短期债券定价的数值分析方法

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英文标题：
《Numerical and analytical methods for bond pricing in short rate
  convergence models of interest rates》
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作者：
Zuzana Buckova, Beata Stehlikova, Daniel Sevcovic
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this survey paper we discuss recent advances on short interest rate models which can be formulated in terms of a stochastic differential equation for the instantaneous interest rate (also called short rate) or a system of such equations in case the short rate is assumed to depend also on other stochastic factors. Our focus is on convergence models, which explain the evolution of interest rate in connection with the adoption of Euro currency. Here, the domestic short rate depends on a stochastic European short rate. In short rate models, the bond prices, which determine the term structure of interest rate, are obtained as solutions to partial differential equations. Analytical solutions are available only in special cases; therefore we consider the question of obtaining their approximations. We use both analytical and numerical methods to get an approximate solution to the partial differential equation for bond prices.
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中文摘要：
在这篇综述性论文中，我们讨论了短期利率模型的最新进展，这些模型可以用瞬时利率（也称为短期利率）的随机微分方程或一组这样的方程表示，前提是假设短期利率还依赖于其他随机因素。我们的重点是趋同模型，该模型解释了采用欧元后利率的演变。这里，国内短期利率取决于随机欧洲短期利率。在短期利率模型中，决定利率期限结构的债券价格作为偏微分方程的解得到。分析解决方案仅在特殊情况下可用；因此，我们考虑获得其近似值的问题。我们使用解析和数值方法得到债券价格偏微分方程的近似解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Numerical_and_analytical_methods_for_bond_pricing_in_short_rate_convergence_mode.pdf (1.11 MB)

2022-5-25 10:42:42 上传

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关键词：短期债券 数值分析 分析方法 Differential Mathematical

债券定价短期利率收敛模型的数值和分析方法*摘要在这篇综述性文章中，我们讨论了短期利率模型的最新进展，这些模型可以用瞬时利率（也称为短期利率）的随机微分方程或一组此类方程来表示，前提是假设短期利率还依赖于其他随机因素。我们的重点是趋同模型，该模型解释了采用欧元后利率的演变。在这里，国内短期利率取决于随机的欧洲短期利率。在短期利率模型中，决定利率期限结构的债券价格作为偏微分方程的解获得。分析解决方案仅在特殊情况下可用；因此，我们考虑获得近似值的问题。我们使用解析和数值方法来获得债券价格偏微分方程的近似解。内容1。导言22。应使用哪种期限结构模型？33、随机微积分的基本概念34。短期利率模型64.1。单因素模型。84.2。Vasicek和Cox Ingersoll Ross模型。94.3。Chan Karolyi Longstaff Sanders短期利率模型。10*斯洛伐克布拉迪斯拉发842 48号夸美纽斯大学应用数学和统计系。

通讯作者：D.ˇSevˇcoviˇc，sevcovic@fmph.uniba.skThe这项研究得到了VEGA 1/0251/16项目和FP7-PEOPLE-2012-ITN项目#304617-STRIKE的支持。本调查章节已提交至《利率：全球趋势、宏观经济影响和分析》，2016 Nova Science Publishers，Inc.，Hauppauge。2简介4。4.其他单因素模型。124.5。短期利率是多个因素的总和。134.6。随机波动率多因素利率模型。144.7。收敛多因素模型建模进入货币联盟。选定债券定价问题的近似解析解185.1。Chan Karolyi Longstaff Sanders型号。195.2。通用单因素模型：幂级数展开。255.3。随机波动率模型中的快速波动时间尺度。295.4。收敛多因素模型。325.5。国内债券价格解决方案的近似值。385.6。短期利率因素及其演变的财务解释。结论421。简介利率模型描述了利率的演变及其对到期日的依赖性；利率对到期日的依赖性被称为利率期限结构。鉴于目前的市场状况，未来利率无法准确预测；这些模型给出了它们的概率分布。

然而，由于利率是相互关联的，通常只对一些基本过程进行建模，而这些过程反过来又决定了利率。我们处理所谓的短期利率模型，它基于一个理论量，即短期利率。这是一种无违约投资的利率，基本到期日为零。其他到期的投资包括一些风险：在该投资的“生命周期”内利率的变化可能会增加或减少其价值。因此，除了短期利率演变的概率描述外，还需要另一种输入——风险的市场价格——来计算利率的期限结构，这可能并不奇怪；参见【22，第29-31页】，进一步了解这些想法的直觉。数学模型可以用线性抛物型微分方程的解来描述，该方程在边界处退化为双曲型方程。将Fichera理论应用于利率模型可以正确处理边界条件。边界条件的正确处理在数值模式中很重要。我们提出了一类单因素模型的近似解析解，并推导了其精度的阶数。这些模型可用于欧洲短期利率收敛模型的建模。我们展示了一个趋同的例子，例如，一年期贷款的当前利率和明年利率，例如，一年期和十年期贷款的利率与这类的Castic Calculation 3模型和国内债券价格的解析近似公式是不同的，以及其精度的推导。在某些情况下，单因素模型不足以拟合欧洲利率，我们需要双因素模型来模拟欧洲短期利率。因此，我们还研究了一个三因素收敛模型。2.

应使用哪种期限结构模型？这是论文的标题【46】，在文章的开头，作者提出了一个合适的模型应该具备的几个标准：从业者想要一个（a）灵活到足以涵盖实践中出现的大多数情况的模型；（b） 简单到可以在合理的时间内计算出答案；（c） 明确规定，可以观察或估计所需的输入；（d） 现实的，在那模型不会做傻事。此外，如果计量经济学家想要（e）模型与数据的良好契合度，那么从业者也会同意这一观点；理论经济学家还需要（f）模型的均衡推导。我们的工作主要涉及（b）点。近似分析公式扩大了模型集，人们可以根据上述要求在合理的时间内计算答案。此外，观测量的简单计算可以显著简化模型的校准。请注意，基于市场价格和模型给出的理论价格的比较校准模型通常需要对不同参数集的理论价格以及到期时间和短期利率水平进行多次评估。因此，确定上述（e）点是否成立也很有用。3、随机演算的基本概念在本节中，我们简要介绍了随机演算的基本定义和定理，这些定义和定理将用于制定此处考虑的模型。有关更多详细信息，请参见，例如，【45】、【30】。定义1。[45，定义2.1.4]随机过程是随机变量{Xt}t的参数化集合∈定义在概率空间上的Tde(Ohm, F、 P）和假设值n。4随机计算一个重要的随机过程是维纳过程，它被用作其他更复杂过程的组成部分。定义2。

[51，定义2.1]一个随机过程{w（t），t≥ 如果0}满足以下性质，则称为维纳过程：（i）w（0）=0，概率为1；（ii）每个增量w（t+t）-w（t）具有正态分布N（0，t） ；（iii）增量w（tn）- w（tn-1） ，w（tn-（1）- w（tn-2） ，w（t）- 0的w（t）≤t独立。可以使用Kolmogorov extensiontheorem断言这类过程的存在，它根据有限维分布构建了一个随机过程，参见[45，第2.1和2.2章]，[30，第2.2章]。使用维纳过程，我们能够定义新的过程。在常微分方程中使用某种“噪声”是有用的，维纳过程提供了一种方法。这导致了所谓的随机积分和随机微分方程。我们再次遵循[45]的主要思想。第一个想法可能是考虑公式dxdt=b（t，Xt）+σ（Xt，t）ut，（1）其中术语u表示一些“噪声”，它们应该是平稳的，不同时间的值是独立的，并且具有零期望值。然而，不存在满足这些条件的连续过程。此外，作为函数[0，∞) ×Ohm 它甚至无法测量（考虑到[0，∞)), 参见【45，第21-22页】及其参考文献。因此，使用了另一种方法。我们以离散形式写（1）asXtk+1=Xtk+b（t，Xt）（tk+1- tk）+σ（Xt，t）utk（tk+1- tk），其中0=t<t<···<tm=t是区间[0，t]的分区。重新校准噪声的理想特性，术语utk（tk+1-tk）应具有平稳独立增量，这建议使用维纳过程wtk。

那么我们有一个方程xTk+1=X+k-1Xj=0b（t，Xtj）（tj+1- tj）+k-1Xj=0σ（Xtk，t）（wtk+1- 如果我们能够以某种“合理的方式”对最后一个和进行限制，通过用tσ（s，Xs）dws表示它，我们可以写ext=X+Ztb（s，Xs）ds+Ztσ（s，Xs）dws。（2） 随机微积分5这确实可以做到；事实上，这从几个方面导致了不同类型的随机积分（It'o vs.Stratonovich）。我们使用它'o积分，有关其构造的详细信息，请参阅引用的参考文献[45]。最后，让我们注意到，方程（2）通常以“微分形式”dXt=b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dwt（3），这被称为随机微分方程。“微分”dYt的计算，其中Yt定义为Yt=f（t，Xt），其中f是一个光滑函数，X满足随机微分方程（3），通过微积分链规则的随机推广来执行。这可以使用随机过程的积分表示法（参见[30，pp.150-153]）精确地完成，并得到著名的It引理。我们提供了[45]中一维过程的公式。定理1。[45，定理4.1.6]设Xt是一个It过程，由DXT=u（t，Xt）dt+v（t，Xt）dw给出。设g（t，x）∈ C（[0，∞) ×R）。那么Yt=f（t，Xt）又是一个It'o进程，而dyt=Gt（t，Xt）dt+Gx（t，Xt）dXt+Gx（t，Xt）（dXt），其中（dXt）=（dXt）（dXt）根据“规则”dt dt=dt dwt=dwtdt=0，dwtdwt=dt计算。例如，可以在[45，定理4.2.1]、[30，定理3.6]或清崎It'o的原始论文[29，定理6]中找到多维公式。为了说明它的过程，我们给出了一个随机微分方程的例子，这将在以后有用。它描述了所谓的德朗斯坦-乌伦贝克过程的演化：dx=κ（θ- x） dt+σdw，（4）其中κ、θ和σ为正常数。

如果没有随机dw项，它将是一个常微分方程，其解为xt=xe-κt+θ（1-E-κt），其中x是时间t=0时的过程值。包含随机项后，解成为一个随机变量，可以用显式形式xt=xe表示-κt+θ（1- E-κt）+σZtdw。恢复到平衡水平θ的趋势（其速度取决于κ）得以保持（具有此特性的过程称为平均恢复过程）。此外，围绕这一趋势存在随机波动；其影响取决于6个短期利率模型0 210.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8210.81.21.41.61.8时间轨迹平衡值图1。Ornstein-Uhlenbeck过程的样本路径。参数σ。Ornstein-Uhlenbeck过程的样本轨迹如图1所示。与常微分方程的情况类似，闭合形式的解并不总是可用的，但数值近似仍然是可能的。最简单的是Euler-Maruyama格式，它是常微分方程数值方法中Euler方法的推广。它包括用有限差替换（3）中的差，并模拟维纳过程的增量：X=X，Xt+t=Xt+b（t，Xt）t+σ（t，Xt）wt，其中w是N（0，t） 分发。还有其他更高精度的方法（例如，Milstein方案、Runge-Kutta方法，参考文献[53]，了解更多细节）。4。

短期利率模型短期利率模型是根据确定短期利率的随机微分方程（单因素模型）系统（多因素模型）来制定的，见图2所示为短期利率的市场数据示例，可以认为是理论短期利率的近似值。我们从一个简单的随机微分方程开始，该方程描述了市场利率的一些常见特征。然后，看到这些模型的缺点，我们转向更复杂的模型。其中每一个都解决了一个特定的特性，模型的选择需要考虑到这一点。对于选定的随机过程，我们解释了将其视为短期利率模型的动机。我们还讨论了债券价格。零息票债券是一种金融证券，在规定的到期时间向持有人支付单位金额的资金。短期利率模型7图2。短期欧元利率——短期利率的可能近似值。数据来源：http://www.emmi-benchmarks.eubond然后，价格P=P（t，t，x）（其中t是时间，t是到期时间，x是决定短期利率的因素向量）通过公式P（t，t，x）=e与利率R=R（t，t，x）相关联-R（t，t，x）（t-t） ，即R（t，t，x）=-lnp（t，t，x）t- t、 （5）不同期限的利率示例如图3所示。图3：。欧元利率-期限结构示例。数据来源：http://www.emmi-benchmarks.euIn短期利率模型、债券价格（以及其他利率衍生品）是抛物线偏微分方程的解。即使在一个具有如此简单回报的反激励的情况下，就像债券的情况一样，封闭形式的解决方案也只在非常特殊的情况下可用。

然后，本文后面的主题通过寻求债券价格的近似值（因此也包括期限结构）来联系起来，在这些情况下，它们在封闭形式中未知。8短期利率模型4。1、单因素模型当谈到单因素短期利率模型时，术语单因素是指在定义短期利率过程时使用了一个维纳过程，即存在一个随机性来源。因此，存在一个短速率r的标量随机微分方程，该方程可以写成一般形式，即dr=u（r，t）dt+σ（r，t）dw，其中w是维纳过程。回顾随机过程一节，函数u（r，t）决定过程的趋势，而函数σ（r，t）决定随机波动的性质。指定函数u（r，t）和σ（r，t）是短期利率模型的特征。设P=P（r，t）是当当前短期利率水平为r时，在t时刻的衍生工具的价格，它在t时刻支付给定的收益。我们考虑一个由两种不同到期日的衍生品组成的投资组合的构造，持续平衡，以消除来自维纳过程的风险。然后，为了消除套利的可能性，这样一个投资组合的回报必须等于当前的短期利率，这将导致导数价格P的偏微分方程，其读数为tP+（u（r，t）- λ（r，t）σ（r，t））rP+σ（r，t）r的所有容许值和t的所有容许值rP=0∈ [0，T）。有关偏微分方程推导的更多详细信息，请参阅[32]、[51]。wedenote之后tP，rP P对t、r的第一阶偏导数和第二阶导数P相对于r的rP。请注意，该方程包含一个新函数λ（r，t）。