列维-瓦西塞克模型与长期债券收益过程

因此，当R∞= 0简单的测试没有提供任何信息，我们需要了解一致性的定义，并询问（36）是否成立。我们将证明，如果R∞= 0则（36）不成立，因此定价内核不是UI。首先，让我们定义αst=σk- λ-σkek（s-t） 。（49）使用（19）和（25），我们可以写出πt=P0texpZtαstdWs-Ztα性病. （50）因此，对于t的每个值，定价核的形式为πt=P0texpAtZ公司-在, （51）式中，Z为正态分布，平均值为零，方差为一，式中，我们定义At（我们认为为正）byAt=ZtαSTD。（52）得出e[πt1{πt>δ}]=P0tE经验值AtZ公司-在Z>对数δ- 日志P0t+AtAt. （53）可通过标准技术计算期望值，得出以下公式：E[πt1{πt>δ}]=P0tN记录P0t+At- 对数δAt. （54）用R从m（45）召回∞= 0 thatlog P0t=-rk公司1.- E-千吨级-σk1.- E-千吨级, （55）是有界的。因此我们有supte[πt（πt>δ）]≥ exphinfulog P0uisuptN记录P0t+At- 对数δAt≥ exphinfulog P0uisuptNinfu（日志P0u）+At- 对数δAt. （56）以下为INFTLOG P0t=-rk（r>0）-σk（57）thatsuptE[πt（πt>δ）]≥ 经验值-rk（r>0）-σk×支持在-rk（r>0）-σk+At- 对数δ. （58）自限制→∞At=∞, 当t接近整数时，右侧的最大值在极限内达到。因此，我们有supte[πt（πt>δ）]≥ 经验值-rk（r>0）-σk, （59）这意味着Limδ→∞suptE[πt（πt>δ）]>0，（60），因此定价内核不是UI。五、 长期债券收益过程在时间t时，一个账户单位的长期债券投资收益由表达式lt=limT确定→∞PtTP0T，（61），前提是该限值存在于适当的意义上（Flesaker&Hughston 1996）。我们指的是{Lt}t≥0作为长BON nd返回过程。下面，我们考虑Vasicek模型中的长期债券收益过程。我们将证明相关限制存在，并且可以明确地计算出来。

使用贴现债券价格公式，我们发现tlogPtTP0T=R∞t+k（r- rt）-k（R∞- rt）e-k（T-t） +k（R∞- r） e类-kT+σ4k1.- E-千吨级-1.- E-k（T-t）. （62）可以看出，la r ge T的这个表达式的极限是由Limt给出的→∞logPtTP0T=R∞t+k（r- rt）。（63）因此，长期债券回报过程isLt=expR∞t+k（r- rt）. （64）如果我们回顾Vasicek模型中定价核的表达式（16）和渐近速率的表达式（31），我们推断定价核和长期债券收益率的乘积由πtLt=exp给出σk- λWt公司-σk- λT. （65）这表明，在Vasicek模型中，长期债券的单位投资回报率采用年龄计量布朗运动资产的形式，波动率σ/k和aVasicek型综合利率。更具体地说，我们有lt=expZt公司rs+λσkds+σkWt-σkT. （66）材料的重要性≥0定义为Mt=πt，表示其作为测量密度的变化，从物理测量P到Flesaker&Hughston（1996）引入的所谓终端测量（或长期向前测量）。要看到这一点，请重新调用从P变为与给定数值{Nt}相关联的度量，度量鞅的变化由{πtNt}给出。例如，要从P变为与使用货币市场账户作为计价单位相关的风险中性度量，度量鞅的变化是{πtBt}。在本文中，当且仅当t的Mt=1时，终端测量值与Vasicek模型一致≥ 0，当且仅当λ=σk时成立。（67）秦和莱因茨基（2014）中表明，终端测量和物理测量一致的条件与罗斯（2015）的恢复理论中所作的假设相等。

因此，我们看到，在罗斯恢复假设下的Vasicek模型中，可以从贴现债券期权的当前价格水平推断出风险的市场价格，因为此类期权价格取决于σ/k比率。然而，没有首要理由相信风险的利率市场价格一般应等于长期债券回报过程的波动性。事实上，我们有以下几点：对于任何基于布朗过滤的无套利利率模型，只有当且仅当利率市场风险价格等于长期债券收益过程的波动性时，罗斯恢复才成立。证据我们知道，只有当且仅当终端测量值与物理测量值一致，或者对于所有t≥ 0，当且仅当所有t的ifLt=1/πt时，该值成立≥ 0，当且仅当风险的利率市场价格与长期债券收益率的波动性一致时才成立。这一观察结果表明，金融市场不太可能出现罗斯复苏，这一观点得到了经验证据的支持（Boroviˇcka et al 2014，Qin et al 2016）。六、 几何L'EVY模型尤其是上述结论，这些结论涉及罗斯恢复的可行性，以及那些将长期利益的积极性与基于布朗过滤的市场定价核心规范的一致可积性联系起来的结论？为了研究这个问题，我们考虑了基于列维过滤的更一般的市场情况。首先，如果我们简要回顾一下几何模型的定价核心方法，这将非常有用。在此类模型中，定价核方法的优势在于，它可以揭示价格跳跃模型的风险、风险规避和回报之间的关系（Brody et al 2012）。设{ξt}为L'evy过程，λ>0表示风险厌恶水平。

假设{ξt}满足公式[expαξt]<∞ 对于t≥ 0和α∈ A、 （68）对于某些连通集A 包含原始的R。利率为常数r的几何L'evymodel的定价核由πt=e给出-rte公司-λξt-tψ(-λ） 。（69）这里{ψ（α）}α∈A、 是所谓的L'evy指数，定义为[eαξt]=eψ（α）t.（70）。很容易检查L'evy指数是否为凸函数。由于定价核的乘积和非分红资产的价格{St}是一个P鞅，我们可以假设存在一个β∈ A使得πtSt=Seβξt-tψ（β）。（71）写出σ=β+λ，我们由此推导出st=Sert+R（λ，σ）t+σξt-tψ（σ），（72），其中超额收益率R（λ，σ）由R（λ，σ）=ψ（σ）+ψ给出(-λ）- ψ（σ- λ） 。（73）一个简短的计算表明，R（λ，σ）在λ和σ中是双线性的，当且仅当{ξt}是布朗运动（Brody et al 2012）。因此，广泛流行的λ解释为“市场风险价格”，这对基于布朗过滤的模型有效，但并不适用于一般的列维制度。尽管如此，超额回报率的概念已经明确，而L'evy指数的严格凸性意味着超额回报率既是λ的增函数，也是σ的增函数。值得注意的是，f法（72）给出的资产价值并不取决于列维过程的漂移。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以将L'evy过程的偏差设置为零。在这种情况下，我们将{ξt}称为补偿的L'evyprocess。这意味着E[ξt]=0，{ξt}是鞅。例如，如果{Nt}是标准泊松过程，跳跃率为u，则相关的补偿L'evyprocess由ξt=Nt给出- ut。

考虑到这些约定，我们继续建立以下引理，这些引理将在接下来的工作中很有用。引理1 Let{ψ（α）}α∈Abe一个互补L'evy过程{ξt}的L'evy指数，该过程允许某些连通集a的指数矩 包含原点的R。那么ψ在定义域上是严格正的，除了在原点处，在原点处它消失了。证据对（70）的每一侧进行微分并设置α=0，我们得到了所有t的E[ξt]=ψ′（0）t≥ 由于{ψ（α）}是一个补偿的L'evy过程，因此ψ′（0）=0。因此，曲线ψ：A→ 由α定义∈ A.→ ψ（α）在原点有一个水平切线。由于ψ是严格凸的，因此除了在切线与曲线接触的点之外，ψ位于其任何切线之上，因此我们得出结论，ψ除了在原点之外，都是严格正的。在原点处，我们得到ψ（0）=0，这是根据L'evy指数的定义得出的。引理2让A R是包含原点的连通集，设f:a→ R是一个非负严格凸函数，在A上可微，在0处消失。然后，对于所有x，xf′（x）>f（x）的值∈ A x=0时除外。证据让x∈ A、 如果x>0，则根据中值定理存在y∈ （0，x），例如f（x）=xf′（y）。由于f t在原点处达到最小值，并且是严格凸的，因此f′（y）<f（x）。因此，f（x）<xf′（x），根据需要。另一方面，如果x<0，那么中值定理说存在y∈ （x，0），使得f（x）=xf′（y）。但由于f是严格凸的，原点处有一个极小值，因此0<f′（x）<f′（y），而xf′（y）<xf′（x），因为x<0。因此，f（x）<xf′（x）。七、构建L’EVY-VASICEK模型我们未来的目标是研究VASICEK模型L’evyanalogue中定价核的性质。

具体而言，我们感兴趣的是由L’evy过程驱动的Ornstein-Uhlenbecktype短期利率模型。例如，Norberg（2004）对此类模型进行了研究。值得注意的是，Vasicek模型中Ross恢复的条件λ=σ/k在其L'evy Vasicek对应物中保持不变。我们还将证明，当且仅当长期利率严格为正时，定价核是UI。定价核方法允许我们在P-测度中计算出一般L'evyVasicek模型的细节。我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）生成一维L'evy过程{ξt}t≥我们假设（68）对某些连通集成立 R包含原点，我们为L'evy指数写ψ（α），定义为α∈ A、 然后，L'evy Vasicek模型中的定价核取mπt=exp-Ztrsds公司- λξt- ψ(-λ） t型, （74）其中，短期利率是一个L'evy-Ornstein-Uhlenbeck过程，满足形式DRT=k（θ）的动力学方程- rt）dt- σdξt.（75）此处模型的参数与经典Vasicek模型的参数具有基本相同的解释。唯一的区别是，在列维情况下，我们让挥发度参数具有反时限的维数。列维过程本身被认为是无量纲的。在计数过程中，这当然是很自然的。在{ξt}是布朗运动的情况下，可以理解，标准布朗运动被适当的体积参数乘以，以使整个过程无量纲。在不丧失一般性的情况下，我们可以通过吸收均值回归水平定义中的任何漂移，将L'evy过程的漂移设置为零。因此，在下文中，我们假设{ξt}是一个补偿的L'evy过程。与布朗情形一样，我们通过使用积分因子发现，短期利率由t=θ+（r- θ） e类-千吨级- σZtek（s-t） dξs。

（76）综合短期利率可通过与经典Vasicek模型平行的计算得出，结果如下：Ztrsds=θt+k（r- rt）-σkξt.（77）因此，L'evy Vasicek模型中的定价核可以写成πt=exp的形式-θ+ψ(-λ）t型+σk- λξt-k（r- rt）. （78）或者，如果我们插入（76）中给出的Rt表达式，那么我们将得到πt=exp- （θ+ψ）(-λ） ）t-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-t）dξu. （79）八。贴现债券在L’EVY-VASICEK模型中，我们继续获得贴现债券价格的表达式。由（79）我们得到logπT=- （θ+ψ）(-λ） ）t-K1.- E-千吨级（r）- θ） +ZTσk- λ-σkek（u-T）dξu，（80），由此推导出thatlogπT=- （θ+ψ）(-λ） ）T-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-T）dξu+ZTtσk- λ-σkek（u-T）dξu.（81）因此，Et[πT]=exp- （θ+ψ）(-λ） ）T-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-T）dξu×EtexpZTt公司σk- λ-σkek（u-T）dξu. （82）为了计算右侧的条件期望，我们使用identityetxpZTtαsdξs= expZTtψ（αs）ds，（83）对任何Borel函数{αs}s有效≥0在间隔A中获取值。它允许ZTt公司σk- λ-σkek（u-T）dξu= 经验值ZTtψσk- λ-σkek（u-T）杜邦. （84）因此，根据表达式（5），对于我们获得的贴现债券，log PtT=- （θ+ψ）(-λ） ）（T- t）-KE-千吨级- E-千吨级（r）- θ） +ZTtψσk- λ-σkek（u-T）du+σk1.- ek（t-T）Ztek（u-t） dξu.（85）作为（76）的结果，我们可以写出σZtek（u-t） dξu=θ+（r- θ） e类-千吨级- rt.（86）因此，涉及r的术语- θ在（85）cancel中，对于到期贴现债券的价格，我们只剩下以下表达式：PtT=exp- （θ+ψ（λ））（T- t） +ZTtψ（αuT）du+k1.- ek（t-T）（θ- rt）, （87）其中0≤ s≤ t我们设置αut=σk- λ-σkek（u-t） 。（88）为了研究渐近债券收益率，或指数长期收益率，我们首先表明→∞T- tZTtψ（αsT）ds=ψσk- λ.

（89）我们注意到分子对t的导数由ddtzttψ（αsT）ds=ψ（αt t）+σZTtψ′（αsT）ek（s）给出-T）ds=ψ（αT T）-ZTtddsψ（αsT）ds=ψ（αtT）。（90）因此，应用l\'Hospital规则，我们得到→∞T- tZTtψ（αsT）ds=limT→∞ψ（αtT）=ψσk- λ, （91）建立（89）。我们可以看到，在L’evy-Vasicek模型中，就像在布朗情况下一样，长速率不依赖于t，我们有以下结果：R∞= - 限制→∞T- tlog PtT=θ+ψ(-λ）- ψσk- λ. （92）IX.L'EVY-VASICEK模型中的统一可积性考虑到我们的猜测，经济上可容许的利益模型应该伴随着UI定价核，出现的一个自然问题是，L'EVY-VASICEK模型中的定价核是否是UI，以及对于参数的选择是什么。为此，在For mπt=exp中表示定价内核将非常有用-θ+ψ(-λ）T-k（r- θ） （1）- E-kt）+Ztαstdξs, （93）或等效πt=exp-R∞T- ψσk- λT-k（r- θ） （1）- E-kt）+Ztαstdξs, （94）当我们回忆起αst的定义（88）时，它遵循对数E【πt】=-R∞T-k（r- θ） （1）- E-kt）+Ztψ（αst）ds- ψσk- λt、 （95）在随后的渐进考虑中，我们采用以下约定。给定一对函数f:R+→ R和g：R+→ R \\{0}，我们说f是O（g），对于大t iflim supt→∞f（t）g（t）< ∞, （96）我们说f是o（g），对于l rge t iflimt→∞f（t）g（t）=0。（97）参考（95）右侧的积分，我们将显示ztψ（αst）ds=ψσk- λt+O（1）（98）表示大t。我们注意到Zt公司ψ（αst）- ψσk- λds公司≤Zt公司ψ（αst）- ψσk- λds。（99）但根据中值定理，对于s的固定值，在开放区间中存在ρ(-σk-1ek（s）-t） ，0）使得ψσk- λ= ψ（αst）+σkek（s-t） ψ′σk- λ+ρ. （100）因此，ψ（αst）- ψσk- λ=σkek（s-t）ψ′σk- λ+ρ.

（101）回想引理1，ψ是一个非负严格凸函数，其最小值为零。因此，在ρ的相关范围内，|ψ′（σ/k）的最大值- 取λ+ρ）|，取决于左边界ρ=-（σ/k）ek（s）-t） 或在右边界ρ=0处。更准确地说，存在一个t′∈ [0，t]因此，随着s的变化，每当s∈ （0，t′），且在左侧边界∈ （t′，t）。因此，当s∈ （0，t′）我们有ψ（αst）- ψσk- λ≤σkek（s-t）ψ′σk- λ, （102）当s∈ （t′，t）我们有ψ（αst）- ψσk- λ≤σkek（s-t）ψ′σk- λ-σkek（s-t）≤σkek（s-t） |ψ′(-λ） |。（103）在最后一步中，我们利用了一个事实，即由于ψ是凸的，|ψ′在负半直线上递减。回到（99）的右侧，我们由此推断出thattZψ（αst）- ψσk- λds=t′Zψ（αst）- ψσk- λds+tZt′ψ（αst）- ψσk- λds公司≤σkψ′σk- λZt′ek（s-t） ds+σk |ψ′(-λ） | Ztt′ek（s-t） ds=σkψ′σk- λE-千吨级ekt′型- 1.+σk |ψ′(-λ）|1.- E-k（t-t′）≤σkψ′σk- λ+σk |ψ′(-λ） |、（104）因此Ztψ（αst）ds- ψσk- λT≤σkψ′σk- λ+σk |ψ′(-λ） |。（105）以下是LIM supt→∞Ztψ（αst）ds- ψσk- λT< ∞, （106）建立了（98）。有了这些准备工作，我们准备返回到我们对定价核的一致可积性的考虑。提案6如果R∞> 0则{πt}是一致可积的。证据我们将使用Lptest。具体而言，我们表明，如果R∞> 0当存在ap>1时，suptE[πpt]<∞. 我们声称，如果R∞> 0限制→∞E[πpt]=0 f或某些p>1。要看到这一点，请注意→∞E[πpt]=0 ho lds f或somep>1，存在正常数C和T，使得所有T的E[πpt]<C≥ T但然后是supte[πpt]≤ 最大值C、 支持≤TE[πpt].

（107）由于连续f函数在紧区间上有界，我们可以看到≤TE[πpt]是有界的，因此suptE[πpt]<∞, 根据需要。因此，让我们展示一下→∞E[πpt]=0对于某些p>1。根据（94）计算得出，对数E[πpt]=-公关部∞T-pk（r- θ） （1）- E-kt）+Ztψ（pαst）ds- pψσk- λt、 （108）我们可以用（98）来看到对数E【πpt】=-公关部∞T-pk（r- θ） （1）- E-kt）+ψPσk- λ- pψσk- λt+O（1）（109）对于大t.因为ψ在σ/k处是连续的- λ、 我们观察到ψPσk- λ- pψσk- λ（110）可以任意变小，因为p从上面接近单位。记住，R∞> 0，因此我们看到存在一个p>1，这样- R∞+ψPσk- λ- pψσk- λ< 0，（111），因此限制→∞E[πpt]=0，这是必需的结果。提案7如果R∞< 0则{πt}不是一致可积的。证据我们将证明{πt}在L中没有界，这意味着{πt}不是UI。从（95）和（98）可以看出，对于大t，一个有对数E【πt】=-R∞T-k（r- θ） （1）- E-kt）+O（1）。（112）如果R∞< 0，我们有限制→∞E[πt]=∞. （113）因此，定价核不在L中有界。提案8如果R∞= 0则{πt}不是一致可积的。证据我们还记得，定价内核是UI if和o only if（36）成立。使用（87）和（93），我们得到πt=P0texpZtαstdξs-Ztψ（αst）ds. （114）因此，我们看到e[πt1{πt>δ}]=P0tE经验值Ztαstdξs-Ztψ（αst）dsZtαstdξs>B（t，δ）,（115）式中，我们定义b（t，δ）=logδ- 对数P0t+Ztψ（αst）ds。（116）等效地，通过（87）我们得到b（t，δ）=logδ+R∞t+k（r- θ）1.- E-千吨级+ ψσk- λt、 （117）我们引入了一个新的测度P*关于Ftby设置P*（A） =E经验值Ztαstdξs-Ztψ（αst）ds1{A}（118）对于∈ Ft.书写E*对于P下的期望值*然后我们有e[πt1{πt>δ}]=P0tE*Ztαstdξs>B（t，δ）. （119）让我们引入一个正常数ω，以反时限为单位，使ωt无量纲。因此ω是一个固定的“速率”。