中的长期债券、长期远期测度和长期因子分解

也就是说，S映射Hwto Hwand是局部Lipschitz连续的：kSg- Shkw≤ C（kgkw+khkw）kg- hkw，g、 h类∈ Hw，（5）其中常数C仅取决于w。接下来考虑l, squ的Hilbert空间是可积序列，l= {v=（vj）j∈N∈RN | kvkl:=Pj公司∈N | vj |<∞}. 让Ej表示中的标准正交基l. 对于可分Hilbert空间H，设L（H）表示Hilbert-Schmidt算子的空间l对于H，Hilbert-Schmidt范数kφkL（H）：=Pj∈NkφjkH<∞, 式中φj：=φej。我们将用它的H值系数（φj）j来识别操作符φ∈N、 我们现在准备给出HJM市场风险价格和HJM波动性的条件，以确保远期曲线保持在希尔伯特空间Hw。回想一下，我们有一个过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）。设P表示可预测的西格玛场。对于任何度量空间G，我们用B（G）表示G的Borel sigma场。假设2.1。（波动性、风险市场价格和初始远期曲线的条件）（i）初始远期曲线f∈ 硬件。（ii）风险γ的（负的）市场价格是（R+×）的可测量函数Ohm ×Hw，PB（Hw））进入(l, B类(l)) 这样就存在一个函数Γ∈ 满足γ（t，ω，h）k的L（R+）l2.≤ Γ（t）表示所有（t，ω，h）。（6） （iii）波动率σ=（σj）j∈Nis（R+×）中的可测函数Ohm ×Hw，P B（Hw））i nto（L（Hw），B（L（Hw）））。假设在h中为Lipschitz连续且一致有界，即存在常数D，Dsuch，对于所有（t，ω）∈ R+×Ohm 和h，h，h∈ Hωkσ（t，ω，H）- σ（t，ω，h）kL（Hw）≤ Dkh公司- hkHw，kσ（t，ω，h）kL（Hw）≤ D、 （7）如果WPI尺寸有限，只需更换l使用Rn。

（1）中的漂移ut=u（t，ω，ft）由HJM漂移条件定义，其形式为我们的符号u（t，ω，ft）=αHJM（t，ω，ft）- （γ·σ）（t，ω，ft），其中αHJM（t，ω，ft）=Xj∈NSσj（t，ω，ft）。以下定理总结了这种情况下HJM模型（1）的特性（见Filipovi\'c（2001）定理5.2.1）。定理2.1。（HJM模型）（i）式（1）具有唯一的连续弱解。（ii）对于每个t≥ 0英尺(∞) = f级(∞).（iii）定价核的风险中性因子分解ST=ATMT，隐含储蓄账户At，鞅Mt，风险中性度量由：At=exp给出Ztfs（0）ds, （8） Mt=经验值Ztγs·dWPs-Ztkγsklds公司, Q | Ft=MtP | Ft.（9）工艺WQt：=WPt-Rtγsds在Q下是一个（有限维）布朗运动。（iv）T到期债券估值过程在P下的形式为：PTtPT=AtexpZtσTs·γsds-ZtσTs·dWPs-ZtkσTsklds公司, t型∈ [0，T]，其中T到期债券的波动率为σTt=ZT-tσt（u）du，t∈ [0，T]。Q下的流程为：PTtPT=Atexp-ZtσTs·dWQs-ZtkσTsklds公司, t型∈ [0，T]。（10） 关于此处使用的弱溶液的定义，请参见Filipovi\'c（2001）定义2.4.1。定理2.1的证明源自菲利波维奇（2001）的结果，为了方便读者，在附录中对其进行了总结。我们现在已经准备好在HJM模型中制定长期的工厂化。首先，我们通过定理2.1观察到，定价核与T-到期债券的总回报的乘积mtt：=StPTtPT=exp-Ztkγs- σTsklds+Zt（γs- σTs）·dWPs（11） 是t上的正P鞅∈ [0，T]从单位开始，MT=1。我们可以用它来定义一个新的概率测度QTon-FTby-QT | FT=MTTP | FT。QT是最初由Jarrow（1987）和Geman（1989）以及Jamshidian（1989）引入的T向前测度。在QTtheT下，债券的零到期日作为计价标准。我们对长期限制感兴趣→ ∞.

天真地接受下面表达式中的限制并写出M∞t： =StP∞tP∞通常不起作用，因为P∞斜纹织物通常会因在有限的范围内打折而消失。然而，比率的极限，limT→∞在一般的半鞅模型中，PTtPT是精确的。Qin和Linetsky（2017）在Emery的半鞅拓扑中定义了这一极限（有关Emery距离的定义，请参见“Emery（1979）和Qin和Linetsky（2017））。为此，首先可以方便地将过程PTt/PTt扩展到所有t∈ [0，∞) 在[0，T]之外，考虑一种自融资展期策略，该策略从时间零点开始，将一个账户单位投资于1/pt到期零息票债券。债券到期时，该策略的价值为1/pt账户单位。我们通过重新投资于到期日为2T的零耦合债券的1/（PTP2TT）单位来滚动收益。我们继续采用展期策略，每次kT都会重新投资债券P（k+1）TkT。我们用BTt、BTt来表示这种自我融资策略的财富过程=Qki=0P（i+1）TiT-1P（k+1）Tt，t∈ [kT，（k+1）T），k=0，1，…。很明显，BTtextendsPTt/PTto始终为T≥ 因此，乘积StBTtalso将鞅mtt扩展到t的所有倍≥ 我们继续使用MTT表示StBTt。MTtnow为所有t≥ 0，我们仍然用QT表示它。完成这些准备工作后，我们现在准备在HJM模型中制定长期因子分解。定理2.2。（HJM模型中的长期因子分解）支持初始远期曲线和风险市场价格γt满足假设2.1（i）和（ii）。

假设波动率σ=（σj）j∈Nis（R+×）中的可测函数Ohm ×Hw，P B（Hw））转化为（L（H'w），B（L（H'w）），并且在H中是Lipschitz连续的，并且与假设2.1（ii）中一样统一有界，其中H'w HW带“w满意”∞\'\'w-1/3（x）dx<∞ 并且具有大x渐近性：(R)w（x）=O（x-（3+））（12）对于某些>0。那么以下结果成立。（i） （MTt）t≥0收敛到正鞅M∞tin-Emery半鞅拓扑。（BTt）t≥0接近积极流程B∞tin-Emery半鞅拓扑。qt收敛到极限测度Q∞总变化定额。（ii）HJM定价内核允许长期因子分解ST=e-λtπtM∞t、 （13）其中B∞t=eλtπ是长键过程。（三）过程σ∞t： =Z∞σt（u）du（14）定义良好，长键过程B∞tsatis公司：B∞t=AtexpZtσ∞s·γsds-Ztσ∞s·dWPs-Ztkσ∞sk公司lds公司（15） 波动率σ∞t、 （iv）鞅M∞tsatis fies：M∞t=经验值Ztγ∞sdWPs-Ztkγ∞sk公司lds公司, （16） 其中风险的市场价格为γ∞t=γt- σ∞t、 （v）测量值Q∞由DQ给出∞dP | Ft=M∞t、 Q以下∞, WQ公司∞t： =WPt-Rtγ∞sds是标准布朗运动，Q∞-远期曲线、纯贴现债券和长期债券的动态为：dft=（dft+αHJMt- σ∞t·σt）dt+σt·dWQ∞t、 （17）PTtPT=AtexpZtσTs·σ∞十二烷基硫酸钠-ZtσTs·dWQ∞s-ZtkσTsklds公司, t型∈ [0，T]，（18）B∞t=Atexp-Ztσ∞s·dWQ∞s+Ztkσ∞sk公司lds公司, t型≥ 0.（19）证明见附录。长期债券B∞这是从时间0到时间t持有零息票债券的总回报，该债券在时间0到时间t内渐近到期。Q∞被称为远期措施（在Qin和Linetsky（2017）中也表示为L），作为T-forwardmeasure的限制。

远期曲线波动率的有效条件是确保长期债券、长期因子分解和长期远期测度的存在，这加强了假设2.1中菲利波维奇关于HJM SDE（1）在Hw中存在解的远期曲线波动率的条件。作为长期因子分解存在的一个有效条件，我们要求加权Sobolev空间H中的权重函数w（其中波动性分量取其值）满足渐近性（12），这加强了菲利波维奇在定义正向曲线自身演化的空间HW的范数时对权重w的假设。或者，我们可以假设w满足渐近（12），并从一开始就使用这个较小的函数空间。然而，这是没有必要的，因此我们保持对远期曲线空间的假设不变，与菲利波维奇的假设相同，同时对远期利率波动施加有效条件，以确保长期因子分解的存在。权重f函数的典型选择是：对于α>0，w（x）=eαxf；对于α>3，w（x）=（1+x）α，这两种函数都满足共形（12）。满足式（2）但不满足式（12）的示例为w（x）=（1+x）（对数（2+x））。我们注意到，确保HJM模型中长期极限存在的机制是结合了由空间Hw结构保证的长期正向曲线快速衰减，以及由空间H’w结构保证的长期正向曲线波动快速衰减。特别是，远期曲线对长期限债券的衰减速度非常快，因此长远期利率过程(∞) existsand是常数（定理2.1第（ii）部分）。远期曲线波动率衰减很快，因此积分（14）给出的长期波动率得到了很好的定义。

验证长期债券（14）的波动性是证明的关键部分（见附录）。定理2.2提供了由有限维布朗运动驱动的HJM模型中长期因式分解的完全显式构造。长键的存在完全由正向曲线的动力学决定。为了确保长期债券的再次存在，对远期曲线的波动性施加了充分的条件。一个明显的必要条件是，长期远期利率必须是常数（如果存在），否则，当长期远期利率受到冲击时（根据Dybvig等人（1996）的定理，必要的正值），长期债券将立即减少到零。菲利波维奇（2001）的框架已经通过限制前向曲线的空间和前向曲线的波动性来确保这一必要条件。定理2给出了波动率曲线空间上的一个充分条件，以确保长期债券的存在和HJM定价核的长期因子分解。特别是，定理2.2给出了HJM模型γt=σ中风险市场价格的明确分解∞t+γ∞tinto与长期债券的波动率σ相关的组成部分∞接地组件γ∞定义鞅M∞tand，inturn，长向前测量Q∞.3示例：高斯HJM模型与初始正向曲线f相同∈ Hw，某些重量w满足（2）。当前向曲线波动率具有确定性（与ω和前向曲线ft无关）时，eorem 2.2中的波动率条件简化为σ（t，ω，h）=σ（t）∈ L（H'w）对于某些重量'w，使得1/'w（x）=O（x-（3+）），σ（t）一致有界。在这些假设下，前向电流遵循高斯过程，取Q和Q下的hw值∞.

如果风险γt的市场价格（假设满足（6））也是确定性的，则HWP中也允许高斯过程。我们注意到，这个高斯过程通常不是马尔可夫过程。我们现在考虑σj（t）（x）=σj（x）=σje的特殊情况-κjx，（20）其中σj≥ 0，κj≥ 0和P∞j=1σj（1+κj）<∞.设w（x）=x-4.∧ 1、THNKσtkL（H'w）=∞Xj=1kσjtkH'w=∞Xj=1σj1+Z∞κje-2κjx'w（x）dx≤∞Xj=1σj1+Z∞κje-2κjxdx=∞Xj=1σj（1+κj/2）<∞.（21）因此，σtsatis fies（7）。这确保了模型满足了理论2.2中的所有假设，并且理论2.2中的所有结果都成立。为了简化符号，对于所有j>1，考虑σ>0且σj=0的标量情况，并将指数1放在σ中，这就是所谓的扩展Vasicek模型，也称为Hull-White模型。在风险中性措施（设定风险γttozero的市场价格）下，SDE（1）的解决方案是合理的（参见Carmona和Tehranci p.178）：ft（x）=f（t+x）+σκe-κx（1- e-κt）（1- e-κx（1+eκt）/2）+σe-κxZte-κ（t-s） DWQ。在极限x内→ ∞, 我们明确地获得了恒定的长远期利率：ft(∞) = f级(∞) =: λ表示所有t≥ 0（初始正向曲线f∈ HW具有长远期利率f(∞), 随着正向曲线的演化，它在HJM演化下及时保留）。

我们强调，这个例子通常是时间不均匀的，因此这里λ被定义为前进率的极限值，而不是定价半群的主要特征函数，如Hansen和Scheinkman（2009）中的马尔可夫案例。另一方面，假设x=0，我们得到了短期速率rt=ft（0）：rt=f（t）+σ2κ（1）的扩展Vasicek演化- e-κt）+σ中兴通讯-κ（t-s） dWQs，满足SDE drt=κ（θQ（t）- rt）dt+σdwqt，随时间变化的参数θQ（t）=κf′（t）+f（t）+σ2κ（1- e-2κt）。特别是，如果我们需要θQis常数，那么我们就可以得到初始正向曲线κf′（t）+f（t）+σκ（1）上的约束- e-κt）=θQ，其解为时间齐次Vasicek（1977）模型中的初始正演曲线：f（t）=θQκ-σ(1 - e-κt）2κ1.- e-κtκ+re-现在，在这个具有常数参数的特殊情况下，模型是时间齐次马尔可夫模型，正向曲线指数的极限值成为Vasicek模型中常见的主要特征函数：f(∞) = λ=θQ- σ/（2κ）。返回具有一般初始正向曲线f的扩展Vasicek模型∈ Hw，长期债券的波动率是常数：σ∞t=σ∞=Z∞σe-κxdx=σκ，长键具有简单的Q-动力学：B∞t=Ate-σκWQt-σκt，其中At=ertrsds是储蓄账户。为了进一步说明在最可能的情况下的计算，我们现在还假设风险的市场价格是恒定的，γt=γ。

在这种情况下γ∞= γ- σ∞= γ-σκ也是常数，M∞指数P鞅：M∞t=eγ∞WPt公司-（γ∞)t、 那么f前进曲线有Q∞-测量动力学：ft（x）=f（t+x）-σ2κe-2κx（1- e-2κt）+σe-κxZte-κ（t-s） dWQ公司∞s、 特别是对于我们得到的短速率：rt=f（t）-σ2κ（1- e-2κt）+σ中兴通讯-κ（t-s） dWQ公司∞s、 满足SDE drt=κ（θQ∞（t）-rt）dt+σdWQ∞t与q下的时间相关参数∞:θQ∞（t） =κf′（t）+f（t）+σ2κ（1+e-2κt）=θQ（t）-σκ。长键Q∞-动力学为：B∞t=Ate-σκWQ∞t+σκt。这个例子说明了在一个简单的高斯模型中的长期因子分解，并明确说明了布朗风险γ的市场价格是如何明确分解为长期债券σ的波动性的∞tplus长期预测γ下的风险市场价格∞定义了鞅分量M∞t长期因子分解。根据最近债券市场的经验证据，后一个组成部分很大且经济意义重大，asit控制着债券夏普比率期限结构的形状。我们请读者参考Qin等人（2016），其中根据美国国债数据对特定的马尔可夫物种进行了经验估计。相比之下，本文提供了非马尔可夫HJM模型中布朗风险市场价格的一般分解，特别是在时间非齐次高斯模型中，例如在实践中流行的多因子赫尔-怀特模型。定理2的证明为了准备定理2的证明，我们首先简要地勾勒出定理1的证明，有关详细信息，请参考Lilipovi\'c（2001）。定理2.1的证明。（i） 我们首先考虑γ=0的风险中性情况：dft=（dft+αHJM（t，ω，ft））dt+Xj∈Nσj（t，ω，ft）dWQ，jt。（22）根据假设2.1，αHJM（t，ω，h）在h中是Lipschitz连续的且一致有界（参见Filipovi\'c（2001）引理5.2.2）。

因此，根据菲利波维奇（2001）的定理2.4.1，等式（22）具有唯一的连续弱解。一个非零γ弱解的唯一性遵循Girsanov定理的应用。我们已经有了γ=0的弱解的唯一性。根据（6），γ满足Novikov条件（参见Filipovi\'c（2001）引理2.3.2）。因此，我们可以通过P | Ft=exp定义一个新的度量值P-Ztkγsklds公司-Ztγs·dWQsQ | Ft.（23）然后根据Girs-an-ov的有限维布朗运动定理（参见Filipovi\'c（2001）），WPt=WQt+Ztγsds（24）是P下的有限维标准布朗运动。因此，FTI是P下HJM方程（1）与一般γ的唯一弱解。（ii）自αHJM起∈ Hw，ft(∞) 是常量。（iii）根据菲利波维奇（2001）定理5.2.1，零息票债券价格过程（PTt/At）t≥0相对于过程的Taken=eRtfs（0）dsare Q-鞅。根据P.（iv）Filipovi'c（2001）等式（4.17）的规定，这立即产生了定价核的风险中性系数，给定SPTTPT=Atexp-ZtσTs·dWQs-ZtkσTsklds公司. （25）使用公式（24）给出了P。定理2.2的证明。我们现在准备好证明定理2了。证明由两部分组成。我们首先证明（15）和（16）右侧的过程定义良好（指数中的积分定义良好）。接下来我们证明ept[ST]EP[ST]L-→ M∞助教T→ ∞ （26）带M∞tde由（16）的右侧定义。根据Qin和Linetsky（2017）的定理3.1和3.2以及命题2.1，（i）-（iv）如下。WQ的表达式∞t则遵循Girsanov定理（参见Filipovi\'c（2001）定理2.3.3）和FTQ下的SDE∞然后立即跟进。自M起∞t=机顶盒∞t、 我们只需要证明（15）的右侧定义良好。我们首先证明了以下引理，它是所有后续估计的核心。引理A.1。