp（t∩ Lp（Rd，Ft））∩ L（Rd-, Ft）={0}，其中可以对条件范数进行闭包。让m→ ∞ 收益率xt=0，即（NARA）保持不变。假设（NARA）。考虑序列（Vnt，T）n≥1从Apt，t在Lpt中会聚，到z+t∈ Lp（Rd+，Ft）。然后，Vnt，T=Vnt，T∧ z+t→ z+tin Lpu，T，其中最小值是协调的，u是T和T之间的任何时刻，以及▄Vnt，T∈ At，T，因此我们可以在没有一般服务水平s的情况下假设vnt，T≤ z+t。传递到子序列，假设Vnt，t→ z+tin Lpu，对于每个给定的u几乎可以肯定≥ t、 定义ξnT=Vnt，t- z+t≤ 0.然后| | |ξnT | | | p，FT-1.→ 概率为0。从下面继续，存在一个序列γnT-1.∈ L（Rd+，英尺-1） ，n≥ 1，即ηnT=ξnT+γnT-1.∈ CT-1和0≤ γnT-1.≤ xT | | |ξnT | | | p，英尺-1对于所有n和一些xT∈ Rd+。因此，γnT-1.→ 0英寸LpT-2，Tif T- 2.≥ T

自从-γnT-1.→ 0英寸LpT-2，T，从belowproperty的连续性得到了序列γnT的存在性-2.∈ L（Rd+，英尺-2） 使ηnT-1=-γnT-1+γnT-2.∈ CT-2，T-1对于所有n，对于某些常数xT-1.∈ Rd+，我们有0≤ γnT-2.≤ xT公司-1 | | |γnT-1 | | | p，英尺-1.≤ xTxT文本-1 | | |ξnT | | | p，FT-2，所以γnT-2.→ 0英寸LpT-3，Tif T- 3.≥ t、 迭代构造以查找γnT-3.γnt使得γnt→ 0 a.s.然后ηnu+1=-γnu+1+γnu∈ Cu，u+1英尺≤ U≤ T- 因此，ξnT+γnT=T-1Xu=tηnu+1∈ Ct，t+1+···+Ct-1，T.By c onvexity(-z+t+γnt）=-Vnt，T+（ξnT+γnT）∈ Ξt.let n→ ∞ 产生-z+t∈ （clΞt）∩ L(-Rd+，Ft），使z+t=0by（NARA）。T hus，（4.5）适用于条件范数，也适用于Lp范数。（ii）回顾Theo rem 4.1中的^Ξt=cl（^Ξt）=cl（Ξt）。根据（i）的论证，我们得出（SNR）等价于lp（t∩ Lp（Rd，Ft））∩ 有限合伙人(-Kt，Ft）={0}，t=0，T- 1.（4.8）鉴于f（4.1），clp（t∩ Lp） -Apt，T.因此e，（4.6）表示（4.8）和（SNR）成立。风险套利17现在假设（SNR）。考虑序列（Vnt，T）n≥1从Apt，T在Lpto kt中聚合∈ L（Kt，Ft）。然后按照（i）的proo f，用kt代替z+t。考虑序列（Vnt，t）n≥1从At开始，T以Lto kt收敛∈L（Kt，Ft）。我们可以假设（Vnt，T）n≥1接近a.s.然后，对于everyM>0，（Vnt，Tkktk≤M） n个≥1是来自At的序列，T在Ltoktkktk中收敛≤M∈ Lp（Kt，Ft），因此我们可以在不失去一般性的情况下假设kktk以M为界。传递到子序列，假设E（kVnt，T-ktk（英尺）→ 0 a.s.因此，Vnt，TE（kVnt，Tk | Ft）≤M+1→ kt几乎可以肯定，且inLt，T。因此，（4.6）在p=1时成立。现在考虑更一般的索赔ξ。

回想一下，如果kt是圆锥体，ξ∈ KTa。s、 ，则Ξξt Ξt对于所有t.定理4.3如果偿付能力集是正确的，且接受集从下到下是连续的，则（SNR）得出所有t和任何ξ的概率闭合的t∈ Lp（Rd，FT），因此对于随机闭集Xξt，t=0，…，^ξt=L（Xξt，FT），T证明假设knt+γnt→ ζt∈ knt的L（Rd，Ft）a.s∈ L（Kt，Ft）和γnt∈ M=Rt，t+1（ξt+1），使得knt+γnt∈^Ξt.由于M是L-闭且凸的，我们可以通过[24，引理2.1.2]假设knt→ 千吨级∈ 集合A上的L（Kt，Ft）={lim infnkkntk<∞}. 因此，γnt→ γt∈ M，所以ζt=kt+γt∈ξt.If P(Ohm\\A） >0时，假设knt=γnt=ζt=0（按Ft分解），并使用归一化程序，即通过s校准knt和γnt（cnt=（1+kkntk）获得▄kntand▄和▄γnts）-1、我们可以假设kγntk≤ 2，自cntζt→ 0，因此▄knt+▄γnt→ 0、如前所述进行论证knt→~kt∈ L（Kt，Ft）在Lp中，Kktk=1开Ohm \\ A、 因此，|γnt→ γt=-~ktin Lp，因此▄kt+▄γt=0。注意ATM=cl(-At+1，T+ξ）∩ L（Rd，Ft）.按凸度，~γnt∈ cl公司(-At+1，T+cntξ）∩ L（Rd，Ft）。自kγntk起≤ 2，在不丧失一般性的情况下，假设▄γnt∈ 中电(-At+1，T+cntξ）。要看到这一点，必须近似于序列|γntby|γmnt∈ (-At+1，T+cntξ），m≥ 1，并将后者乘以1k’’γmntk≤3、出租n→ ∞, （4.6）产量-γt∈Apt，T∩ L（Kt，Ft）={0}。因此，γt=0，因此P(Ohm \\ A） =0，结论如下。引理4.3（NRA2）等价于Ξξt L（Kt，Ft）+Ct-1，t，t=0，T、 （4.9）对于任何ξ∈ L（KT，FT）。

如果（4.4）成立，则（NRA2）意味着（NARA）。18 Emmanuel Lepinette，Ilya MolchanovProof注意，（ηt+At，t）与L（KT，FT）相交的当且仅当ηt∈ (-At，T+L（KT，FT））∩ L（Rd，Ft），等效为ηt∈ Ξξt对于某些ξ=kT∈ L（KT，FT）。用K表示*t={x:hx，ui≥ 0，u∈ Kt}正对偶集为Kt，假设K*t \\{0}是所有t定义的Rd+内部的子集。t定义4.2≤ T，自适应过程Z=（Zs）s=T，。。。，如果是q的q鞅，则是q可积t-弱相合价格系统~ Psuch证明zs在q，Fs可测选择K下是q-可积的*稳定部队≥ t和Zt6=0 a.s.我们用Mq，wt，t（Q）表示Q下的所有Q-可积t-弱一致价格系统，其中Q∈ [1，∞].以下结果描述了（SNR）和（NARA）条件下的价格特征，因此可以将其视为我们框架中资产定价的基本定理。定理4.4总结了相干圆锥设置，并且偿付能力设置从下到下是连续的。设q为从接受集定义中提取的数字p的共轭数。（i） （NARA）等于每个t都存在Z∈Mq，wt，T（P），使得ehzu，ηui≥ 所有ηu为0∈ 铜-1，u，u=t+1，T、 （4.10）（ii）如果intK*t6= a、 对于所有t，则（SNR）等效于每个t都存在Z∈ Mq、wt、T（P）s uch（4.10）保持和Zt∈L（intK*t、 英尺）。证明（一）Z的存在性∈ Mq，wt，T（P），使得EhZt，ηi≥ 0表示所有η∈Ct，t+1+···+Ct-这是Hahn–Banach分离定理和定理4.2（i）的直接结果，因为我们可以取p=1。为了证明逆蕴涵，对于每个t，假设Z的存在∈Mq、wt、T（P）并考虑xT∈ Apt，T.下一步=-千吨级- （kt+1+ηt+1）- · · · - （kT+ηT），其中ηs∈ Cs公司-1，砂ks∈ L（Ks，Fs）表示s≥ T

因为ηs=η′s+η′s和η′s∈ Cs公司-1，s∩ Lps公司-1，砂η′\'s∈ L（Rd+，Fs），我们可以合并η′和k，并假设ηs=η′s，而不丧失一般性≤ 我们证明了EhZT，xTi≤ 0.IfxT=-千吨级-1.- 千吨级- ηT，这是微不足道的。自ηt+1，kt起∈ Lpt，t+1，存在一个分区（位）i≥1从Ftsuch thatηt+1比特，ktBit∈ Lp（Rd，Ft）适用于所有i≥ 1、那么，xit+1=(-kt+1- · · · - 千吨级- ηt+2- · · · - ηT）1比特∈ Apt+1，T，i≥ 1、风险套利19此外，EhZT、xTi=∞Xi=1EhZT，xit+1i+∞Xi=1EhZT，-ktBiti+EhZt，-ηt+1i1Bit=∞Xi=1EhZT，xit+1i+∞Xi=1EhZt，-ktBiti+EhZt+1，-ηt+1Biti≤∞Xi=1EhZT，xit+1i。归纳假设是：EhZT，xit+1i≤ 因此，EhZT，xTi≤ 因此，EhZT，xTi≤ 0表示所有xT∈Apt，T.特别是，如果xT=xT∈L（Rd+，Ft），然后EhZt，xti≤ 0，最终EhZt，xti=0。自Zt起∈ intRd+，wehave xT=0，即（NARA）符合定理4.2（i）。（ii）使用Hahn-Banach定理并遵循[25，Th.4.1]的参数，重复（i）的证明，以构造Z∈ Mq，wt，T（P），使zt∈ L（intK*t、 英尺）。备注1条件（4.10）可以用条件期望a s E（hZu，ηui | Fu）等效书写-（1）≥ 0 a.s.，也对应于模块中的双精度配对，请参见[15]。事实上，支持（4.10）的观点。ThenE（hZu，ηuAu-1i）≥ 所有Au的0-1.∈ 傅-因此，E（hZu，ηui | Fu-（1）≥ 相反的含义是显而易见的。换句话说，（4.10）意味着Zu属于Cu的正对偶-1，u.如果验收设置为p=∞ 由凸族Zt，s（见示例4）生成，则（4.10）表示Zt属于Zt的闭包，相对于Ft有界收敛概率为nc e。

如果Ktare都是半空间（在无摩擦的情况下），那么（NARA）等价于存在amartingale Zu=φuSu，其中sui是价格向量，因此（4.10）成立。5个好的交易假设Ct，r和om向量的s（ηs，0，…，0）∈ Lp（Rd，Fs），具有除第一个元件外的所有消失元件，并且rt，s（ηs）≤ 0表示单变量动态风险度量rt，s。这与通过计算以第一项资产（最重要的是现金）为单位的投资组合的风险来评估每个步骤的可接受性的情况相对应。这种情况下的任意机会被称为好交易，请参见[7]。为简单起见，考虑零利率的一期设置和两项可交换且无交易成本的资产，以便在不损失一般性的情况下，假设第一项资产为现金，第二项资产为按t=0，1的标准定价的风险资产。设ξ为最终索赔的现金价值。如果x是初始捐赠（现金），那么投资组合的终值isV=（x，0）+(-kS，k）+(-kS，k）- （η′，η′），20 Emmanuel Lepinette，Ilya Molchanove，其中η′和η′对于一些静态凸风险度量是可接受的，这意味着r（η′）≤ 0和r（η′）≤ 考虑到验收集C0,1的选择，我们得到η′=0，因此Vsu必须支付索赔ifx+k（S- S）- η′型≥ ξ。确保存在可接受η′的最小x值=-ξ+x+k（S- S） ，满足上述不等式，等于r（k（S- S）- ξ） 总体确定性k∈ R、 例如，如果R（S）为零，则零索赔ξ=0可以用负的初始资本来表示- S） <0 orr（S- S） <0，这意味着存在大量套利。

如果是这种情况，并且风险度量是一致的，那么alsor（k（S- S）- ξ）≤ r（k（S- S） ）+r(-ξ） <0（5.1）表示足够大的正kif r（S-S） <0（或负kif r（S-S） <0），这意味着(-ξ） 也可以通过负初始投资进行对冲。换句话说，无好交易（NGD）套利条件变为≥ -1和r(-序列号）≥ 1、我们的设置作为良好的Dea ls套期保值更为通用，因为它允许更为通用的接受集，并消除了为评估可接受性而指定的单一资产选择。因此，无套利条件变得更强，价格暴跌。如图所示，将上述两项资产的一个周期设置与验收设置c0,1进行考虑，该验收设置包括所有（η′，η′），因此r（η′）≤ 0和r（η′）≤ 通过允许非平凡η′，可以降低终端现金索赔ξ的价格。为此，注ξ可在以下情况下支付（x- 堪萨斯州- 堪萨斯州- η′型≥ ξk+k- η′\'≥ 0对于某些确定性k，F-可测k，以及可接受的η′，η′。这增加了对冲的可能性，从而导致超边际价格的下降，但也创造了额外的套利机会。特别是考虑（η′.η′）∈ C0,1当η′=0时，如果r（（k（S）），套利成为可能- S） +x）/S）≤ 0表示so me x<0和K∈ R、 通过让xincrease为零，我们可以看到，除了（5.1）之外，必要的无套利条件会产生R（S/S）≥ -1和r(-序列号）≥ 1.（5.2）它回应了这样一个事实，即在两种资产中，其中一种资产中表达的头寸可能不可接受，而另一种资产中表达的头寸可能可以接受。必要且有效的无套利条件是强有力的，并且还应包括这两种资产的所有可能组合。风险套利21假设ξ=（S- K） +对于一些K>0且支撑整个半线（0，∞).

如果r（X）=ess supF(-十） ，即当可接受位置为非负随机变量时，则最小价格X=infk∈Rr（k（S- S）- ξ） 等于S。如果r是非平凡的，我们有x≤ S+r（S- ξ） 。请注意，S-ξ=S∧ K、 所以x≤ S+r（S）∧ K，最终为x≤ s- r（S），其中r（S）<0，前提是S>0且r是非平凡的。这个简单的例子说明了在存在非三重风险度量的情况下，超级套期保值价格的下降。示例7假设风险度量值r为负基本值，即考虑第6节中的条件核心设置。如果ess infFS，则不可能使用NGDarbitrage≤ s≤ ess supFS。在选择风险度量时，NGD条件与（SNR）条件一致，参见定理8.1.6作为风险度量的条件核，假设p=∞ 和Ct，对于所有0，s=L（Rd+，Fs）≤ T≤ s≤ T，所以rt，s（Ξ）=Ξ∩ L（Rd，Ft）表示任何上部组Ξ L（Rd，Fs）。如果X是一个n个上随机闭集，则Rt，s（X）=Rt，s（X）=m（X | Ft），其中后一个符号指定X的最大Ft可测量