最优停车的平均场对策

此外，我们认为ρ是由所有代理观察到的，因此ρ将适用于所有i。在（2.4）中，我们默认右侧的集合是可测量的P-a.s.，这对于i.i.d.随机变量的连续统来说非常重要。下一节将讨论可以保证这一点的设置。然而，在此之前，让我们通过一个非常简单的示例来说明迄今为止引入的概念，其中代理不使用除ρ以外的任何信号。示例2.4（太阳黑子）。（i） 设λ为i=[0，1]上的勒贝格测度，设r>0为常数，设X为上的右连续递增过程(Ohm, F、 P），对于普通、右侧连续过滤Gi=G（即，所有试剂均相同）可逐步测量，并且X∞> 1、假设代理人一∈ [0，1]相信强度γit=（r- i+ρt）∨ 因此，我是“乐观主义”或“风险容忍度”的指数——指数较高的代理相信θi会在以后发生。我们声称ρt=（Xt∧ （1）∨ 0产生平衡。实际上，最佳停止时间由τi=inf{t：γit给出- R≥ 0}=inf{t：ρt=i}=inf{t：Xt≥ i} 结果是λ{i:τi≤ t} =λ{i:Xt≥ i} =（Xt∧ （1）∨ 0=ρt；请注意，满足（2.1）的第二个条件。例如，选择Xt=t会导致ρt=t∧1和τi=i，表明代理在确定性时间停止，这些时间均匀分布在时间间隔上[0，1]。如果Xis严格为正，我们会看到一些代理在t=0时立即停止，而如果Xis严格为负，则任何代理都需要一段时间才能停止。（ii）有限人博弈中存在类似的均衡。让n∈ N并设λ为I={1/N，2/N，…，1}上的归一化计数测度；这对应于n个权重相等的代理。在与（i）相同的设置中，非平衡由τi=inf{t:Xt描述≥ i} 和ρt=（Xt）∧ （1）∨ 0,哪里十、 := 最大{s∈ I:s≤ x} 。备注2.5。

（i） 在前面的例子中，过程X不是γi的函数形式的一部分；本质上，任何过程X都会产生一个平衡。这种解释是，如果所有主体都同意一些通常观测到的信号X是相关的，那么它确实变得相关了，这就是“太阳黑子平衡”这个名称本身所暗示的。我们将在示例4.3中看到，这种情况是模型的一个生成极限，其中唯一性是典型情况。（ii）如果所有代理完全相同，问题将退化，因为它们（通常）将同时停止。因此，在上述示例中，通过改变风险容忍度，使代理具有异构性。当代理由于privatesignals而已经是异构的时，如后面的章节中所述，这是不必要的。3数学设置和精确的Largenumbers定律在本节中，我们介绍了设置以适应连续的试剂及其专用信号。设（I，I，λ）为无原子（因此为不可数）概率空间，且(Ohm, F、 P）是另一个概率空间。定义3.1。A家庭（fi）i∈Iof随机变量开启(Ohm, F、 P）基本上是成对独立的，如果λ-几乎所有i∈ 一、 对于λ-几乎所有j，fi与fjj无关∈ 一、 此外，如果所有fi的分布都相同，则该家族基本上是成对的I.I.d。类似地，对于σ-字段C F、 家庭（fi）i∈如果λ-几乎所有i∈ 一、 对于λ-almostall j，fi在条件上独立于fjgiven C∈ 一、 在下面的内容中，我们需要研究一个比通常乘积（I×）更大的概率空间Ohm, 我 F、 λ P），因为后者在此处和下方不起作用，我们使用产品σ-字段I F已完成。支持i.i.d.随机变量的相关系列。更准确地说，我们有以下事实：；参见，例如，【31，提案2.1】。备注3.2。

如果f:I×Ohm → R是I F-可测函数，使得F（i，·），i∈ I本质上是成对的I.I.d.，那么f是常数λ P-a.s.根据[31]，我们说概率空间（I×）Ohm, ∑，u）是产品（I×）的扩展Ohm, 我 F、 λ P）如果∑包含I F和u到I的限制 F与λ重合 P此外，如果任何u-可积函数f:I×Ohm → 满足Fubini\'stheorem的主张；也就是说，（i）对于λ-几乎所有i∈ 一、 函数f（I，·）是P可积的，（ii）对于P几乎所有ω∈ Ohm, 函数f（·，ω）λ-可积，（iii）i 7→Rf（i，·）dP是λ-可积的，ω7→R（·，ω）dλ是P可积的，且zf du=ZZf（i，ω）P（dω）λ（di）=ZZf（i，ω）λ（di）P（dω）。让（I×）Ohm, ∑，u）是（I×）的Fubini扩展Ohm, 我 F、 λ P）。然后，基本上成对独立的族满足大数定律的精确版本。最简单的版本大致如下：格里文科-坎特利定理的正确版本成立；参见[31，推论2.9]。命题3.3（精确大数定律）。设f:I×Ohm → R为u-可积。如果f（i，·），i∈ I本质上是I.I.d，其di分布的平均值为m，则rf（·，ω）dλ=m表示P-几乎所有ω∈ Ohm.我们还需要[30，推论2]提供的有条件版本。命题3.4（条件精确大数定律）。让C Fbe是一个可数生成的σ-场，设f:I×Ohm → R为u-可积分。Iff（i，·），i∈ I基本上是成对条件独立的，给定C，则rf（·，ω）dλ=REu[f | I C] P的（·，ω）dλ-几乎所有ω∈ Ohm.鉴于备注3.2，不明显的是，前面的命题不是真空的，这是由接下来的两个结果保证的。空间（I×）Ohm, 如果存在∑-可测函数f:I×，则∑，u）称为富Ohm → R使得f（i，·），i∈ 我基本上是成对的I.I.d。

也就是说，f是可测量的u-完成∑andR | f | du<∞.因为∑可能严格大于I F、 这不是自动的。[0，1]上的均匀分布。与无原子概率s空间支持任意给定分布的随机变量一样，富Fubini扩展本质上支持任意给定分布的成对i.i.d.族；参见[31，推论5.4]。引理3.5。让（I×）Ohm, ∑，u）是（I×）的富比尼扩展Ohm, 我F、 λ P），设S是一个Polish空间，设ν是一个Borel概率测度。存在∑-可测函数f:I×Ohm → 这样f（i，·），i∈ I本质上是成对独立的，f（I，·）对所有I都有分布ν∈ 一、 引理3.6。存在无原子概率空间（I，I，λ）和(Ohm, F、 P）以便（I×）Ohm, 我 F、 λ P）允许丰富的Fubini扩展。这是[31，命题5.6]断言的一部分，它也表明人们可以接受I=[0，1]和Ohm = R[0,1]。[32]的主要结果表明，此外，可以将λ作为Lebesgue测度的扩展（但不是Leb-esgue测度本身）。[29]中介绍了一种不同的结构，即避免非标准分析。4一个玩具模型在本节中，我们讨论了一个简单的设置，其中代理的信号是。i、 d。；也就是说，纯粹的特殊噪音。虽然不适合大多数应用，但这将使我们能够在模型中解释精确的大数定律的影响，并在没有太多干扰的情况下讨论一些更为明确的唯一性和非简并性问题。考虑第2节中介绍的具有无原子概率空间（I，I，λ）和(Ohm, F、 P），并让（I×）Ohm, ∑，u）是其产品的富比尼拉伸。对于每个i∈ 一、 让易≥ 0是一个正确的、连续的、递增的、Gi逐步可测量的过程。我们假设对于每个t≥ 0，（i，ω）7→ Yit（ω）是∑-可测的，并且Yit，i∈ 我基本上是成对的。i、 d。

此外，我们认为，Yithas的分布没有原子；也就是说，其c.d.f.y 7→ Ft（y）：=P{Yit≤ y} 是连续的。提案4.1。让r∈ R和c∈ R+。方程式1- u=英尺（r- cu），u∈ [0，1]（4.1）有一个最大解ρ（t）∈ [0，1]每t≥ 0和t 7→ ρ（t）是右连续的。还确定γit=Yit+cρ（t），τi=inf{t：Yit+cρ（t）=r}，并假设（2.1）满足所有i.（i），则ρ和（τi）i∈定义平衡：τi∈ Ti是agent i的最佳停止时间，映射（i，ω）7→ τi（ω）是∑-可测的，λ{i：τi≤ t} =ρ（t）P-所有t的a.s≥ 相反，设ρ是与非平衡相对应的右连续函数。如果γiis对所有i严格递增，则ρ（t）对于每个t是（4.1）的解≥ 0、证明草图。这个命题是定理5.1的一个特例，稍后将予以证明，因此我们只解释最重要的步骤。（a） 我们首先认为ρ是定义良好的、递增的和右连续的。让我们考虑，对于右连续增函数F:R→ [0，1]，g（u）的零：=F（r- 铜）- 1+u，u∈ [0，1]。我们有G（0）=F（r）- 1.≤ 0和G（1）=F（r- c）≥ 此外，G是左连续的，其跳跃满足G≤ 因此，G在[0，1]中必须至少有一个零。如果联合国↑ u是[0，1]中的最大化零序列，通过左连续性，G（u）=0，u是最大零。接下来，写入Gt（u）：=Ft（r- 铜）- 1+u，设ρ（t）为每个t的最大值零≥ 0.t 7的增加和右连续性→ ρ（t）可以从Y的增加、Y的右连续性和Y的连续性7中推断出来→ Ft（y），我们分别推迟细节。（b） 接下来，我们验证ρ和（τi）i∈确定一个平衡点。

从（a）可以看出，γi=Yi+cρ是递增的且右连续的；因此，引理2.1得出τi∈ 这是一个最佳的s打顶时间∈ I和{（I，ω）：τI（ω）≤ t} ={（i，ω）：Yit（ω）+cρ（t）≥ r}∈ ∑。利用命题3.3的精确大数定律、fta的连续性和ρ（t）的定义，我们得到了ρ（t）：=λ{i：τi的P-a.s≤ t} =λ{i:Yit+cρ（t）≥ r} =ZP{Yit+cρ（t）≥ r} λ（di）=1- 英尺（右- cρ（t））=所有t的ρ（t）≥ 0。（c）设ρ：R+→ R是与非平衡相对应的右连续函数；也就是说，ρ（t）=λ{i：τi≤ t} 对于某些最优τi∈ Ti，i∈ 一、 那么|ρ明显增大，[0，1]取值。由于γi的严格增加，我们从引理2.1知道τi=inf{t：γit≥ r} 。因此，ρ（t）=λ{i：τi≤ t} =λ{i:Yit+c'ρ（t）≥ r} =ZP{Yit+c'ρ（t）≥ r} λ（di）=1- 英尺（右- c′ρ（t））；也就是说，(R)ρ（t）是所有t的（4.1）解≥ 我们从一些关于唯一性的观察开始讨论。备注4.2。（i） 方程（4.1）可能有多个解；参见示例4.4。如果t 7→ ρ（t）是（4.1）的任意右连续递增解，不一定是最大的，然后ρ通过上述命题4.1的证明中的相同论证得出平衡。（ii）方程（4.1）也有一个最小解，它在t中自动递增。然而，它不一定是右连续的；另见下文示例4.3（iii）。相反，如果Y为，则它保持连续。如果解是唯一的且Y是连续的，则解是最小和最大的，因此是连续的。接下来，我们分析命题4.1的一个特例，它是可解的，并且揭示了常数c的影响≥ 0参数化交互强度。

一种直觉是，如果代理之间的交互太强，一些代理的停止将导致多米诺骨牌效应，所有其他代理都会立即停止。示例4.3。让r≥ 1并让Ui、i∈ I本质上是成对的I.I.d.，在[r]上均匀分布- 1，r]。此外，让a:R+→ R+是严格递增的右连续函数，a（0）=0，a(∞) > 1-后者将确保（2.1）保持不变。然后我们考虑严格递增的过程it=Ui+a（t），并注意到Ft（y）=F（1+y-a（t）-r） ，其中F是均匀分布的c.d.F.【0，1】。因此，方程式（4.1）变为1- u=F（1- 铜- a（t）），u∈ [0，1]。（4.2）（i）无相互作用，c=0。显然，唯一解是ρ（t）=a（t）∧ 这是命题4.1最后一部分的唯一均衡。（ii）适度互动，c∈ （0，1）。很容易看出，（4.2）有唯一解ρ（t）∈ [0，1]；即ρ（t）=[（1- c）-1a（t）]∧ 这是唯一的平衡。特别是，对于c∈（0，1）。交互作用系数c越大，代理数越早。（iii）临界相互作用，c=1。使用a（t）>0表示t>0，我们可以检查ρ（t）=1是（4.2）表示t>0的唯一解。因此，ρ≡ 1是唯一的右连续解；也就是说，所有代理都在t=0时停止。这也是唯一的权利连续均衡。值得注意的是∈ [0，1]是t=0时（4.2）的溶液；回想一下，a（0）=0。直观地说，解ρ（t）=u1{0}+（0，∞)不连续的部分对应于平衡，其中部分u在时间零点停止，而其余部分在“零点之后”立即停止。这可以说明为什么我们的结果中存在强光连续性。（iv）超临界相互作用，c>1。

我们直接看到ρ（t）=1是（4.2）对于所有t的唯一解≥ 0.4.1关于平衡的多重性，以下是一个表现良好的非唯一性示例。示例4.4。我们再次考虑示例4.3的设置，例如，r=1，a（t）=t，但我们现在用分配质量ε的测量值替换Ui的均匀分布∈ （0，1/4）均匀到[0，ε]和[1-ε、 1]和剩余质量1- 2ε均匀至[1/2- ε、 1/2+ε]。对于足够小的ε>0和c∈ （0，1），我们看到方程（4.1）在一定区间内有三个t的内部解，而所有解都位于t=0的原点。我们可以选择这些解中的任何一个来形成一个与合法平衡相对应的递增右连续过程ρ。为了理解这种分歧，让我们首先看看γit=r的更简单的情况- c+cρ（t）f或所有i。在时间t=0时，两个明显的平衡是：无药剂停止，然后ρ（t）=0，γit=r- c<r，所以最好不要停下来。或者，所有代理都立即停止，然后ρ（t）=1，γit=r，因此确实最好停止。（该协调问题与[14，27]中讨论的现象非常相似。）当γ是随机的时，对于与γi分布中的一个原子相对应的种群子集，可以在中间时间出现类似的选择。更一般地说，当随机变量有效地集中在某个点周围（相对于c的大小）而不是有原子时，分叉通道也会以连续的方式发生，这是示例4.4中所见证的。以下观察结果是对相同相互作用的不同看法。备注4.5。Let（t，y）7→ Ft（y）be Cand写入Ft=yftf时间t的概率密度。假设uFt（r- cu）6=-1.即cft（r- cu）6=1在（4.1）的解ρ（t）附近的u。

然后，隐函数定理表明ρ是局部唯一的，并且C。对于C>0，这是真的，特别是如果0≤ 英尺<c-1开[右]- c、 r]。或者，换言之：如果FTI不太集中，或者c足够小，则局部唯一性成立。下面提供了示例2.4的更广泛视角，并表明在某些制度下，唯一性可能会更严重地失效。示例4.6。我们再次考虑示例4.3的设置，除了我们现在取a（t）=（0，t<T2，t≥ T、 其中T∈ （0，∞) 充当时间范围。事实上，这一定义意味着γit≥ 所有t的r+1≥ T和i∈ 一、 这样所有代理都将在T处停止，如果不更早的话。因此，我们对[0，T]的情况感兴趣，其中（4.2）变成1- u=F（1- cu）。（i） 对于c∈ [0，1），唯一解是u=0，因此ρ（t）=1[t，∞)是相应的平衡：在t=0时，只有一组零代理停止，直到t才改变。我们可以检查这种平衡是唯一的，即使γi没有严格增加。（ii）在临界值c=1时，唯一性丢失，情况完全不同。事实上，这个方程变成了重言式1- u=1- u、 因此，任何右连续递增函数X（t）的值在[0，1]中，通过ρ（t）=X（t）1[0，t）+1[t确定平衡，∞).这就是我们在示例2.4中遇到的情况：就平衡分布而言，分配风险规避-i至试剂i，并从[r]均匀取样-1，r]对于当前示例中的每个代理。后者基本上与例2.4.5中试剂标签的随机排列相对应。在本节中，我们通过指定i.i.d.信号Yi和a公共信号X的强度γias（可能是非线性函数）来概括上一节中的模型。

因此，强度是条件独立的，而不是独立的，平衡成为X的函数。如上所述，我们考虑第2节中引入的设置，即原子无概率空间（I，I，λ）和(Ohm, F、 P），并让（I×）Ohm , ∑，u）是其产品的Fubiniextension。对于每个i∈ 一、 让易≥ 0是一个正确的、连续的、递增的、Gi逐步可测量的过程。我们假设≥ 0，（i，ω）7→ Yit（ω）是∑-可测的，并且Yit，i∈ I是本质上的airwise I.I.d.此外，我们假设Yithas的分布没有原子；也就是说，其c.d.f.y 7→ Ft（y）：=P{Yit≤ y} 是连续的。此外，letX是一个d维的、右连续的（组件式）递增过程，对于所有i，它是Gi逐步可测量的，因此对于所有t，Xt和Yitareindependent都是独立的≥ 0.因此，X被解释为公共信息，而YI是仅对代理i可用的专用信号。（第5.1节讨论了略有不同的设置和解释。）设r:r+×Rd→ R是右连续递减函数。假设利率过程的形式为RT=r（t，Xt）。最后，试剂i的强度形式为γit=g（t，Xt，Yit，ρt），其中g:R+×Rd×R×[0，1]→ 此外，还可以包括其他特殊信号。具体而言，可以使用时间零点处的信号来分配试剂中γito的不同功能形式，类似于示例4.3的结尾。由于X可以是多变量的，因此相对于引入另一个随机过程而言，这不会失去一般性。是具有g（t，Xt，Yit，0）的连续函数≥ 0，在其所有参数中递增，因此对于所有（t，x，u），y 7→ g（t，x，y，u）允许倒7→ G-1（t，x，y′，u），为简单起见，我们假设其范围为R。我们支持g-1再次连续。定理5.1。