显式Heston解与随机逼近

（6.14）现在，（6.13）的最后一行以及（6.5,6.6,6.7,6.8,6.9）表明（S=SiSc，V=Y+Z）是ν=κ/2的Heston模型。此外，（6.11）不满足（2.9）自(σ） σ=ρs y z= (σ） σ（6.15），因此我们将能够寻找简单的显式解。我们的扩展Heston系统（6.12）也可以写成Stratonovich方程：dYtZtSct公司=-年初至今-ZtuSct-κρSct- SctρYt+Ztdt公司+κκρSctYtρSctZtodWtdWt, （6.16）其中，由o所隐含的随机积分现在可以用FiskStratonovich意义来解释。我们将全Fisk Stratonovich漂移系数定义为：h（y、z、s、v）=-Y-zus-κρs-sρy+z. （6.17）备注11。我们的主要贡献之一是将赫斯顿方程重新表述为高维方程，使（6.15）等换向器条件为真且存在显式解。人们相信，类似的技术可以用于一些有趣的金融模型。32 M.KOURITZIN6。2.4。n=2时扩展Heston的解。我们可以求解（6.13）的可能强解。第一步是使用Kouritzin&Remillard（2016）的定理2将方程转换为更简单的方程，为了方便起见，在这里的案例p=3和d=r=2中重申了定理3。让D Rbe是有界凸域，Xbe是生活在D中的随机变量，W是R值标准布朗运动，h:D→ R、 σ：D→ R3×2be两次连续可微函数，σ（X）具有完全rank且满足（2.9）。然后，Stratonovich SDE dXt=h（Xt）dt+σ（Xt）odWthasa解Xt=∧-1.XtbXt（6.18）在[0，τ]上，对于一些停止时间τ>0，根据更简单的SDEXtbXt=ZtbhXsbXsds公司+Wt公司+∧（X），带BH（X）=(∧h）o∧-1（x），（6.19）和局部微分同态∧当且仅当更简单的SDE具有至少与τ一样大的停止时间的解。

在不丧失一般性的情况下，局部微分同态可以具有∧=的形式o 对于任何局部微分同态∧：D→ R使满意∧∑o ∧-1（x）=eand∧：λ（D）→ R使满意{∧∧∑}o （λ）-1.o ∧-1（x））=e，其中（eee）=i表示单位矩阵。有四件事是不可能的：（1）对于简单的SDE，扩散系数仅为（I，0）。在这种情况下，It^o方程和Stratonovich方程之间没有差别，因此我们只将更简单的SDE表示为更常见的It^o方程。（2） 我们可以检查这个局部解决方案，看看它是否实际上是一个全局解决方案。我们将在下面执行此操作，并确定在我们的案例中这是一个全局解决方案。（3） 我们可以检查这些方程是否可解。我们将在下面这样做，并在扩展的Heston案例中实际解决简化的SDE和微分同态。（4）Kouritzin&Remillard（2016）表明，如果我们想获得所有初始随机变量X的局部解，那么（2.9）也是必要的=Y，Z′andbX=b，我们可以使用定理3得到：定理4。假设（W，W）′是标准的R值布朗运动，且Yt、Zt、bSct′是：d的强解YtZt公司=-年初至今-Zt公司dt+dWTWTWT, （6.20）dbSct=bSctu-κρ+κρ-κρnYt+Ztodt。（6.21）新的模拟和定价33然后，YtZtSct公司= ∧-1.YtZtbSct公司具有WTWTWT满意度（6.16）（或等效值（6.13,6.14）），其中∧（x）=κxκxxexp-ρκ（x+x）, ∧-1（x）=κxκxxexpρκ（x+x）, （6.22）是R×R×（0，∞).备注12。我们不需要条件（C）来证明这个定理，甚至不需要条件（C）来证明下面V中的价格S的解。我们只需要这个条件来表示独立的Ornstein-Uhlenbeck过程的平方和的项的波动性。备注13。

我们只关心（6.13,6.14）的第一行有一个解决方案，但我们必须解决所有行，然后丢弃不必要的行。备注14。Y和Z是独立的Ornstein-Uhlenbeck过程，而S只解一个线性常微分方程（系数取决于随机过程Y，Z）。因此，通过微分同态及其逆的显式形式，可以简化模拟和计算。请注意，BSC具有独立性，而SCS没有。对此的解释是，差同态∧-1bringsY和Z进入Scand的解决方案，从而处理二次变化。证据其思想是在定理3中找到差同态∧，和∧。将ddtθ（t；x）=σ（θ（t；x））与σ（如（6.11）中所示）解为dtθ（t；x）=κρθ（t；x）θ（t；x）以θ（0；x）为准=xx号, （6.23）我们发现θ（t；x）=κt；θ（t；x）=x；θ（t；x）=xexpρκt. 替换t=xin，我们有∧-1（x）=κxxxexpρκx, （6.24）具有反∧（y）=κyyyexp-ρκy. （6.25）接下来∧（y）=κ0 00 1 0-2ρκyyep-ρκy0经验值-ρκy（6.26）34 M.KOURITZINso bσ（x）={∧∑}（λ-1（x））=我们在Orem 3中发现了我们的第一个差分异构。为了找到第二个微分同态，我们设置α（x）={∧∑}（λ-1（x））=κρxx. （6.27）然后，求解ddtθ（t；x）=α（θ（t；x））导致dtθ（t；x）=κρθ（t；x）θ（t；x）s、 t.θ（0；x）=xx号, （6.28）我们发现θ（t；x）=x；θ（t；x）=κt；θ（t；x）=xexpρκt. 取t=xin，取反，我们得到∧-1（x）=xκxxexpρκx, ∧（y）=yκyyep-ρκy. （6.29）接下来∧（y）=1 0 0κ0-2ρκyyep-ρκy经验值-ρκy（6.30）so bσ（x）={∧α}（λ-1（x））=我们在定理3中确实有第二个同胚。

现在，我们发现∧=∧o ∧给出了（6.22）和∧（y）=κ0 0κ-2ρκyyep（ρκ（y+y））-2ρκyyexp（ρκ（y+y））exp（ρκ（y+y））（6.31）sobh（x）。=(∧）ho ∧-定理3中的1（x）满足bh（x）=-十、-xxhu-κρ+hκρ-κρi{x+x}i. （6.32）6.2.5。在n=2的情况下，通过求解方程完成定理1的证明。的解决方案Yt、Zt、bSct′定理4中是：Yt=Rte-（t-u） dWu+e-tY，Zt=Rte-（t-u） dWu+e-tZ（Y+Z=κvt与（6.7,6.8）一致），而bsct=bScexphu-κρit+κρ-κρZtnYs+Zsods. （6.33）新模拟和定价35此外，接下来是（6.22）和（6.8）thatSct=bSctexpρκ（Yt+Zt）=bSctexpρκ（Yt+Zt）=bSctexpρκVt（6.34），然后是（6.33），定理4，（6.22），以及sct=Scexp的子项hu-κρit+κρ-κρZtnYs+Zsods+ρκ（Vt-五）（6.35）=Scexphu-κρit+ρκ-ρZtVsds+ρκ（Vt- 五）.我们还通过计算Sit=exp得到了简化Heston（2.18）的解p1级-ρZtVsdBs-1.-ρZtVsds（6.36），然后在n=2的情况下乘以St=sctsitt得到定理1的（2.12）。6.2.6。情况n 6=2。由于定理1的猜测和检查证明与It^o公式一样简单，我们在这里的真正目标是激发这个解是如何实际推导出来的，以及如何找到其他模型的弱解。有了这个易引理检验，沿着这些线的形式证明就不那么重要了。因此，我们已经给出了n=2情况下的所有步骤，我们将仅解释n 6=2情况下所需的差异，而不是使用这些方法进行形式证明。一般来说，价格分割已经完成。那里没有变化。对于n情况下的波动性∈ {1，3，4，…}，我们从n个独立的标准布朗运动W。。。，Wn并遵循第6.2.2小节。

区别是：用{Yit=κRte替换Y，Z-（t-u） dWiu+e-tYi}ni=1，setbβt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu（6.37），当ν=nκ（和V=nPi=1（Yi））时，V=nPi=1（Yi）满足（6.7）。对于扩展价格公式，当n∈ {1，3，4，…}，我们设置σ（y，…，yn，s）=κ0 0···0κ0···0。。。。。。。。。。。。。。。0 0··κ0 0··0κsρysρy··sρyn-1sρyn（6.38）36 M.KOURITZINand Findσiσj=（0，…，0，sρyiyj）′，对于i 6=j，so（2.9）显然成立。（为清楚起见，当n=1时，σ=（κ，sρy）′）现在，定义一个新的SDE形式：d年初至今。。。YntSct公司=-年初至今。。。-YntuSctdt+σ（Yt，…，Ynt，Sct）dWt。。。dWnt. （6.39）该方程具有唯一的强解，可通过OO对σ进行后乘来重写-1，其中=Ynt公司√Vt0···0Yt√VtYnt公司√Vt···0Yt√Vt。。。。。。。。。。。。。。。0 0···Ynt√VtYn公司-1吨√Vt公司-年初至今√Vt公司-年初至今√Vt···-Yn公司-1吨√VtYnt公司√Vt公司, （6.40）和（通过让Yi=Yit滥用符号）O-1个=Y+···+YnYn√Vt公司-YYYYN√Vt公司-YYYYN√Vt···-YYn公司-1年√Vt公司-Y√Vt公司-YYYYN√VtY+Y+····+YnYn√Vt公司-YYYYN√Vt···-YYn公司-1年√Vt公司-Y√Vt。。。。。。。。。。。。。。。。。。-YYn公司-1年√Vt公司-YYn公司-1年√Vt公司-YYn公司-1年√Vt···Y+···+Yn-2+YnYn√Vt公司-Yn公司-1.√VtY公司√VtY公司√VtY公司√Vt···Yn-1.√VtYn公司√Vt公司, （6.4 1）as:d年初至今。。。YntSct公司=- 年初至今。。。- YntuSctdt公司+κYnt√Vt0···0κYt√Vt。。。。。。。。。。。。。。。0 0··κYnt√VtκYn-1吨√Vt公司-κYt√Vt公司-κYt√Vt···-κYn-1吨√VtκYnt√Vt0 0···0ρSctVt日期。。。丹-1tdbβt,（6.42）其中（A，…，An）-1，bβ′=O-1（W，…，Wn）′sobβ满足（6.37）。

此extendedHeston解决方案（6.39）可以用Fisk Stratonovich格式asd编写年初至今。。。YntSct公司=-年初至今。。。-Ynt公司u-nκρSct公司- Sctρ（Yt）+··+（Ynt）dt+σ（Yt，…，Ynt，Sct）odWt。。。dWnt,（6.43）新的模拟和定价37，从中我们可以应用Kouritzin&Remillard（2016）的定理2（知道（2.9）成立），在p=n+1和d=r=n的情况下，到结束点（6.43）有一个强解，当且仅当ifd年初至今。。。Ynt公司=-年初至今。。。-Ynt公司dt+d重量。。。Wnt公司, （6.44）dbSct=bSctu-nκρ+κρ-κρ年初至今+ ···+Ynt公司dt（6.45）有。此外，（6.43）和（6.44,6.45）的解满足年初至今。。。YntSct公司= ∧-1.年初至今。。。YntbSct公司, （6.46）式中，C-差同态∧由∧（x）给出=κx。。。κxnxn+1exp-ρκ（x+···+xn）, ∧-1（x）=κx。。。κxnxn+1expρκ（x+···+xn）.（6.47）（6.44,6.45）的解为：YIT=中兴通讯-（t-u） dWiu+e-tYi，i=1。。。，n和（6.48）bSct=bScexphu-nκρit+κρ-κρZt公司Ys公司+ ···+Yns公司ds公司（6.49），使用（6.47）thatSct=Scexphu-nκρit+ρκ-ρZtVsds+ρκ（Vt-五）（6.50），Vt=κ年初至今+ ···+Ynt公司. 结果如下：乘以St=Sitstand It^o公式。6.3。定理2的证明。我们遵循可以用来证明Girsanov理论的想法，注意到解决方案很弱，因此martinag-le问题而不是SDEs是正确的工具，L是简单模拟的形式，而不是直接改变测量值的形式。根据（2.20,2.21）中定义的定理1，（bS，bV），使用（2.19）中定义的参数νκ，uκ，满足了Heston模型38 M.Kouritzin。

因此，乘以（6.4）Mt（f）=f（bSt，bVt）-ZtμκbSusf（bSu，bVu）+（νκ- 英属维尔京群岛）vf（bSu、bVu）（6.51）+bSubVusf（bSu，bVu）+ρκbSubVusvf（bSu，bVu）+κbVuvf（bSu、bVu）du（用于f∈ S（R），R快速递减函数）具有以下P-鞅表示mt（f）=Zt[κvf（bSu，bVu）+ρbSusf（bSu，bVu）]bVudbβu（6.52）+Ztp1- ρbSusf（bSu，bVu）bVudBuwithbβt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu。分别遵循it^o公式和（2.18）thatln（bVt）-ln（bV）=Ztνκ- bVsbVsds+ZtκbVsdbβs-ZtκbVsds（6.53）因此，使用（2.19），（2.22）相当于lt=exp（Ztν- νκκbVsdbβs-Zt |ν- νκ|κbVsds）。（6.54）根据（6.54）和Novikov条件，t→bLηεt.=bLηε∧这是r＞0的lr鞅。这一事实将在下面的发展中使用，并得出mt（f）是一个鞅，而不仅仅是一个局部鞅。

接下来是（6.52）、it^o公式（2.19）和事实dbLt=bLtν-νκbV-二次协方差满足[bLηε，f（bS，bV）]t=Zt∧ηεbLηεuν- νκbV-uhκvf（bSu，bVu）+ρbSusf（bSu，bVu）ibVudu（6.55）=Zt∧ηεbLηεuh（ν- νκ）vf（bSu、bVu）+（u- uκ）bSusf（bSu、bVu）idu。接下来是（6.51,6.55）和mt（f）=bLηεtf（bSt，bVt）部分的积分-Zt公司∧ηεbLηεuubSusf（bSu，bVu）+（ν- 英属维尔京群岛）vf（bSu、bVu）du（6.56）-Ztt∧ηεbLηεuμκbSusf（bSu，bVu）+（νκ-英属维尔京群岛）vf（bSu、bVu）杜邦-ZtbLηεuB苏布武sf（bSu，bVu）+ρκbSubVusvf（bSu，bVu）+κbVuvf（bSu、bVu）duNEW SIMULATION AND PRICING 39是一个局部鞅，其由（6.52）表示为mt（f）=ZtbLηεu[κvf（bSu，bVu）+ρbSusf（bSu，bVu）+ν- νκbVuf（bSu，bVu）]bVudbβu（6.57）+ZtbLηεup1- ρbSusf（bSu，bVu）bVudBu。（由于我们使用了其他随机性来创建{Yi}ni=1，我们不能断定mt（f）适合于β，B产生的过滤，但它适合于B，W。。。，Wn.）现在，bLηεtand mηεt（f）。=mt公司∧ηε（f）a r e鞅so o one has by（6.56）and Fubini\'s theorem thatbE“f（bStn+1，bVtn+1）- f（bStn、bVtn）-Ztn+1tnAuf（bSu、bVu）dunYk=1hk（bStk，bVtk）#（6.58）=E“bLηεTf（bStn+1，bVtn+1）- f（bStn、bVtn）-Ztn+1tnAuf（bSu、bVu）dunYk=1hk（bStk，bVtk）#=E“mtn+1（f）- mtn（f）nYk=1hk（bStk，bVtk）#=0，对于所有0≤ t<t<···<tn<tn+1，f∈ S（R）和h。。。，hn公司∈ B（R）（有界的，可测量的），其中uf（s，v）=[ussf（s，v）+（ν- 五）vf（s，v）]1[0，ηε]（u）（6.59）+[μκssf（s，v）+（νκ- 五）vf（s，v）]1[ηε，T]（u）+svsf（s，v）+ρκ五、sf（s，v）+κvf（s，v）。现在，Ethier&Kurtz（1986）第174页的论点（S，V）满足了关于tobP的Au鞅问题.参考Sandersen，Leif B.G.（2007）。Heston随机波动率模型的有效模拟。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=946405orhttp://dx.doi.org/10.2139/ssrn.946405Bass，R.F.，Perkins，E.A.（2002）。

具有H¨older连续系数和超马尔可夫链的退化随机微分方程。美国数学学会学报355373-405。Black，F.，Scholes，M.（1973年）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》81637-654。Boyle，Ph.P.（1977年）。选项：蒙特卡罗方法。《金融经济学杂志》4.3 323-338。Boyle，Ph.P.、Broadie，M.和Glasserman，P.（1997年）。安全性定价的蒙特卡罗方法。《经济动力与控制杂志》21 1267-1321.40 M.KOURITZINBroadie，M.和Kaya，O.（2006）。随机波动率和其他跳跃扩散过程的精确模拟。运筹学，54（2），217-231。Carriere，J.F.（1996年）。使用模拟和非参数回归对期权的早期行权价格进行估值。保险：数学与经济学19，19–30。Cl'emen E，Lamberton D，Protter Ph（2002年）。美式期权定价的最小二乘回归方法分析。《金融与随机》，6449-471。Cox J，Ingersoll J，Ross S.（1985）。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2），385-407。Daskalopoulos，P.和Feehan P.M.N.（2011）。数学金融中退化椭圆障碍问题的存在性、唯一性和全局正则性。arXiv:1109.1075。Doss，H.（1977年）。Liens-entre'方程的随机性和顺序。安n.Inst.H.Poincar\'e Probab。统计学家。13、99–125。Duffee，D.和Glynn，P.（1995年）。证券价格的有效蒙特卡罗估计。不适用于。概率。4897-905。Ethier，S.N.和Kurtz，T.G.（1986年）。马尔可夫过程，特征和收敛。概率与数理统计中的威利级数：概率与数理统计。约翰·威利父子公司，纽约。Eweda，E.（1994年）。比较适用于随机时变信道的RLS、LMS和sign算法。IEEE Trans。

《信号处理》，422937–2944，Fouque，J.P.，Papanicolao u，G.和Sircar，K.R.（2000）。具有随机波动性的金融市场中的衍生品。剑桥大学出版社，英国。弗里德曼，A.（2006年2月）。随机微分方程及其应用。多佛出版公司，纽约州米诺拉。原版1975年和1976年再版，分两卷出版。Heston，S.（1993年）。随机波动性期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。修订版。芬南。螺柱。6327-343。Heunis，A.（1993年）。关于具有唯一强解的随机微分方程的普遍性。不可抗力。14653-662。赫尔，J.，怀特，A.（1987）。具有随机波动性资产的期权定价。《金融杂志》42281-300。Jackwerth，J.，Rubinstein，M.（1996年）。从同期证券价格中恢复概率分布。《金融杂志》511611-1631。Jeanblanc，M.、Yor，M.和Chesney，M.（2009年）。金融市场的数学方法。Springer，New Yo r k.Kahl，C.，J¨ackel，P.（2006）。随机模型的快速strong近似蒙特卡罗格式。定量财务6513-536。Karatzas，I.和Shreve，S.E.（1987年）。布朗运动与随机微积分。斯普林格，纽约。Kiefer，J。；Wolfowitz，J.（1952年）。回归函数最大值的随机估计。《数理统计年鉴》23（3）462–466。《新模拟与定价》41Kouritzin，M.A.（1994）。归纳方法和rth平均收敛速度不适用于自适应滤波。随机和随机报告51241-266。Kouritzin，M.A.（1996年）。关于线性随机逼近过程的收敛性。IEEE Trans。信息格式。理论IT-42（4），1305–1309。Kouritzin，M.A.（1998年）。关于具有离散观测值的连续信号的精确滤波器。我是变性人。自动装置。控制43709–715。Kouritzin，M.A.（2000年）。