显式Heston解与随机逼近

最后，将n限制为偶数（奇数是一个较小的修改）并定义另外三个常数σ=κs1将非常方便- E-4., α=e-n=n.（2.31）算法（去掉帽子以便于标记）如下：初始化：（Sj，Lj，ηjε）=（S，1，T）Nj=1，nYj，i=qVnoN，Nj，i=1。重复：对于时间t=1，2。。。，T doRepeat：对于粒子j=1，2。。。，N do（1）Vjt-= 0，Vjt=0（2）重复：对于i=1，2。。。，ndo（a）绘制[0，1]-均匀U，U，U，U（b）Yj，2i-1吨-= αYj，2i-1吨-1+σ√-2对数UCO（2πU）（使用Box Meuller表示法线）新模拟和定价15（c）Yj，2it-= αYj，2it-1+σ√-2对数Usin（2πU）（d）Yj，2i-1t=αYj，2i-1吨-+ σ√-2对数Ucos（2πU）（e）Yj，2it=αYj，2it-+ σ√-2对数Usin（2πU）（f）Vjt-= Vjt公司-+ （Yj，2i-1吨-)+ （Yj，2it-), Vjt=Vjt+（Yj，2i-1t）+（Yj，2it）（3）设置IntVj=Vjt-1+4Vjt-+Vjt（辛普森规则，M=2）（4）集合Nj=N0，a√IntVj公司（中心正常RV）（5）Sjt=Sjt-1exp（Nj+b+c IntVj+d（Vjt- Vjt公司-1） ）（6）Zjt=p（t，Sjt）（贴现付款，例如e-ut（K- Sjt）∨0表示美式看跌期权）（7）如果t≤ ηjεthenIf Vjt-∧Vjt>ε，然后Ljt=Ljt-1exp（eln公司VjtVjt-1.+ +f“Vjt-1+Vjt-+Vjt#）否则ηjε=t- 1标记10。关于使用此算法，有一些实用注意事项：（1）e-u是（6）中的折扣fa cto r，因此t时的eut美元在0时被视为有价值的1美元。（2） 为了给亚洲期权定价，如果我们的支付是在运行平均价格而不是即期价格的条件下，在赫斯顿模型上，我们启动R=0，添加一个步骤：（5a）Rjt=t-1tRjt-1+Tsjt并将（6）中的支付过程更改为Zjt=p（t，Rjt）。您不能通过在这些时间将ZJT重置为0来施加“锁定期”。（3） 在定理1ν=nκ/4的情况下，我们得到了无需权重的显式解。在这种情况下，我们可以跳过步骤（7），删除对ηε和Ljin算法的所有引用。

我们将此简化算法称为定理1的Exp l i cit Heston仿真算法，将定理2的通用算法（如上所述）称为加权Heston仿真算法。（4） 为了提高效率，可在步骤（4）a s井中使用Box Meuller。此外，您可以将常量组合在一起以减少乘法（以代码可读性为代价）。我们在此不使用这些额外的效率。（5） 在步骤（3）中，也可以使用更大的M或更好的积分近似值来提高性能。我们使用M=2和Simpson的1/3规则来解释算法的清晰性。为了理解在波动率变得太小之前停止（ηε）的必要性，我们考虑波动率Vt=0的情况。然后，（最接近的显式和一般的）赫斯顿波动率方程变为确定性Dbvt=νκdt，dVt=νdt16 M.Kouritzin，很明显，其中有一个解。当νk6=ν.3时，这使得模型分布彼此奇异。显式解模拟的性能我们将我们的算法与一些比较流行的方法进行数值比较，首先在本节中介绍模拟，然后在下一节中介绍越来越多的选择问题。这两个部分的所有实验都在同一台计算机系统上进行，包括一台L enovo X240s笔记本电脑，配备4代Intel Core i7-4500U@1.80GHz处理器、8GB DIMML内存、1TB5400 RPM硬盘、Windows 8.1 64位操作系统和Visual Studio professional 2013.3.1的C++编译器。显式Heston模拟无故障。我们将负波动率产生的模拟称为失败，第一次发生的时间定义为中断时间τ。Euler和Milstein方法失败的原因是产生了负的波动率值，这些值不能在没有变化的情况下平方根（如设置为零）。

相反，我们的显式Heston a算法不能以这种方式失败，因为波动率是精确的，并且通过其构造保持非负。首先，假设u=0.0319，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.61，ν=κ/4，因此（SDE模型）波动率可以达到零，但不能为负。我们的初始状态isS=100，V=0.010201，我们运行模拟10000或40000次，直到最终时间T=50。我们在每个时间间隔使用100或200个离散化步骤。下表1显示了Euler和Milstein模拟的相对断裂频率。方案Euler MilsteinN 10，000 40，000 10，000 4 0，000步100 200 100 200τ∈ （0，1）0.972386 0.972184 0.932158 0.914071τ∈ （1，2）0.026434 0.025734 0.062245 0.077341τ∈ （2，3）0.001134 0.001033 0.005166 0.007731τ∈ （3，4）0.000045 0.0000465 0.000394 0.000777τ∈ （4，5）0.000010 0.0000025 0.000037 0.0000713τ>50 0 0 0表1。ν=κ/4，κ=0.61的相对断开频率， =6.21。每列都是一个概率质量函数（带有一些行标记）。左上角的值0.97 2386表明，如果从不同的种子多次运行10000次模拟，则在前100个步骤unt il time1内，负进化率预计为9724次。类似地，下一个值0.026434表示10000个模拟中的264个将持续到时间1，然后平均在时间1和2之间的100个步骤中中断。新的模拟和定价17理想情况下，不应出现任何故障，因此每次模拟都应超过τ=T=50，但实际上没有一次失败。有人可能会认为，只有当波动率应该达到零时，才会发生这种情况。

然而，将ν增加到κ/2，这是波动率不应达到0的第一种关键情况，我们仍然遇到同样的问题，尤其是对于Euler格式。方案Euler MilsteinN 10，000 40，000 10，000 40，000步骤100 200 100 200τ∈ （0，1）0.802964 0.767827 0.000492 0τ∈ （1，2）0.147584 0.165 0.0 00488 0τ∈ （2，3）0.037084 0.0.047847 0.00050 6 0τ∈ （3，4）0.009277 0.013768 0.000524 0τ∈ （4，5）0.002313 0.003941 0.000484 0τ>50 0 0 0.976822表2。ν=κ/2，κ=0.61， =6.21。每列都是一个概率质量函数，表示在100或200步的每分钟间隔内发生断裂的经验概率。对于ν=κ/2，我们看到200步的Milstein方案运行良好，而在每次模拟中，Oler方案的波动率仍然为负值。3.2。显式Heston模拟的比较。我们提供了一个显式Heston模拟的例子，并将其与传统的Euler和Milstein模拟方法进行了比较。在这种方法中，我们通过定义布朗路径B和β，并用非常小的时间步长运行一次Milstein方法，创建一个基本真理来判断性能t=1/2000。然后，我们使用这些固定的B、β路径来计算本小节讨论的模拟中的误差。为了得到时间估计，我们求助于将在实践中使用的正常高效算法hms。通过这种方式，我们获得了可比较的逐路径模拟误差，以及产生这些误差所需的典型时间的执行时间估计。对于本例，我们使用了以下参数集合：ν=νκ=κ/4，u=0.03 19，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.61，T=10。我们还将（非圆形真理）Euler和Milstein时间步骤t=1/M，其中步数ar e M=200、400、1000。

由于条件（C）成立，我们可以从之前给出的Hest on仿真算法中删除对L和η的LL引用。下面的表3和表4显示了使用梯形、辛普森1/3和辛普森3/8规则以及Euler和Milstein方法的显式Hestonal算法的性能和执行时间。为清楚起见，性能定义为18 M.Kouritzterms的RMS误差。Milstein方法的均方根误差为：EM=vuutNTXt=1NXi=1h（SM，it- Sit）+（VM，it- Vit）i，（3.1），其中SM，vm是使用Milstein方法的价格和波动率，S，V是基本真实价格和波动率。其他RMS错误的定义类似。Euler Scheme Milstein SchemeSteps 200 400 1000 200 400 1000 RMS 18.825 6 14.1382 9.79565 10.5435 7.08773 4.2306时间0.81 1.6 72 4.026 0.936 1.733 4.731表3。地面真实值和计算机执行时间的RMS误差比较（秒）。步骤指示每秒的离散步骤数。均方根误差在所有步骤和所有10秒钟内均为平均值，如上述公式所示。平均种子数也超过20000粒。显式解梯形Simpson’s 1/3 Simpson’s 3/8M 1 6 6 6 RMS 3.62901 2.89821 2.9171 2 3.08562时间0.005 4 0.012 0.01 0.014表4。显式解决方案模拟的地面tr ut h和执行时间的RMS误差。RMS错误也适用于所有10秒。Mind表示数字积分中每秒使用的子区间数。这些数字还平均超过20000个种子。很明显，我们的显式Heston方法比其他方法更准确、更快。然而，为了获得一个单一的改进措施，我们将性能和时间f因子和defiexplicit Gain=τOtherτExplicit，（3.2）其中τExplicit和τOther是我们显式Heston算法的执行时间，以及用于固定性能的其他一些方法。

然而，很难得到Milstein方法，更不用说Euler方法，以达到显式弱解方法所能达到的最差性能，因此我们绘制现有Milstein点并延伸一条平滑曲线以获得一些估计。（用更多的步骤收集Milstein数据的部分困难在于，我们必须用更多的步骤重新运行地面实况，这将超过我们的计算限制。）通过这种方式，我们估计Milstein至少需要5.9秒的时间，新的模拟数量和定价19of步骤才能匹配Explicit的3.62901 RMS，因此执行时间的显式增益将为1093。我们对Euler遵循类似的程序，并将增益列在表5中。方法Euler-MilsteinExplicit增益超过2630 1093表5。Euler和Milstein的显式增益。这些数字表明，在10秒的模拟中，显式模拟比Milstein和Milstein快了多少倍。显然，使用我们的显式模拟可以获得显著的收益。在其他误差水平和持续时间T时，也有类似的增益（超过1000）。SA和Heston算法的性能。现在，我们将注意力转向期权定价。为简单起见，我们将使用samebases函数计算波动率、价格，如果是亚洲期权，则使用平均价格。这意味着我们将使用形式为e（s，v）=ek（s）ek（v）f或k，k的J=J（或在亚洲期权的情况下为J=jin）函数∈ {1，…，j}。此外，由于在上述模拟实验中，梯形、Simpson的1/3和Simpson的3/8之间差别不大，因此我们将仅在我们的Hestonal算法中考虑梯形方法。4.1。采用LSM算法对美国看跌期权进行加权。首先，我们将我们的加权Heston算法与传统的Euler和Milsteinmethods方法在美式看跌期权定价中进行了比较。

前一节表明，显式Heston模拟比Euler和Milstein模拟快三个数量级（对于相同的精度）。现在，我们考虑期权定价的真正问题，并回答以下问题：“更快的模拟是否会转化为显著更快的期权定价，其中除了模拟，还必须对价格进行动态规划？”此外，我们不假设条件（C）成立的显式情况，这意味着必须计算可能性。为清楚起见，我们还没有使用SA算法，但仍然坚持使用LSM算法。我们只需将我们的加权Heston以及其他方法替换为这种流行算法的模拟部分。我们使用Heston和American put o Option参数：ν=8.1κ/4，u=0.0319，ρ=-0.7， = 6.21，K=0.2，S=100，V=0.501，T=50，履约价格K=100。此处n=8.1/∈ N和条件（C）不成立。因此，在最接近的显式Heston模型中，我们使用了νκ=2κ的全加权Heston算法。最后，we20 M.KOURITZINuse使用加权拉盖尔多项式E（x）=L（x）=exp(-x/2）（4.1）e（x）=L（x）=exp(-x/2）（1-x） （4.2）e（x）=L（x）=exp(-x/2）（1-2x+x）（4.3）ej（x）=Lj-1（x）=exp(-x/2）ex（j- 1） n！djdxj（xje-x） （4.4）对于LSM定价过程，j=3，j=3。实验表明，随着粒子数的增加和步长的减小，所有这些方法都能工作并收敛到相同的正确答案。它们没有收敛到正确答案的事实是由于使用的函数集合{ek}jk=1的有限性。因此，对于一个基本事实，我们使用Milstein模拟来运行LSM alg算法，时间步长非常小，粒子数也非常有限，但仍然适用于小j=3（因此LSM算法甚至可以工作）。

（当使用SA而不是SM时，我们将绕过这个小问题。）表6给出了使用一百万个粒子t=1/M=1/1000。地面真实1000米1000期权价格12.269表6。美国认沽期权价格的最佳估计。这一价格不再随N或M的增加而变化。为了比较性能，我们将计算三种方法的误差，并比较它们的执行时间。错误定义为：error=#SeedsXSeeds | PE- P |（4.5），其中Pe是通过使用Euler模式运行N个粒子获得的期权价格，P是地面真值期权价格（J=3still除外）。其他错误的定义类似。表7和表8给出了我们可以分别容忍4美分和3美分定价误差的情况。新模拟和定价21欧拉-米尔斯坦加权赫斯顿10，000 7，225 2，500 M 100 85 15价格12.3116 12.2254 12.2258误差0.0426 0.0436 0.0432倍17.4178 13.156 1.387倍增益1 1 1.324 12.562表7。美国Put执行时间-低精度案例。这是一个执行时间比较，在实际价格的4.3美分以内。在每一种情况下，最好的N，M配对是cho-sen，以最小化这种准确性。Euler Milstein加权赫斯顿40，000，30，625，500M 200 175 17价格12.3013 12.2367 12.2366误差0.0323 0.0323 0.0324时间143.356 84.6254 2.20966时间增益1 1.694 64.877表8。美国Put执行时间-高精度案例。这是一个执行时间比较，在实际价格的3.2美分以内。在表7和表8中，我们定义了时间增益=τLSM EulerτOther，（4.6），其中τLSM euleri是使用LSMalgorithm和Euler模拟实现特定精度所需的时间，τOther是使用其他方法获得相同精度所需的时间。这类似于（3.2）中的显式增益。

由于在本实验中只使用了LSM，因此这里的时间增益描述了Milstein和加权Heston算法的期权定价比具有相同误差的基本Euler方案快多少倍。如上所述，加权Heston算法比传统的离散化方法有显著的改进。当我们需要更高的精确度时，速度优势更为显著。稍后，我们将用SA算法取代LSM，以进一步提高速度，并享受更大J.4.2所提供的更高精度。使用LSM算法对亚洲跨骑的赫斯顿进行加权。我们通过LSM22 M.KOURITZINalgorithm对亚洲跨座进行定价，比较Euler、Milstein和我们的加权Heston。亚洲多头交易的贴现支付流程为Zt=e-ut | Rt-K |，其中R是赫斯顿价格的运行平均值，按RT=t计算- 1 RT-1+tSt，（4.7），K为执行价。由于亚洲跨座期权定价模型是一个三因素模型（现货价格、平均价格和波动率），出于计算原因，我们将仅对每个因素使用j=2。其他参数与美式看跌期权相同：ν=8.1κ/4，u=0.0319，ρ=-0.7， = 6.21，κ=0.2，S=100，V=0.501，T=50，走向冰K=100。采用Milstein的方法计算出的亚洲跨座价格的地面真实度（100万个粒子和一个非常精确的时间步长）用于测量误差，如表9所示。地面真实1000米1000期权价格136.174表9。亚洲跨市场合理价格的最佳估计。

该价格不再随N或M的增加而变化。表10和表11（下文）中给出的亚洲跨时段收益也表明了加权赫斯顿的效率，正如它对美国看跌期权的效率一样。Euler Milstein加权HestonN 10000 4 900 3 510M 100 70 12价格135.956 135.952 136.019误差0.218 0.214 0.222时间18.8237 11.2313 1.8943时间增益1 1.676 9.937表10。亚洲跨座执行时间-低精度情况。这是一个执行时间比较，与实际价格相差不超过22美分。对于较低的精度，加权Heston方法的速度大约是传统方法的十倍，误差固定。与美式看跌期权一样，随着人们对更高准确性的渴望，这种表现会有所改善。新模拟和定价23Euler Milstein加权赫斯顿40，000 25，600 4，800M 200 160 13价格136.043 136.046 136.303误差0.131 0.128 0.124时间145.864 73.958 2.861时间增益1 1 1.972 50.984表11。亚洲跨区执行时间-高精度案例。这是一个执行时间比较，在实际价格的13美分以内。我们的加权Heston方法在高精度情况下表现出相当强的性能，因为时间增益增加到51左右，这意味着我们可以在1/51的执行时间内获得相同的精度。事实上，这些结果表明，LSM算法的模拟部分非常重要，加权Heston方法是最好的方法。我们可以推测，亚洲跨地区的表现不如美国看跌期权好的原因是：无论我们使用欧拉、米尔斯坦还是加权赫斯顿，从现货价格到运行平均价格的方法和时间都是相同的。此外，在（4.6）的分子和分母中添加一个常量（运行平均价格时间）将使时间收益率朝着1.4.3的方向移动。美国看跌期权的SA和LSM比较。