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英文标题：
《Spread, volatility, and volume relationship in financial markets and
  market making profit optimization》
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作者：
Jack Sarkissian
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study the relationship between price spread, volatility and trading volume. We find that spread forms as a result of interplay between order liquidity and order impact. When trading volume is small adding more liquidity helps improve price accuracy and reduce spread, but after some point additional liquidity begins to deteriorate price. The model allows to connect the bid-ask spread and high-low bars to measurable microstructural parameters and express their dependence on trading volume, volatility and time horizon. Using the established relations, we address the operating spread optimization problem to maximize market-making profit.
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中文摘要：
我们研究了价差、波动率和交易量之间的关系。我们发现，价差的形成是订单流动性和订单影响之间相互作用的结果。当交易量较小时，增加更多流动性有助于提高价格准确性并减少价差，但在某一点之后，额外的流动性开始恶化价格。该模型允许将买卖价差和高低条与可测量的微观结构参数联系起来，并表达其对交易量、波动性和时间范围的依赖性。利用所建立的关系，我们解决了营业价差优化问题，以实现市场利润最大化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：金融市场 交易量 波动性 Optimization Quantitative

1金融市场中的价差、波动性和交易量关系以及做市商利润优化Jack Sarkissian Algostox Trading LLC管理成员电子邮件：jack@algostox.com我们研究了价差、波动率和交易量之间的关系。我们发现，价差的形成是订单流动性和订单影响之间相互作用的结果。当交易量较小时，增加更多流动性有助于提高价格准确性并减少价差，但在某一点之后，额外的流动性开始恶化价格。该模型允许将买卖价差和高低条与可测量的微观结构参数联系起来，并表达其对交易量、波动性和时间范围的依赖性。利用建立的关系，我们解决了操作价差优化问题，以使做市商的利润最大化。引言在讨论证券价格时，通常用单个数字来描述它们。例如，有人可能会说2016年4月18日花旗集团（CitigroupInc.）的股价为45.11美元。虽然对于许多用途来说已经足够好了，但它并不完全准确。单个数字只能描述特定交易的价格，其中 证券单位从一方以一定价格转让给另一方 每个如果交易规模不同，或者交易在不同的交易所执行，交易前后的价格可能会有所不同。为了完全准确，在谈论证券价格时，应该详细说明这些众多的细节。我们将进一步观察这一情况。从技术上讲，除了在交易时，我们不能说价格是作为一个单一的数字存在的。让我们来证明这一点。

在金融市场，证券通常在交易所买卖，当前订单的记录称为订单2簿。订单簿的示例如图1所示。订单簿显示买家（左侧）愿意以较低的价格购买证券，而卖家（右侧）愿意以较高的价格出售证券。交易方排队等待匹配的订单，在该订单到达之前，证券没有单一的价格。相反，存在一系列价格，可能代表证券价格。其中最好的候选人是最好的出价 最好的提问 （图1中标记为绿色和红色）。两者之间的差异称为买卖价差： ,（1） 我们可以说，证券价格局限于最佳出价和最佳出价之间。当订单匹配时，它将从订单簿中消失，并记录交易。然后，交易价格可以称为证券价格，但同样，在特定交易的上下文中。买方-投标卖方-askPriceSizePriceSize27。8327.8727.8227.927.827.9527.7928.1527.7828.2图。1、订单样本。买方（左侧）希望以较低的价格购买证券，卖方（右侧）希望以较高的价格出售证券。最佳出价标记为绿色，最佳询价标记为红色。订单中的报价通常来自做市商。做市商是指为其他市场参与者提供金融工具买卖价格报价的公司或公司内的交易台，同时承诺以报价进行买卖。这些公司从买卖价差中获利，价差管理对他们至关重要。

作为做市商，他们在所报资产上竞争订单执行和更大的营业额。有时可能没有买家或卖家，或者既没有买家也没有卖家3通过减少营业价差（做市商自己的买卖报价之间的差额）可以轻松实现更高的营业额。然而，减少营业利差也会降低每个交易周期的收入。相反，增加营业价差会增加每个周期的收入，但会减少营业额。利差和换手率之间有一个权衡，根本问题是：什么是最佳的操作利差，才能使做市商从给定证券中获得最大利润？了解价差行为不仅对做市商很重要，对市场用户和被动参与者也很重要。它有助于价格发现，并允许他们通过更接近公平价格的执行来节省资金。管理大型基金（尤其是养老基金）的公司可以用它为大型证券定价。了解价差也为流动性有限的证券的准确风险管理提供了工具。价差具有深刻的基本价值。为了证明这一点，让我们试着回答一个问题：什么是金融计量，如何进行价格计量，[1-3]？如果一个数字代表一个有效的证券价格，那么市场上必须有各方愿意以该价格交易证券。为了测试价格是否正确，我们必须以折扣价提交订单，例如购买订单，并不断提高价格，直到有人希望以我们的价格出售。一旦我们的订单执行，我们可以说价格已经衡量，交易价格代表有效的证券价格。事实上，金融市场上的每一笔交易都是价格衡量的基本行为。

我们如何提高价格准确性？如果我们从一个小订单开始，它可能没有足够的重量来代表价格，所以我们可能希望增加订单量。它可能在一定程度上起作用。然而，在某个时候，订单将变得如此之大，从而影响价格。其他交易者会看到它并调整他们的订单，或者我们的订单会执行多个级别的订单-有很多方法可以实现。尽管价差可能仍然很低，但价格本身也会扭曲。显然，价格计量的性质具有内在的价格不确定性。这种不确定性无法减少，与价差直接相关。[4-9]中指出，这种性质类似于量子力学中的海森堡测不准原理。在我们早期的工作【2】中，我们证明了扩散可以描述为一个具有波动系数的量子概念，它服从量子混沌系统的统计。在另一项研究中，我们表明，不仅扩散，而且整个价格演化都可以用量子混沌框架来描述[1]。做市商的交易周期包括从当前卖方购买低价证券，然后将其高价出售给下一个可用买方（或做空并补仓）。4最常见的方法是通过订单中的建模过程获得价差。一旦订单到达、取消和执行已正确建模，则通过直接计算获得价差【10,11】。另一种方法是从做市商的角度获得价差作为最优值【12,13】。这种方法允许根据微观结构参数计算价差，但也取决于做市商持有的库存及其风险规避水平。我们将根据本节所述的考虑因素进行研究。

我们的目标是通过可观测和可测量的量，将传播的理论概念表述为lwo能级系统中的带隙【3,14】。我们关注的是具有普遍形式的房地产，而不是取决于交易系统或公司基本要素的细节。当然，对于金融业来说，我们并不是在寻找百分之百确定的解决方案。我们发现的所有关系都具有统计性质。但是，尽管存在统计上的分散性，但某些行为特征可以分解出来，以便实际应用。与之前的出版物不同，这里我们将区分买卖价差和高低条。买卖价差与最佳出价和最佳出价之间的差异有关，对于那些希望根据其需求提供流动性的人来说很重要。高低条与固定的时间段相关，对于那些只想在该时间段内更新一次报价，同时保持一定执行级别的人来说很重要。正如我们将看到的，这两个量的行为有很大的不同，这就是为什么我们将在这项工作中区分它们。通常，指定的做市商须遵守一定的条件，如最低报价时间、最大允许价差或最低营业额。我们将忽略这些细节，而将重点放在总体框架上。公司和交易台可以在适用时包括这些附加条件。最后，为了保持重点，我们将只考虑权益资产类别。同样的概念也可以应用于其他资产类别。价差、波动性和成交量价差之间的基本关系作为价格不确定性，许多因素在价差形成中起作用，如价格不确定性、交易成本、持有溢价等[15-20]。其中，价格不确定性是最大也是最直接的。

可以评估股票的不确定性程度，通常假设其价格 遵循具有波动性的高斯随机游走:（2） 在哪里 是服从标准正态分布的随机变量。随着价格的演变，价格会上下浮动，直到达到出价或要价。这将导致交易，结束价格不确定性，因为价格是由交易决定的。因此，我们可以写出价差 作为：,（3） 在哪里 是平均事务时间。我们可以更一般地写为（4） 包括做市商持有库存和限额订单执行不确定性的溢价。系数 是无量纲的，其价值取决于做市商的风险规避状况、报价策略、技术能力和安全状况。它可能随市场条件缓慢变化，但将保持其数量级，因为利差的主要依赖性已经被计算出来。我们可以估计 来自交易量 和平均交易规模 像（5） 重要的是 和 与相同的时间间隔相关。将这两个方程结合在一起，我们得到：（6） 这符合常识，因为它表明价差必须随波动而增加，随成交量而减少。在研究公式（6）与市场数据的关系之前，让我们先研究一下获得价差的其他方法。他们将进一步深入了解其形成方式。6价差作为跨档溢价由于做市策略的执行范围很窄，它们本质上是在两个条件下下注的变化：资产价格（a）在价差的区间内（b）在平均交易时间内. 理论上，此类赌注也可以与到期时间等于. 多头策略就是这种押注的一个例子。

如果证券价格保持在价差内，则通常收到的保费应涵盖行权时的应付款项。因此 应等于摊铺。这种比较并不准确，取决于做市商执行的具体情况。精确的复制可能涉及奇特的选择和不仅仅是两条腿的策略，更不用说它的实际实现了。让我们根据这些考虑因素来估计价差。阳性范围 对于跨座，是： （7） 在哪里  和  是否收到认购和卖出溢价。可以使用Black-Scholes模型得出的ATM期权近似值来估计这些保费：（8） 结合所有方程式得出最终结果：（9） 如我们所见，该方法产生与等式（6）相同的结果，其隐含值为.   尺寸考虑事实上，通过仅采用尺寸考虑，可以获得相同的关系（高达系数）。事实上，唯一可以定义价差的参数是股票价格 尺寸为, 波动性 尺寸为, 交易量 尺寸为, 当然，这种策略的实际实现是不可能的，但这种比较可以作为估计的一个很好的参考点。7平均执行订单大小  尺寸为.  它们组成的排列尺寸为的唯一组合 是（10） 在哪里  是一些幂指数。我们意识到，在正常交易条件下，利差必须与波动率成比例:（11） 与式（6）相同。做市商可以设定系数 他们喜欢的任何价值。

更小 将确保更多的执行和更大的营业额，但也将导致诱导库存产生更大的剩余风险。较大的 将确保罕见的执行和较小的剩余风险。找到系数合理值的一种方法 来自市场数据。然后做市商可以校准其 相对于市场。与市场数据的关系图2展示了等式（6）的作用。它显示了 具有 与2016年3月16日许多股票的平均买卖价差相比。的值 提供与市场数据的最佳匹配。图2：。计算价差 与2016年3月16日的平均买卖价差相比。参数 已使用。AAPLFLWSGMHLSIRBTLULUMSFTSBUXSSPYSRPTTMVLOZUMZ-0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-0.02 0.04 0.06 0.08 0.10Δ（$）平均买卖价差（$）8图3显示了等式（6）如何适用于价差动态。它显示已校准 AMZN（Amazon.com，Inc.）和LULU（Lululemon Athletica Inc.）在2016年3月1日至16日期间的平均买卖价差。图3：。校准的动力学和相关性 2016年3月1日至16日期间，AMZN和LULU的平均买卖价差。因此，我们确定利差、波动率和交易量不是自变量，并通过公式（6）进行连接。我们还估算了  在附近. 关系式（6）描述了各种证券的价差并捕捉其动态。

重要的是，在推导证券价格时，除了证券价格遵循维纳过程外，不得对证券、公司或市场结构进行任何假设。-0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61 6 11 16天亚姆兹买卖价差Δ-0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Δ（$）买卖价差（$）亚姆兹-0.01 0.02 0.03 0.04 0.051 6 16天卢布底买卖价差Δ-0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-0.01 0.02 0.03 0.04Δ（$）买卖价差（$）$）路路9 3。量子耦合波模型方程（6）的微观理论概述指出，扩散必须始终随体积而减小。根据市场数据，这仅在一定程度上是正确的：当交易量较大时，价差开始随交易量而增长（见图11-13）。为了获得利差的一般关系，我们需要使用一个模型，将其作为金融工具的固有属性处理，并捕获其统计属性。这种模型是在我们之前的论文【2】中开发的。在这篇论文中，我们提出了这样一种观点，即证券价格可以描述为作用于概率幅度的价格算子的特征值，因此：（12） 以及（13） price算子的矩阵元素随时间波动，因此其特征值和特征函数具有随机特性：   （14） 在这里，我们将对其与[2]进行细微的修改，以构建用于在高级别和低级别之间进行转换的模型，认识到在时间尺度上，出价和要价也是高-低的特例，等于. 对于两级系统。