二次增长倒向随机微分方程的求解

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英文标题：
《Solving Backward Stochastic Differential Equations with quadratic-growth
  drivers by Connecting the Short-term Expansions》
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作者：
Masaaki Fujii, Akihiko Takahashi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This article proposes a new approximation scheme for quadratic-growth BSDEs in a Markovian setting by connecting a series of semi-analytic asymptotic expansions applied to short-time intervals. Although there remains a condition which needs to be checked a posteriori, one can avoid altogether time-consuming Monte Carlo simulation and other numerical integrations for estimating conditional expectations at each space-time node. Numerical examples of quadratic-growth as well as Lipschitz BSDEs suggest that the scheme works well even for large quadratic coefficients, and a fortiori for large Lipschitz constants.
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中文摘要：
本文通过连接一系列应用于短时间区间的半解析渐近展开式，提出了一种新的马尔可夫环境下二次增长盲源分离方程的近似方案。尽管仍有一个条件需要事后检查，但可以避免耗时的蒙特卡罗模拟和其他数值积分来估计每个时空节点的条件期望。二次增长和Lipschitz-BSDEs的数值例子表明，即使对于大的二次系数，该格式也能很好地工作，尤其是对于大的Lipschitz常数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Solving_Backward_Stochastic_Differential_Equations_with_quadratic-growth_drivers.pdf (698.52 KB)

2022-5-25 09:46:14 上传

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关键词：倒向随机微分方程 随机微分方程 随机微分 微分方程 Quantitative

通过连接短期扩展求解具有二次增长驱动的倒向随机微分方程*Masaaki Fujii+和Akihiko Takahashi2018年5月23日摘要本文通过连接一系列应用于短时间间隔的半解析渐近展开式，提出了一种新的阿马尔科夫环境下二次增长BSDE的逼近方案。虽然仍有一个条件需要事后检查，但可以避免使用蒙特卡罗模拟和其他数值积分来估计每个时空节点的条件期望。二次增长和Lipschitz BSDE的数值例子表明，该模式即使对于大的二次系数也能很好地工作，更重要的是对于大的Lipschitz常数也能很好地工作。关键词：渐近展开、离散化、二次增长BSDEs1简介Bimit（1973）[8]针对线性情况开始研究后向stoch astic微分方程（BSDEs），Pardoux&Peng（1990）[43]针对一般非线性设置。自年以来，BSDE引起了研究人员的极大兴趣，目前已有大量文献可供查阅。例如，El Karoui et al.（1997）【25】、El Karoui&Mazliak（eds.）（1997）【24】、Ma&Yong（2000）【39】、Yong&Zhou（1999）【46】、Cvitani'c&Zhang（2013）【20】和Delong（2013）【21】获得了优秀的评论和各种应用，Pardoux&Rascanu（2014）【44】获得了一本关于BSDE在扩散设置中的最新完整教科书。特别是，自2009年金融危机以来，BSDE在金融行业的重要性显著增长。这是因为BSDE对于理解XVAS所指的各种估值调整以及新法规下的最佳风险控制是不可或缺的。

有关市场发展和相关问题，请参见Brigo、Morini&Pallavicini（2013）[14]，Bianchetti&Morini（eds.）（2013）[7]，Cr'epey&Bielecki（2014）[17]及其参考文献。在过去十年中，BSDE的数值计算方法也取得了重大进展。特别是，基于Zhang（2001，2004）[52，51]建立的所谓控制变量的L-正则性，Bouchard&Touzi（2004）[11]，Gobet，Lemor&Warin（2005）[32]开发了Lipschitz BSDE的标准b Backward Monte Carlo模式。没有人可以定义许多变体和扩展，例如Bouchard&Elie（2008）[10]针对带跳跃的BSDE，Bouchard&Chassagneux（2008）[9]针对反射BSDE，*已被接受出版于Stoch astic过程及其应用。本研究中表达的所有内容仅为作者的内容，不代表任何机构的任何观点或意见。+东京大学经济研究生院定量金融课程东京大学经济研究生院定量金融课程。以及Chassagneux&Richou（2016）[16]，针对最佳切换问题产生的反射BSDE系统。Bender&Denk（2007）[4]提出了一种前向方案，该方案不存在后向方案中存在的线性增长回归误差；Bender&Steiner（2012）[5]建议通过使用鞅基函数进行回归，对sch-eme[32]进行可能的改进；Crisan&Monolarakis（2014）[19]使用cu-bature方法开发了二阶离散化。Bally&Pag\'es（2003）[6]提出了基于最佳量化的不同方案。有关其最新发展，请参见Pag\'es&Sagna（2017）[42]及其参考文献。

Delarue&Menozzi（2006，2008）[22，23]研究了一类准线性偏微分方程，该方程通过一个耦合的前向-后向SDE和L ipschitz函数，特别是在一定条件下，与一种特殊类型的二次增长（qg）BSDE（所谓的确定性KPZ方程）等价。最近，Chassagneux&Richou（2016）[15]将标准向后方案扩展到马尔可夫集中具有有界终端条件的qg BSDE。作为另一种方法，Fujii和Takahashi（2012）[27]提出了一种半解析近似方案，Takahashi和Yamada（2015）[48]在Lipschitz案例中进行了验证。Fujii&Takahashi（2015）[29]提出的基于交互粒子方法的高效实现算法已成功应用于Cr'epey&Song（2016）[18]提出的大规模信贷组合。这是围绕线性驱动因素的渐近展开，其动机是观察到，对于许多金融应用而言，驱动因素的非线性部分与利率利差和/或违约强度成正比，这最多是几个百分点的数量级。虽然在许多有趣的情况下，它大幅降低了数值计算的成本，但当人们处理期限更长、波动性更高或高度凹效用函数的一般风险敏感控制问题时，非线性效应可能会增长并不再是扰动。本文提出了一种新的具有有界终端函数的马尔可夫qg盲分离算法。qg-BSDE有许多应用，特别是在指数和电力效用优化以及均值-方差套期保值问题中。它们还与Epstein&Zin（1989）[26]提出的一类递归效用相关，这些递归效用在经济理论中被广泛使用。

此外，qg BSD的成功方案可能为广泛的应用提供一种统一的计算方法，因为它预计也适用于标准Lipschitz BSDE。我们试图实现标准蒙特卡罗格式在通用性方面的优势，以及半解析近似格式在较小数值开销方面的优势。其主要思想是将原始qg BSDE分解为一系列qg BSDE，每个qg BSDE在较短的时间间隔内定义。然后，我们采用渐近展开法来近似求解每一个问题。为了获得总误差估计，我们首先研究了终端条件受有界函数（如{δi}1）扰动的qg BSDE序列的误差传播≤我≤n、 因此，第一个主要结果为定理3.1。然后，我们将与每个周期的渐近展开相关的误差函数替换为函数δi，从而得出定理4.1的第二个主要结果，为所提出的方案提供了总误差估计。虽然仍然存在无法事先确认的假设，这是当前方案的一个缺点，但仍然可以通过数值计算对每个模型进行事后检查。一旦确定，收敛速度为n-1/2在有限的离散化范围内获得的强感觉。在蒙特山标准方案的情况下，Fujii（2014）[28]将类似想法应用于随机过滤，Takah ashi&Yamada（2016）[49]将其应用于欧洲期权定价。Carlo模拟，虽然对于较小的离散化和多条路径，保证了收敛性，但也不能完全避免后验检验。

我们仍然需要使用不同的离散化大小和路径数进行大量测试，以确认给定结果是否提供了合理的近似值。该方案的优点是，通过使用简单的半解析结果，可以避免在每个时空节点估计条件期望的耗时模拟，从而更容易实现更好的解算。我们给出了qgand和Lipschitz BSDE的数值例子来说明经验性能。他们认为，即使对于非常大的二次系数，该模式也能很好地工作，对于大的Lipschitz常数更是如此。还需注意的是，qg BSDE的短期渐近展开是在第一时间提供的，这可能对其他应用有用。本文的组织结构如下：第2节解释了一般设置和符号，第3节给出了时间离散化，并研究了在终值中受干扰的qg-B序列；第4节将短期扩展应用于第3节的结果，从而得出拟议方案的总误差估计。第5节解释了使用离散时空网格的具体实现以及相应的误差估计。第6节提供了数值示例，并解释了将该方案应用于Lipschitz BSDE时的相关修改。我们最后在第7节中得出结论。附录A总结了BMO鞅的性质，附录B和附录C导出了短期渐近展开式的公式，并得到了与正文分析相关的误差估计。2准备工作2。1一般设置和符号通过本文，我们确定终端时间T>0。我们致力于过滤概率空间(Ohm, F、 F，P）携带d维独立标准布朗运动W。

F=（英尺）t∈[0，T]是满足通常条件的布朗过滤，由Pnull集扩充。我们用C表示一个通用的正常数，它可能会逐行改变，当需要强调它对这些参数的依赖性时，它有时会与几个下标（如Cp，K）相关联。Tt表示所有F停止时间τ的集合：Ohm → [0，T]。我们表示Rk值函数x的sup范数：[0，T]→ Rk，k∈ N按符号| | x | |[a，b]：=sup|xt |，t∈ 【a、b】并写出| | x | | t：=| | x | |[0，t]。让我们介绍一下随机过程的以下空间≥ 2和k∈ N、 为便于阅读，我们在附录A中分别总结了BMOmartingales和相关函数空间的相关性质。oSp[s，t]（Rk）是满足| | X | | Sp[s，t]：=E的Rk值适应过程集||X | | p【s，t】1/p<∞ .o s∞[s，t]（Rk）是满足| | X | | s的Rk值本质有界适应过程X的集合∞[s，t]：=supr公司∈[s，t]| Xr|∞< ∞ .o Hp[s，t]（Rk）是Rk值渐进可测过程Z的集合，满足| | Z | | Hp[s，t]：=EhZts | Zr | drpip<∞.o Kp[s，t]是空间Sp[s，t]（R）×Hp[s，t]（R1×d）中的函数集（Y，Z），其规范化为|（Y，Z）| Kp[s，t]：=||Y | | pSp[s，t]+| | Z | | pHp[s，t]1/p.oL∞（Rd；Rk）是可测有界函数f:Rd的集合→ Rk.oCm（Rd；Rk）是m时间连续可微分函数f:Rd的集合→ Rk.oCmb（Rd；Rk）是Cm（Rd；Rk）的子集，带有边界衍生工具C∞b（Rd；Rk）：=Tm≥1Cmb（Rd；Rk）。如果Rd、RK和下标[s、t]等参数在上下文中是显而易见的，我们通常会忽略它们。我们使用Θs，s∈ [0，T]作为一个集合参数Θs：=（Ys，Zs）来简化符号。对于x的偏导数，我们使用以下符号∈ Rd以便x： =(x、 ····································································································································，xd）：=x、 ····································································································································，xd公司和θ： =(Yz） 对于集体论证Θ。

我们有时使用缩写Z*W：=R·ZsdWs。2.2设置首先，我们介绍基本的正向过程Xt，t∈ 【0，T】：Xt=x+Ztb（r，Xr）dr+Ztσ（r，Xr）dWr，（2.1），其中x∈ Rd和b：[0，T]×Rd→ Rd，σ：[0，T]×Rd→ Rd×dare可测量函数。假设2.1。（i） 对于所有t，t′∈ [0，T]和x，x′∈ Rd，存在一个正常数Ksuch | b（t，x）- b（t′，x′）|+|σ（t，x）- σ（t′，x′）|≤ K|T- t′|+| x- x′|.（ii）| b（·，0）| T+|σ（·，0）| T≤ K、 （iii）b和σ对于x是3次连续可微的，并且满足|mxb（t，x）|+|mxσ（t，x）|≤ K|mxb（t，x）- mxb（t′，x）|+|mxσ（t，x）- mxσ（t′，x）|≤ K | t- t′1/2，（2.2）对于所有1≤ M≤ 3，t，t′∈ [0，T]和x∈ Rd.现在让我们介绍一个qg BSDE，其中ich是我们研究的目标：Yt=ξ（XT）+ZTtf（r，Xr，Yr，Zr）dr-ZTtZrdWr，t∈ [0，T]（2.3）式中ξ：Rd→ R、 f:[0，T]×Rd×R×R1×d→ R是可测函数。假设2.2。（i） f满足二次结构条件[2]：| f（t，x，y，z）|≤ lt+β| y |+γ| z |表示所有（t，x，y，z）∈ [0，T]×Rd×R×R1×d，其中β≥ 0，γ>0是常数，l：[0，T]→ R+是一个以常数K为界的正函数，即| | l | | T≤ K、 Lipschitz SDE的有用标准估计值可以在【31】的附录A中找到。（ii）f满足连续性条件，使得对于所有t，t′∈ [0，T]，y，y′∈ R、 x，x′∈ Rd，z，z′∈ R1×d，| f（t，x，y，z）- f（t′，x，y，z）|≤ K | t- t′1/2，| f（t，x，y，z）- f（t，x，y′，z）|≤ K | y- y′，| f（t，x，y，z）- f（t，x，y，z′）≤ K1+| z |+| z′||Z- z′，| f（t，x，y，z）- f（t，x′，y，z）|≤ K1+| y |+| z||十、- x′|。（iii）驱动因子f对于具有连续导数的空间变量是1次连续可微的。

特别是，我们假设|yf（t，x，y，z）|≤ K|zf（t，x，y，z）|≤ K（1+| z |））|xf（t，x，y，z）|≤ K（1+| y |+| z |）表示所有（t，x，y，z）∈ [0，T]×Rd×R×R1×d.（iv）ξ是一个满足| |ξ（·）| | L的3次连续可微函数∞≤ K和||mxξ（·）| | L∞≤每1个K≤ M≤ 3、备注2.1。假设2.1和2.2中的二阶和三阶差异仅与讨论的后期部分相关（第4节~), 其中需要对短期扩张进行误差估计。自Kobylanski（2000）[36]的工作以来，众所周知，在空间（Y，Z）中存在（Y，Z）到（2.3）的唯一解∈ s∞×HBMO。引理2.1。（普适界）在假设2.1和2.2下，解（Y，Z）∈ s∞×HBMOof（2.3）满意度| | Y | | S∞≤ eβT||ξ（·）| | L∞+ T | | l | | T,||Z | | HBM O≤e4γ| | Y | | S∞γ3+6γT（β| | Y | S∞+ ||l | | T）.证据这直接遵循假设2.2（i）给出的二次结构条件[2]。例如，参见文献[30]中的引理3.1和3.2。3终端扰动的qg BSDE序列在本节中，我们研究qg BSDE序列。对于每个连接点，我们引入一个有界可测函数δi:Rd→ R为扰动。然后，我们研究其对总误差的影响。3.1设置让我们引入一个时间分区π：0=t<t<···<tn=t。We p ut hi：=ti- ti公司-1，|π|：：=max1≤我≤nhi。我们用Ii表示每个间隔：=[ti-1，ti]，i∈ {1，···，n}，并假设存在一些正常数C，使得|π| n≤ C以及|π|/hi≤ C forevery i∈ {1，···，n}。

为了近似BSDE（2.3），我们引入了在每个区间t的终值中扰动的QG BSDE序列∈ 二、一∈ {1，····，n}按以下方式：Yit=bui+1（Xti）+Ztitf（r，Xr，Yir，Zir）dr-ZtizirdWR，（3.1），其中bui+1：Rd→ 带bun+1（x）的R w：=ξ（x）。每个终端功能bui+1（x），x∈ 第三期的RDI定义为Yi+1，ti，xt，t∈【ti，ti+1】, Which是（3.1）的解，该解对应于具有初始数据（ti，Xti=X）的下垫过程X，以及附加扰动项δi+1bui+1（X）：=Yi+1，ti，Xti-δi+1（x），i∈ {1，···，n- 1} 。（3.2）在下一节中，{δi}i≤N将与短期扩张的错误有关。假设3.1。（i） 微扰项δi+1:Rd→ R、 我∈ {1，···，n}是绝对有界的可测函数，保持（bui+1）1≤我≤n满足条件（a）max1≤我≤n | | bui+1（·）| | L∞≤ K′，（b）最大值1≤我≤n个||xbui+1（·）| | L∞≤ K′，（c）最大值1≤我≤n个||mxbui+1（·）| | L∞≤ K′（m∈ {2，3}），具有一些与n无关的正常数K′。（ii）存在一个与n无关的正常数C，使得pn-1i=1 | |δi+1（·）| | L∞≤ C、 我们使用δn+1的约定≡ 0 andYn+1tn=ξ（Xtn），如下所示。备注3.1。条件（i）（c）仅与下一节中的短期扩张相关。备注3.2。Ankirchner et al.（2007）【1】、Briand&Confortola（2008）【13】和Mkeller&Reis（2010）【33】的著作都很清楚qg BSDE的经典（以及变化）差异性。参见Fujii和Takahashi（2017）[30]，了解这些结果对具有泊松随机测度的qg BSDE的扩展。3.2解的性质应用每个周期qg BSDE的已知结果，可以看到存在唯一解（Yi，Zi）∈ s∞[技术信息-1，ti]×HBMO【ti】-1，ti]。