具有可收集性的供需动态数学模型

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英文标题：
《A mathematical model of demand-supply dynamics with collectability and
  saturation factors》
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作者：
Y. Charles Li, Hong Yang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We introduce a mathematical model on the dynamics of demand and supply incorporating collectability and saturation factors. Our analysis shows that when the fluctuation of the determinants of demand and supply is strong enough, there is chaos in the demand-supply dynamics. Our numerical simulation shows that such a chaos is not an attractor (i.e. dynamics is not approaching the chaos), instead a periodic attractor (of period 3 under the Poincar\\\'e period map) exists near the chaos, and co-exists with another periodic attractor (of period 1 under the Poincar\\\'e period map) near the market equilibrium. Outside the basins of attraction of the two periodic attractors, the dynamics approaches infinity indicating market irrational exuberance or flash crash. The period 3 attractor represents the product\'s market cycle of growth and recession, while period 1 attractor near the market equilibrium represents the regular fluctuation of the product\'s market. Thus our model captures more market phenomena besides Marshall\'s market equilibrium. When the fluctuation of the determinants of demand and supply is strong enough, a three leaf danger zone exists where the basins of attraction of all attractors intertwine and fractal basin boundaries are formed. Small perturbations in the danger zone can lead to very different attractors. That is, small perturbations in the danger zone can cause the market to experience oscillation near market equilibrium, large growth and recession cycle, and irrational exuberance or flash crash.
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中文摘要：
我们引入了一个包含可收集性和饱和因素的供需动态数学模型。我们的分析表明，当需求和供给决定因素的波动足够大时，供需动态就会出现混沌。我们的数值模拟表明，这样的混沌不是一个吸引子（即动力学没有接近混沌），而是在混沌附近存在一个周期吸引子（庞加莱周期图下的周期3），并在市场均衡附近与另一个周期吸引子（庞加莱周期图下的周期1）共存。在两个周期吸引子的吸引盆地之外，动力学接近无穷大，表明市场非理性繁荣或闪电崩盘。周期3吸引子代表产品的市场周期增长和衰退，而接近市场均衡的周期1吸引子代表产品市场的定期波动。因此，我们的模型捕捉到了马歇尔市场均衡之外的更多市场现象。当需求和供给决定因素的波动足够大时，存在一个三叶危险区，所有吸引子的吸引盆地相互交织，形成分形盆地边界。危险区中的小扰动会导致非常不同的吸引子。也就是说，危险区内的小扰动可能会导致市场在接近市场均衡的情况下出现振荡、大的增长和衰退周期以及非理性的繁荣或闪电崩盘。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Chaotic Dynamics        混沌动力学
分类描述：Dynamical systems, chaos, quantum chaos, topological dynamics, cycle expansions, turbulence, propagation
动力系统，混沌，量子混沌，拓扑动力学，循环展开，湍流，传播
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关键词：数学模型 Mathematical Determinants Perturbation Quantitative

具有可收集性和饱和因子的供需动态数学模型。Charles Li和Hong YangAbstract。我们引入了一个考虑可收集性和饱和因素的供需动态数学模型。我们的分析表明，当需求和供给的决定因素波动足够大时，供需动态就会出现混乱。我们的数值模拟表明，这种混沌不是一个吸引子（即动力学没有接近混沌），而是在混沌附近存在一个周期吸引子（Poincar\'e周期图下的周期3），并在市场均衡附近与另一个周期吸引子（Poincar\'e周期图下的周期1）共存。在这两个周期吸引子的吸引盆地之外，动力学接近本质，表明市场非理性繁荣或泡沫崩溃。第3阶段吸引子代表产品的增长和衰退的市场周期，而接近市场均衡的第1阶段吸引子代表产品市场的正常波动。因此，我们的模型捕捉到了马歇尔市场均衡之外的更多市场现象。当需求和供给的决定因素的波动足够大时，就存在一个三叶危险区，所有吸引子的吸引盆地相互交织，形成分形盆地边界。危险区中的小扰动会导致非常不同的吸引子。也就是说，危险区内的小扰动可能会导致市场在接近市场均衡的情况下出现振荡、大的增长和衰退周期以及非理性的繁荣或崩溃。内容1。导言22。简单特定模型分析53。简单特定模型124的数值模拟。结论13参考文献141991数学学科分类。小学91、34。关键词和短语。

需求定律、供给定律、竞争市场、市场均衡、混沌、异宿循环、梅尔尼科夫函数。C2016（版权所有人）2 Y.CHARLES LI和HONG YANG1。需求和供给的动态是市场的关键。人们可以从房屋和汽油等普通商品中观察到需求和供应动态。由于巨大的供应过剩，汽油价格最近急剧下降。汽油价格和房价影响着人们的日常生活。建立更好的供需动态数学模型是非常必要的。在研究需求和供给方面，已经开发了各种数学工具（参见[3][11][12]）。在这里，我们利用动态系统工具来研究需求和供给的动态，推广了经典的马歇尔模型。我们的模型应描述全球市场对一种产品的供需动态。这是微观经济学的主题。我们不是在处理属于宏观经济学的总需求和总供给[4]。我们正在建模的单一产品全球市场接近于竞争市场，与垄断、寡头和垄断竞争市场相比，市场动态更为客观。在一个理想的竞争市场中，没有任何一个买家或卖家可以影响价格，产品功能是标准化的，买家和卖家都是消息灵通的，企业可以无障碍地进入和离开。需求定律指出，随着价格的上涨，需求量减少，其他条件不变（即保持所有其他因素不变）。另一方面，供应定律指出，在其他条件相同的情况下，随着价格的上涨，供应量也会增加。根据阿尔弗雷德·马歇尔（AlfredMarshall）的观点，需求曲线和供给曲线在市场均衡时相交（图1）。

市场动态接近均衡，亚当·史密斯称之为“看不见的手”的现象将市场动态引导至均衡。这是关于供需动态的经典理论。根据这一理论，竞争市场中的个体企业是价格接受者（其产品的价格由市场均衡决定）。这种供需模式非常理想。在现实中，其他因素（在供需规律声明中保持不变）发生了巨大变化，对供需动态产生了重大影响。大多数产品的价格并没有保持在接近其均衡价值的水平。例如，手表市场非常接近竞争市场。但个人企业不是价格接受者。劳力士手表的价格比那个些不太知名的品牌手表要高得多。即使是手表的平均价格也会随着时间发生实质性的变化。那些在供求规律的表述中保持不变的因素被称为决定因素。需求的主要决定因素【10】：（1）口味和偏好，（2）收入水平，（3）相关商品的价格，（4）潜在买家的数量，（5）对产品和收入的未来预期。供应的主要决定因素是：（1）生产技术，（2）资源成本，（3）其他商品的价格，（4）对产品的未来预期，（5）潜在卖家的数量，供需动态的数学模型3（6）税收和补贴。在供需定律的表述中，供需量是指一段时间内的数量。需求和供给曲线不依赖于时间，它们是静态曲线。在我们的供需模型中，需求量和供给量取决于时间（它们是当时的数量，而不是一段时间内的数量），价格也取决于时间。

供求动态由价格的时间演变以及需求量和供给量来表示。在这一演变过程中，需求和供应的决定因素不断影响着动态。这些模型更接近现实。由于企业之间的价格差异，产品整个市场的价格被定义为平均价格。定义1.1。时间t时产品的价格P（t）定义为时间t时产品全球市场的平均价格。需求量d（t）定义为产品全球市场的总需求量。供应量S（t）定义为产品全球市场的总供应量。我们的模型将由涉及P（t）、D（t）和S（t）的普通微分方程系统表示。早期对微分方程模型的研究[5][9]集中于以下方程dpdt=f（D（P）- S（P）），其中可能涉及时间延迟。主要关注的是动态与市场均衡的趋同[5][9]。我们的模型采用一般形式dpdt=fp（D- S） ，dDdt=fd（Pd- P）+Fd（t），（1.1）dSdt=-fs（Ps- P）+gs（D- S） +Fs（t），其中（fp、fd、Fs、gs、fd、Fs）是目前的一般函数，Pd和Psa是需求和供应的阈值价格。价格方程表明，价格变化仅由D决定- S、 D时价格上涨- S>0，并且在- S<0。需求量D的变化取决于相对于需求阈值的价格。通常差异为- S对买家的影响很小，买家只会在需要的时候购买，并且可以提供产品。Soddthas对D的依赖性很小- S、 另一方面，D- S对制作人的影响更大，制作人需要了解D- 预测价格和利润的未来趋势。SodSdtdepends基于D- Ps旁边的S- P（功能和fs）。

需求的决定因素也影响到滴滴涕。口味和偏好会随着时间而变化。它们也可以随价格变化。当价格变得非常高时，产品可能会变成可收藏产品fd>0（可收藏系数）。当价格极低时，市场过度饱和，产品可能变得不太理想fd<0（饱和系数）。收入水平和相关商品的价格可以随时间变化，它们可以用时间函数Fd（t）表示，Fd（t）独立于三个变量（P、D、S）。供应的决定因素也影响SDT。生产技术、资源成本、4 Y.CHARLES LI和HONG Yang以及其他商品的价格、税收和补贴随着时间的变化而变化，它们可以用时间Fs（t）的函数表示，该函数独立于三个变量（P、D、S）。可收集性和饱和因子也可用于对某些股票建模。一些股票的价格可能会远高于其真实价值，越来越多的投资者继续购买这些股票。另一方面，当股票价格低于其真实价值时，越来越少的投资者想要购买它们。接下来，我们从（1.1）开始建立了一个简单的供需动态特定模型。一般来说，我们预计（fp、fd、fs、gs）仅在接近零的情况下呈线性，但对于fp，我们认为线性近似应表现得非常好，这是基于一般原则，即当需求大于（小于）供应时，价格会增加（减少）。我们选择FP（D- S） =α（D- S） 其中α>0是一个参数。也就是说，价格的变化率与- S、 我们选择FD（Pd- P）=β（Pd- P）[1- β（Pd- P）]，其中β>0和β>0是参数，我们考虑了可收集性和饱和因子。当价格过低时，市场已经饱和，需求将不再增加。

由于最低价格为零，我们有（1.2）1<βPd。当价格过高时，产品可能会成为可收藏的物品，需求可能会增加。对于供给方程，我们选择Fs（Ps- P）=γ（Ps- P），gs（D- S） =δ（D- S） ，其中γ>0和δ>0是参数。高价格和高需求是供应增长的积极因素。综上所述，我们得出了以下结合可收集性和饱和因子的供需动态的简单特定模型：dPdt=α（D- S） ，dDdt=β（Pd- P）[1- β（Pd- P）]+Fd（t），（1.3）dSdt=-γ（Ps- P）+δ（D- S） +Fs（t），其中（α、β、β、γ、δ、Pd、Ps）也是正参数。对于函数Fd（t）和Fs（t），我们可以选择Fd（t）=a sin（ωt），（1.4）Fs（t）=c+b sin（ωt），（1.5），其中相关商品的收入水平和价格通常会发生变化，这些因素导致Fd（t）的振荡性质。生产技术用Fs（t）中的常数c表示。资源成本、其他商品价格以及税收和补贴通常会发生变化，它们由振荡正弦终端Fs（t）表示。在（1.3）的第三个方程式中，Ps- P=Pd- P+（Ps- Pd），供需动态的数学模型5和（Ps- Pd）项可以并入Fs（t）中的c项。我们将设置c=b=0，Fd（t）项足以表示供求决定因素的波动系数。Letp=P- Pd，q=D- S、 其中p≥ -Pd，则系统（1.3）-1.5）的形式为dpdt=αq，（1.6）dqdt=-βp（1- βp）- γp- δq+a sin（ωt），（1.7），其中（p，q）=（0，0）表示市场均衡。价格数量供应曲线和曲线图1。在市场均衡点相交的需求曲线和供给曲线。2、简单特定模型分析2。1、可积动力学。

当δ=a=0时，系统（1.6）-（1.7）是一个可积哈密顿系统dpdt=Hq、 （2.1）dqdt=-Hp、 （2.2）其中h=αq+（β+γ）p-ββp。当（2.3）β+γβ<βPd6时，系统（2.1）-（2.2）中有三个固定点。CHARLES LI和HONG YANGpp=bp=-bp=-AQ图2。异宿循环。a=Pd，动力学不能超过p=-a在左边，因为价格P不能带来好处。b=qβ和p=±b是需求开关变化所跨越的线。PQ图3。断裂的异宿轨道之间的横向相交，形成庞加莱网。比（1.2）强。三个固定点为（2.4）（0，0），±sβ+γββ，0！。供需动态数学模型7p-3-2-1 0 1 2 3q-3-2-10123周期轨道1（/=0.01，A=0.25）PO-1分界线（A）δ=0.01，A=0.25p-3-2-1 0 1 2 3q-3-2-10123周期轨道1（/=0.01，A=0.35）PO-1分界线（b）δ=0.01，A=0.35p-3-2-1 0 1 2 3q-3-2-10123周期轨道3（/=0.01，A=0.25）PO-3分界线（c）δ=0.01，a=0.25p-3-2-1 0 1 2 3q-3-2-10123周期轨道3（/=0.01，a=0.35）PO-3分界线（d）δ=0.01，a=0.35图4。周期轨道吸引子，当a值低于或超过梅尔尼科夫积分预测的临界值0.2656时，dot和恒星是庞加莱周期图下的图像。平行线框架如图2所示。第一个固定点代表市场均衡，负p值固定点称为饱和固定点，正p值固定点称为可收集性固定点。市场均衡是一个中立的稳定中心。在（2.1）-2.2）的线性化动力学下，市场均衡的特征值为λ=±ipα（β+γ）。饱和和可收集性固定点是特征值λ=±p2α（β+γ）的不稳定鞍座。8 Y。

CHARLES LI和HONG YANGp-3-2-1 0 1 2 3q-3-2-10123周期轨道1（/=0.1，a=2.6）PO-1分离线（a）δ=0.1，a=2.6p-3-2-1 0 1 2 3q-3-2-10123周期轨道1（/=0.1，a=3.5）PO-1分离线（b）δ=0.1，a=3.5p-3-2-1 0 1 2 3q-4-3-2-101234周期轨道3（/=0.1，a=2.6）PO-3分界线（c）δ=0.1，a=2.6p-3-2-1 0 1 2 3q-4-3-2-101234周期轨道3（/=0.1，a=3.5）PO-3分界线（d）δ=0.1，a=3.5图5。周期轨道吸引子，当a值低于并超过梅尔尼科夫积分预测的临界值2.656时，dot和恒星是庞加莱周期图下的图像。平行线框架如图2所示。（2.1）-（2.2）的相平面图如图2所示。p的最小值为-Pd（因为价格P不能为负）。当p在-qβ，需求从增加变为减少（cf：（1.3）），并且（2.1）-（2.2）的动力学在p=-qβ+γββ和D=S。当收缩穿过qβ时，需求从减少变为增加（cf：（1.3）），并且（2.1）-（2.2）的动态在p=qβ+γββ和D=S时达到（不稳定）平衡。就原始变量而言，在市场平衡（2.4），p=Pd，D=S=常数。供需动态数学模型9p-3-2-1 0 1 2 3q-4-3-2-10123吸引子（/=0.1，A=2.6）PO-1PO-3分界线（A）δ=0.1，A=2.6p-3-2-1 0 1 2 3q-4-3-2-10123吸引子（/=0.1，A=3.5）PO-1PO-3分界线（b）δ=0.1，A=3.5（c）δ=0.1，A=2.6（d）δ=0.1式中，A=3.5图6。庞加莱周期图下的周期吸引子对于梅尔尼科夫积分预测的a值低于或高于其临界值2.656，点表示周期1吸引子，三星表示周期3吸引子。分隔线框架如图2所示。

在吸引盆地图中，三片叶子构成了第3期吸引子的吸引盆地，中部白色区域是第1期吸引子的吸引盆地，上部区域是正整体的吸引盆地（p，q）=(+∞, +∞), 下部区域是负单位（p，q）=(-∞, -∞).在饱和固定点（2.4），P=Pd-sβ+γββ，D=s，dDdt=dSdt=负常数，10 Y.CHARLES LI和HONG YANGp-6-4-2 0 2 4 6q-8-6-4-20246周期轨道盆地（/=0.1，a=2.4）+1！1PO-1（a）δ=0.1，a=2.4p-6-4-2 0 2 6q-8-6-4-20246周期轨道盆地（/=0.1，a=5.0）+1！1PO-1PO-3（b）δ=0.1，a=5p-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1q-5-4.8-4.6-4.4-4.2-4-3.8-3.6-3.4-3.2-3周期轨道盆地（/=0.1，a=5.0）+1！1PO-1PO-3（c）δ=0.1，a=5缩放图7。（a） 。无周期3吸引子的吸引盆。（b） 。所有吸引子之间的分形盆地边界。（c） 。放大（b）中左下叶的图片。因此，需求量和供给量是相等的，并且在时间上以相同的速度减少。这种状态是不稳定的。在可收集性固定点（2.4），P=Pd+sβ+γββ，D=s，dDdt=dSdt=正常数，因此，需求量和供应量相等，并以相同的时间速率增长。这种状态是不稳定的。在相平面上（图2），连接饱和点和可收集点是两个异宿轨道的异宿循环。