弱模型依赖壁垒产品的定价

HEX（来自双曲线指数）期权价格根据观察得出，对于任何一组看涨期权和看跌期权价格，我们可以使用以下表达式来表示价格：CallHEX=在Mln（2）下的∏[1+经验(-如果我们使用χCP（x）的线性表达式，则χC（x））]（A17）P utHEX=Mln（2）处的∏[1+exp（χP（x））]（A18）=-xF ln（2）/π在M处，我们得到了双曲正切的累积概率分布。对前面讨论的SABRpricing的扩展通过以下公式进行：χP（x<0）=χSABRP；(R)σ，ρ，ν，β（x）+θL（x）exp(-a/x）（A19）χC（x>0）=χSABRC；(R)σ，ρ，ν，β（x）+θR（x）exp(-a/x）（A20），其中θL（x）和θR（x）是两个没有常数项的独立三阶多项式。主项χSABR′σ，ρ，ν，β（x）由以下ABR价格计算得出：χSABRP；(R)σ，ρ，ν，β（x）+ln噬菌体br/M处∏）- 1.（A21）χSABRC；(R)σ，ρ，ν，β（x）+lnCHaganSABR/米处∏）- 1.（A22）我们首先建立Hagan参数（(R)σ，ρ，ν，β），然后通过添加θL（x）和θR（x）六个参数来改进插值。我们还可以使用与SLN模型相对应的SABR/Hagan参数（如果是SABRstochastic方程，则SLN表达式是唯一已知的精确解），并在上面讨论的十六进制多项式之后添加修正。这种SLN-HEX外推程序证明了它的有效性，甚至比纯SABR插值更好。为了分析与实际结构化产品定价相关的市场特征，我们考虑在到期前817天定价的欧洲标准普尔500奖金证书。该产品具有79.5%初始基础水平的关闭屏障。当天，与SABR-HEX价格插值图3相比，标准普尔500指数上的欧洲期权结构几乎与产品的成熟度相匹配，其结构如下：0.101.0010.00100.001000.000%50%100%150%市场C/PSLN-HEX外推图。

3： SLN模型的拟合结果和HEXextrapolation校正正如我们看到的那样，SLN定价正确地获得了波动率表面的近ATM特征，而HEXextrapolation校正允许对远击进行合理的插值。最后，我们处理了一个2+6参数插值，它证明了比4参数SABR插值更有效。定价结构化产品取决于在屏障处插入的卖出价格、在履约时插入的买入价格以及在屏障以下结束的累积概率（pH-). 后者与内插卖出价格的导数成正比：Dinterpolatedmodel（K=B）=DVKDinterpolatedmodel（K）（A23）最终，我们需要非常精确地插值K的输出价格~=B和K的买入价~=S+R。使用SLN和SABR模型进行的插值比较如下图4:6070809010011012013014070%75%80%85%90%90%C/PSABRSNFIG市场。4： SLN和SABR插值。SLN插值与SLN-HEX插值的比较如图5所示：6070809010011012013014070%75%80%85%90%市场C/PSLN-HEX插值LNIG。5： SLN和SLN-HEX插值。最终结论是，对于普通结构性产品的定价，如本文讨论的奖金证书和障碍反向可转换合同，使用SLN近ATM价格插值，以获得不低于±1%的总体价格准确性。这遵循范围为0.65S的路障≤ B≤ 0.8转，M1年的挥发度水平不高于σ√T≤ 30%。附录B：条件概率和关键近似路径相关计算要求使用鞅随机模型。我们通常使用以下类型的模型（Ft，是远期价格曲线）：~St=Ft，TXt（B1）dXt=∧（T，~σT，q，~Xt）（ρdVt+p1- ρdWt）（B2），其中∧取决于随机模型。

对于移位对数正态模型，我们有∧∧SLN=σt（1+qft）。我们最终将使用两种替代模型来拟合波动率表面：∧∧SLN=σt（1- q+qtXt）（B3）∧SABR=σt（Xt）βexpνИVt-νt（B4）注意，对于σt=σ和ρ=±1，SABRβ=0模型与SLN模型一致【5】。我们首先校准模型，以匹配选定定价日期的期权价格，并在此基础上计算两个条件概率分布的概率密度。未击中势垒ρmodelBN（φ）的轨迹密度和击中势垒ρmodelBH（φ）的轨迹密度。我们注意到：ρmodelBN（φ≥ B） +ρmodelBH（φ≥ B） =ρ插值（φ≥ B） （B5）ρmodelBH（φ≤ B） =ρ插值（φ≤ B） （B6）我们进一步确定了击中障碍物并在障碍物上方终止的概率ρmodelH+=Z∞BdφρSABRBH（φ）（B7）和击中屏障并在屏障下方终止的概率：ρH-=ZB公司-∞dφρmodelBH（φ）=ZB-∞dφρ插值（φ≤ B） （B8）我们再次强调，ρ插值（φ）遵循插值市场期权价格（18）和（19）。这些概率密度不是以达到门槛为条件的，而是完全取决于内插的市场期权价格，因此“与模型无关”。

如第3章所述，在考虑的市场和产品参数范围内，pmodelH+的数值蒙特卡罗计算是为美国奖金证书和障碍反向可转换合同定价的唯一必要因素。附录C：δ模型的替代随机计算遵循ABC的导出公式价格：∏模型ABC~=K- （K）- B） （2+δ模型）pH-+ 调用（K，S）（C1）和本文讨论的标定中遇到的参数，价格敏感性不大于πmodelABC/πmodelABC<δmodel/20（同样的结果适用于ABRC合同的价格。另外，我们发现，使用SLN模型进行的校准在屏障条件确定的范围内提供了足够准确的价格匹配（见A）。然而，当做出这样的价格拟合时，波动率表面与静态SLN模型的结果并不匹配。出现了两个问题：o我们可以在多大程度上成功使用具有时间相关qt的SLNmodel？o如果我们将qt替换为qa作为某种平均值，那么准确度灵敏度是多少？为了详细说明这两个问题的部分答案，我们研究了PX期权的1年波动率面。波动率表面采用时间相关的qt随机动态模型，以下为动态依赖关系：σt=σAtα（C4）qt=-qBtβ（C5），参数σA=15%，α=0.124，qB=-3.1和β=-0.67。我们通过蒙特卡罗方法求解了方程式（C4），并获得了各种屏障水平的以下δ比率：低于δd60%的计数计数41101 18981 22120 0.1765%59763 27536 32227 0.1770%87772 40138 47634 0.1975%129513 58833 70680 0 0.2080%192882 86156 106726 0.2490%435379 188083 24726 0.31表三：各种屏障撞击屏障的轨迹数具有动态qsimulation的级别。

轨迹总数为N=10。然后，我们使用静态q=-3.82，对应于之前模拟的qt=0.75。我们获得了以下δ命中率：低于δs60的计数计数%47145 11248 13690 0.2265%65372 16296 19984 0.2370%91829 24227 29891 0.2375%131014 36727 45354 0.2380%190296 56764 71269 0.2690%422157 144681 193829 0.34表四：在静态QS模拟的不同势垒水平下击中势垒的轨迹数。轨迹总数为N=10。如我们所见，δ的最大差值等于δs-δd=δ≤ 0.05。该交易对以下价格敏感：∏modelX∏modelX<0.4%（C6）在此基础上，我们估计，如果我们使用的静态q模型约为dT，ABC/ABRC产品的价格敏感性不会受到重要影响=产品成熟度的T。

这表明SLN模型是一种非常有效的定价工具。作为另一个有趣的结论，我们发现，在参数范围内，时间相关QT模型的概率分布与静态移位对数正态模型的概率分布非常接近。价格日期到期日期到期时间（天）#删除日期201506/02/2015 32 17110/04/2015 67 16415/05 102 10030/06/2015 148 6018/09/2015 228 7418/12/2015 319 9515/01/2016 347 7517/2016 501 8116/12/2016 683 8415/12/2017 1047 9224/201524/04/2015 31 17729/05/2015 66 17930/06/2015 98 5931/07/2015 129 6018/09/2015 178 6815/01/2016 297 2016年3月7518日360 2016年6月8017日451 7916/12/2016 6332017年12月8215日997 9026/05/201526/06/2015年7月31日17731/07/2015 66 17328/08/2015 94 18030/09/2015 127 6315/01/2016 234 7518/03/2016 297 8131/03 310 3617/06/2016 388 8216/12/2016 570 8415/2017 934 9224/08/201530/09/2015 37 18030/10/2015 67 18227/11/2015 95 17715/01/2016 144 6818/03/2016 207 7917/06/2016 298 7612/2016 480 8120/01 2017年6月515 9516日2017年12月662 8915日844 9020/09/201516/06/20172017年12月635 9015日817 9222/10/201516/06/2017年12月603 8815/2017年12月785 9230/11/201516/06/2017年12月564 8715/2017年12月746 91表五：标准普尔500期权数据集附录D：市场数据-图表上表显示了用于为欧洲奖金证书定价的标普500看涨期权和看跌期权的数据集。我们之所以选择在前4个日期至少有10个到期日，是因为产品于2017年7月24日到期，可以看出，对于前3个定价日期，唯一接近该日期的到期日是2017年12月16日和2017年12月15日，这与产品到期日相差甚远。

因此为了获得价格到期日到期日到期时间（天）#删除日期201415/2014/08 38 2119/09/2014 73 3019/12/2014 164 5420/03/2015 255 2118/12/2015 528 7117/06/2015 710 4916/12/2015 892 7008/08/201419/2014 42 2617/10/2014 70 2219/2014 133 6720/03/2015 224 2119/06/2015 315 2318/12/2015 497 6816/2016 861 7019 2014年10月28日2121/11/2014 63 2419/12/2014 91 6020/03/2015 182 2119/06/2015 273 2418/12/2015 455 6617/2016 637 5116/12/2016 819 7028/11/201416/01/2015 49 3320/02/2015 84 2720/03/2015 112 4619/06/2015 203 2718/09/2015 294 2918/12/2015 385 6716/12/2016 749 6803/2015 520/03/2015 45 2717/04/2015 73 3319/06/2015 136 4518/2015 227 3218/2015 2015年12月318 6917 2016年6月500 2016年12月4016 682 6816 2017年6月8645601/06/201517/07/2015 46 4321/08/2015 81 4918/12/2015 200 5118/03/2016 291 4417/2016 382 5116/12/2016 564 7616/06/2017 746 4601/09/201516/10/2015 45 5920/11/2015 80 4118/12/2015 108 6817/06/2016 290 8216/12/2016 472 7616/06/2017 654 70表六：EUROSTOXX 50期权数据集更精确的插值结果。对于最后3个定价（也是第4个），我们可以找到2017年6月16日到期的期权数据，这非常接近产品到期日。因此，在这种情况下，假设插值参数的精度很高是无害的。（a） OTM选项的拟合结果（b）将拟合价格放大到了障碍水平附近图。

6： 2015年2月2日定价的标准普尔500指数期权，到期时间T=2.86年，2015年2月2日到期时间（天）32 67 102 148 228 319 347 501 683 1047SLN q-11.01-7.7-6.07-4.7-3.16-2.7-2.57-1.82-1.08-0.5'σq0。0508 0.0744 0.0943 0.11 0.1464 0.1698 0.1768 0.2169 0.2642 0.3399SABRβ=1ρ-0.85-0.84-0.88-0.9-0.99-0.99-0.99-0.99-0.99-0.99ν2.37 1.8 1.15 0.91 0.58 0.49 0.46 0.33 0.21 0.1表VII：校准参数SLN和SABR（β=1）10-1100101dt10-210-1100σ=“”(R)σqy=-1.6825+0.5412x0。0 0.5 1.01.52.0 2.5 3.0dt0。20.30.40.50.6 | q |σ| q |σy=0.5912-0.1620X图。7： ‘σ=’σq的对数-对数图（左），‘q |’’σq的林林图（右）。标准普尔500指数，价格日期：2015年2月2日（a）OTM选项的拟合结果（b）围绕屏障水平缩放拟合价格图。8： 标准普尔500指数期权于2015年3月24日定价，到期时间T=2.71年到期日2015年3月24日到期时间（天）31 66 98 129 178 297 360 451 633 997 SLN q-18.13-9.99-8.36-5.61-4.12-3.24-2.36-2.31-1.47-0.75σq0。0335 0.0578 0.0738 0.0995 0.1161 0.1482 0.1682 0.1903 0.2302 0.3067SABRβ=1ρ-0.83-0.91-0.99-0.99-0.99-0.99-0.99-0.99-0.99-0.99ν2.30 1.43 1.17 1.09 0.67 0.52 0.44 0.39 0.25 0.007表八：校准参数SLN和SABR（β=1）10-1100101dt10-210-1100'σ'σ=(R)σqy=-1.7758+0.6240x0。0 0.5 1.01.52.0 2.5 3.0dt0。200.250.300.350.400.450.500.550.600.65 | q |σ| q |σy=0.6252-0.2128x+0.0255x2图。9： ‘σ=’σq的对数-对数图（左），‘q |’’σq的林林图（右）。标准普尔500指数，价格日期：2015年3月24日图。

10： 2014年11月28日，到期时间T=1.05年的EUROSTOXX 50指数期权在定价日期为2014年11月28日的到期时间（天）49 84 112 203 294 385 749SLN q-4.23-2.92-2.78-1.73-1.1-0.73-0.0001σq0的拟合结果。0573 0.0804 0.0952 0.1312 0.1619 0.1885 0.274SABRβ=1ρ-0.53-0.61-0.65-0.7-0.66-0.56-0.54ν2.51 1.58 1.24 0.87 0.52 0.46 0.41表九：校准参数SLN和SABR（β=1）10-1100101dt10-210-1100'σ'σ='σqy=-1.6974+0.5684x0。0 0.5 1.01.52.0 2.5dt-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.30 | q |σ| q |σy=0.2692-0.0921x-0.0196x2图。11： ‘σ=’σq的对数-对数图（左），‘q |’’σq的林林图（右）。EUROSTOXX 50，价格日期：2014年11月28日图。12： 2015年2月3日，到期时间T=1.86年，2015年2月3日，到期时间（天）45 73 136 227 318 500 682 SLN q-4.84-3.63-2.4-1.54-0.36-0.22-0.09'σq0的欧洲斯托克50指数期权定价结果。0714 0.0913 0.1214 0.1654 0.1993 0.2134 0.2823SABRβ=1ρ-0.68-0.68-0.59-0.71-0.75-0.69-0.67ν1.83 1.45 1.2 0.81 0.63 0.54 0.48表X：校准参数SLN和SABR（β=1）10-1100101dt10-210-1100'σ'σ='σqy=-1.6027+0.4915x0。0 0.5 1.01.52.0dt0。000.050.100.150.200.250.300.350.400.45 | q |σ| q |σy=0.4176-0.4313x+0.1170x2FIG。13： ‘σ=’σq的对数-对数图（左），‘q |’’σq的林林图（右）。EUROSTOXX 50，价格日期：2015年2月3日图。

14： 2015年6月1日定价的EUROSTOXX 50指数期权的设定结果，到期时间T=1.54年到期日2015年6月1日到期时间（天）46 81 291 382 564 746SLN q-3.08-2.61-1.05-0.59-0.34-0.0001σq0。0786 0.0994 0.1791 0.2065 0.2469 0.2919SABRβ=1ρ-0.68-0.67-0.71-0.67-0.61-0.51ν1.41 1.2 0.63 0.53 0.48 0.41表十一：校准参数SLN和SABR（β=1）10-1100101dt10-210-1100'σ'σ='σqy=-1.5934+0.4675x0。0 0.5 1.01.52.0 2.5dt-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.30 | q |σ| q |σy=0.2696-0.1101x-0.0103x2FIG。15： ‘σ=’σq的对数-对数图（左），‘q |’’σq的林林图（右）。EUROSTOXX 50，价格日期：2015年6月1日