两种随机因素模型下美式期权的数值定价

为此，如下一节所述，将局部积分方程（3.22）转换为在用于空间近似的节点处具有实未知质量的代数方程系统。3.4。空间近似与使用传统的非重叠、连续网格来制定插值计划不同，MPG方法使用局部插值或近似来表示一些随机位置节点处未知变量的值（或实际值）的试验或测试函数。为此，我们将找到一些当地的公司化计划。径向点插值法是其中的一种。本文采用LRPI方案。本节回顾了LRPI的基本思想。考虑子域Ohmxof公司Ohm = [0，1]×[0，1]在点x附近，用于定义x附近试函数的Rpi近似值。根据局部点插值[12]，任意（给定）点x的点插值近似值Uk（x∈ Ohm 通过n个节点s x，x，…，处的插值进行近似。，xn（center rs）位于x的一个对流邻域内，即。Ohmx、 选择这些节点的域，其形状可能取决于点x，通常称为本地支持域。根据用于插值Uk（x）的函数，可以获得各种不同的局部点插值方法。在本文中，我们将重点放在所谓的局部径向点插值法（LRPI）上，该方法将多项式和径向基函数相结合。近似函数Uk（x）在中的分布Ohmx、 在多个随机定位的节点{xi}上，i=1，2。。。，n、 ea ch x的Uk（x）的径向点插值近似Uk（x）∈ Ohmx、 可用euk（x）=nXi=1Ri（x）aki+mXj=1Pj（x）bkj（3.23）定义，其中P，P。

。，Pmdenote按升序排列前m个单项式和R，R。，r以x为中心的n个径向函数，x。，分别为xn。此外，ak，ak。，akn，bk，bk。，b必须确定n+m真实系数。对于径向基函数R，R。，r考虑到这一点，有几种选择是可能的（例如，见[53]）。在这项工作中，我们决定将Wendland的紧支撑径向基函数（WCS RBF）与C、C和C光滑度一起使用[50]，因为它们不涉及任何自由形状参数（这不容易选择，请参见[54、55、56、57、58]）。具有C、C和C平滑度的WCS RBF分别如下所示：Ri（s）=（1- ri）+（1+4ri），i=1，2，n，Ri（s）=（1- ri）+（3+18ri+35ri），i=1，2，n，Ri（s）=（1- ri）+（1+8ri+25ri+32ri），i=1，2，n，其中ri=kx- xik/riwis是从节点xito x的距离，而riwis是半径函数Ri（x）的支持大小。在这项研究中，为了简单起见，我们为所有i设置riw=rw-ri）l+为（1-ri）0的LF≤ ri<1，否则为零。注意，单项式P，P。，Pmare并非总是采用（如果bki=0，i=1，2，…，m，则获得RBF近似值）。在目前的工作中，使用常量和线性单项式来增强RBF（即，我们设置m=4）。通过要求函数UkinterPolate U at x，x。，xn，我们得到一组n个方程，在n+m个未知系数ak，ak。，akn，bk，bk。，bkm：nXi=1Ri（xp）aki+mXj=1Pj（xp）bkj=bUk（xp），p=1，2，n、 （3.24）其中Bukar为活动节点。此外，为了唯一确定Eeuk，我们还施加：nXi=1Pj（xi）aki=0，j=1，2，m、 （3.25）也就是说，我们有以下线性方程组：Gakbk公司=bUk公司,其中buk=hbUkbUk。bUkniT=hbUk（x）bUk（x）。bUk（xn）iT，（3.26）克=R PPT,R=R（x）R（x）。Rn（x）R（x）R（x）。

Rn（x）。。。。。。。。。。。。R（xn）R（xn）。Rn（xn）,P=P（x）P（x）。Pm（x）P（x）P（x）。Pm（x）。。。。。。。。。。。。P（xn）P（xn）。Pm（xn）,ak=[akak…akn]T，（3.27）bk=[bkbk…bkm]T，（3.28）如果矩阵R的逆存在，则得到唯一解，因此akbk公司= G-1.bUk公司.因此，（3.23）可以改写为UK（x）=RT（x）PT（x）akbk公司,或者，等效地，eUk（x）=RT（x）PT（x）G-1.bUk公司. （3.29）让我们定义形状函数的向量：Φ（x）=[Д（x）Д（x）…Дn（x）]，其中Дp（x）=nXi=1Ri（x）G-1i，p+mXj=1Pj（x）G-1 N+j，p，p=1，2，n、（3.30）和G-1i，pis矩阵G的（i，p）元素-1、使用（3.30）关系（3.29）以最紧凑的形式重写：eUk（x）=Φ（x）bUk，（3.31）或eUk（x）=nXi=1bUkiДi（x）。（3.32）可以很容易地证明，形状函数（3.30）满足所谓的Kronecker性质，即i（xj）=δij，（3.33），其中δij是众所周知的Kronecker符号，因此可以很容易地施加第2节中考虑的基本边界和最终条件（例如关系式（3.14））。还请注意，通过（3.32）中的直接微分，可以很容易地获得关于x或z的（任意阶）导数。3.5。离散化方程在展示如何将模型离散化为（3.22）形式之前，我们重点关注如何选择节点。LetX={x，x，…，xN} Ohm 是分散的网格点，其中一些点位于边界上以强制边界条件。实际上，x，xN∈ Ohm. 本文所考虑的期权的支付函数是非光滑函数，尤其是在s trike价格下，其衍生工具是不连续的。因此，为了减少精度损失，试验函数的点集中在接近S=E的空间区域。

因此，我们分别使用关系式（3.10）和沿X和z方向的以下均匀节点来满足这个问题：xi=ix、 i=0，1。。。，Nx，（3.34）zj=jz、 j=0，1。。。，新西兰，其中x=1/Nx，z=1/Nz和N=（Nx+1）（Nz+1）。重要的是要注意，Uk+1（x）必须被视为已知量，因为它在上一次迭代中是近似的。我们想用LRPI近似来近似Uk（x）。在MLPG格式中，对于由LRPI近似构造的形状函数，很容易执行边界条件（3.6）。LRPI近似具有具有delta函数特性的形状函数，因此可以轻松地施加基本边界和初始（或最终）条件。将公式（3.31）中的位移表达式替换为中每个内部节点的局部弱形式（3.22）Ohm其离散方程的矩阵形式如下fbuk=GbUk+1，（3.35），其中buk=[bUkNz+1bUkNz+2bUk…bUkN-新西兰-1] T（N-2Nz-1） ×1。（3.36）我们应该再次注意到，关于（3.36），bUk，bUk。。。，bUkNzandbUkN公司-新西兰，bUkN-新西兰+1。。。，Bukna可以很容易地计算delta函数的性质。同样在线性系统（3.35）中，G=[GNz+1GNz+2…GN-新西兰-1] 这是（N- 2Nz- 1） ×（N- 2Nz- 1） 带bw的带状矩阵=teEi+NXl=0leLi，i=Nz+1。。。，N- 新西兰- 1，其中{eEi}j=（eEij，xj∈ 十、∩ Ohmis，0，o.w.（3.37）这个定义为{eEi}的分段函数是可扩展的toleLi。同时F=[FNz+1FNz+2…FN-新西兰-1] 这是（N- 2Nz- 1） ×（N- 2Nz- 1） 带bw的带状矩阵。我们有FI=eAi+eBi+eCi+eDi+（r+λ+t） eEi，i=新西兰+1。。。，N- 新西兰- 1.（3.38）我们再次强调，相对于（3.37）定义为{eEi}的分段函数可扩展为ai、eBi、eCiandeDi。

我们也可以很容易地看到tha teAij=ZOhmisM（x）Дj（x）dOhm,eBij=ZOhmisN（x）Дj（x）dΓ，eCij=ZOhmisI（x）xхj（x）dΓ，eDij=ZOhmisΘ（x）zДj（x）dΓ，leLij=λzOhmisZ公司Ohmlsr′（^r）s（x）f（^rs（x））Дj（^r，z）d^r dOhm,eEij=ZOhmisИj（x）dOhm,其中m（x）=（r- q-λκ）“s（x）s′（x）#′+ξ”η-y（z）y′（z）#′+y（z）“s（x）s′（x）（s′（x））#- y（z）“s（x）s′（x）#′”-θy′（z）+θy（z）y′（z）（y′（z））-“s（x）s′（x）#”y（z）y′（z）#′，N（x）=-（r）- q-λκ）s（x）s′（x）ν- ξη- y（z）y′（z）ν+s（x）s′（x）“y（z）y′（z）#′ν+y（z）s（x）s′（x）“s′（x）#′ν+y（z）s（x）s′（x）ν+θy′（z）ν+y（z）y′（z）“y′（z）#′ν，I（x）=-y（z）“s（x）s′（x）#ν-s（x）y（z）s′（x）y′（z）ν，Θ（x）=-θy（z）（y′（z））ν，最后，组合方程。（3.15）和（3.35）导致以下系统：（FbΞk=GbUk+1，bUk=max{bΞk，b∏}，（3.39）对k=M进行递归求解- 1，米- 2.0，从bum=b∏（3.40）开始，其中b∏是从LRPI近似的δ函数性质和期权的payoff（3.16）中获得的。注2：本工作中提出的数值方法要求在每个时间步解一个线性方程组（系统（3.35））。现在，与该系统相关联的矩阵F是带宽为bw且条件良好的带，因此，使用带LU分解方法和部分枢轴求解上述线性系统，该方法特别适用于带矩阵。还应注意的是，带部分枢轴的带状LU分解方法的复杂性为O（2N（2bw+3）（2bw+5））。我们注意到，该算法的复杂度远远低于MLPG强形式的部分旋转LU分解方法或全局RBF方法的复杂度，即O（N/3）。

此外，由于每个时间步的矩阵F都是相同的，因此在数值模拟开始时，带系数只能执行一次，因此在每个时间步，相应的线性系统都可以通过前向和后向递归有效地求解（见[59]）。备注3：MLPG中的一个关键点是局部积分的精确估值。由于基于LRPI的模态试验函数非常复杂，因此很难对弱形式进行精确的数值积分。在这项工作中，所使用的数值积分程序是通过适当改变变量，采用4点高斯勒让德规则。3.6。稳定性分析在本节中，我们对所提出方案的稳定性进行分析。首先，我们为BUK、F和GbUk提供了一个新的简单符号=[bUkbUk…bUkq]T=[bUkNz+1 bUkNz+2…bUkN-新西兰-1] T（N-2Nz-1） ×1，F=[FF…Fq]T=[FNz+1FNz+2…FN-新西兰-1] T，G=[GG…Gq]T=[GNz+1GNz+2…GN-新西兰-1] T，其中q=N- 2Nz- 2、在该方案中，可以使用等式获得任何时间级别的解。（3.31）和（3.39）eUk=φmax{F-1Gφ-1eUk+1，e∏}，（3.41），其中φ是（N- 2Nz- 1） ×（N- 2Nz- 1） 单位矩阵Euk=φbUk，还有e∏k=φb∏k。通过选择k=l并使用（3.41），我们得到了Eul。假设bul=[bUlbUlbUl…bUlq]T，同样，让ule是第l个时间级别的精确解，具有以下c分量：ule=[Ule0Ule1Ule2。

众所周知，对于任何i=0，1。。。，N，eUli小于或大于，即eUli<Ulei，oreUli≥ 乌莱， i=0，1。。，q、 案例1：首先，我们考虑具有以下性质的Uleand-Uleu的向量分量≥ Ulei，让我们定义向量seulanduleas fo lloweUli=（eUli，eUli≥ Ulei，0，o.w.Ulei=（Ulei，eUli≥ Ulei，0，o.w.关系（3.41）可以使用向量fo llowseUl=φmax{F重写-1Gφ-1eUl+1，Me∏}，（3.42），其中M是a（N- 2新西兰- 1） ×（N- 2Nz- 1） 矩阵mij=（1，i=j，andeUli≥ Ulei，0，o.w.（3.43）与第l个时间级别相关的误差由EL=eUl给出-Ule，（3.44）重要的是要观察ELA的所有成分都是正值，并且我们得出的结论是El=El+Ule。（3.45）利用关系式（3.42）和（3.45），我们得到-1Gφ-1Ul+1e+F-1Qφ-1El+1，Me∏}，（3.46）我们可以很容易地看到，关系式（3.46）使用最大函数属性转换为以下等式：El+Ule≤ φmax{F-1Gφ-1Ul+1e，Me∏}+φmax{F-1Gφ-1El+1，O}，（3.47），其中O是零向量。我们还知道Tule=φmax{F-1Gφ-因此，使用（3.47）和（3.48）我们可以编写≤ φmax{F-1Gφ-1El+1，O}，（3.49）最后，我们得到| | El | |≤ ||φmax{F-1Gφ-1El+1，O}| |≤ ||φF-1Gφ-1El+1 | |≤ ||φF-1Gφ-1 | | | | El+1 | | |，，（3.50）或等效的| | El | |≤ ||φF-1Gφ-1 | | | | El+1 | |，（3.51）情况2。现在，我们考虑具有以下性质的UleandUlei的向量分量Ulei<Ulei，假设EulandUlei是两个由eUli=（eUli，eUli<Ulei，0，o.w.Ulei=（Ulei，eUli<Ulei，0，o.w.任意方式，公式的另一种替代方法）定义的向量。

（3.41）与ul相关的可称为aseUl=φmax{F-1Gφ-1eUl+1，Ne∏}，（3.52），其中N是a（N- 2Nz- 1） ×（N- 2Nz- 1） 由nij=（1，i=j，andeUli<Ulei，0，o.w.（3.53）定义的矩阵。在这种情况下，我们提出了与第l个时间水平相关的误差=eUl-Ule，（3.54）很明显，Elis持有asEl≥ 0，（3.55）通过使用关系式（3.54），我们得到EUL=Ule- El。（3.56）因此，关系式（3.5 2）转换为以下等式- El=φmax{F-1Gφ-1升+1升- F-1Gφ-1El+1，Ne∏}，（3.57）此外，利用最大函数性质，我们得到了- 埃尔≥ φmax{F-1Gφ-1Ul+1e，Ne∏}- φmax{F-1Gφ-1El+1，O}，（3.58）或0≤ 埃尔≤ φmax{F-1Gφ-1El+1，O}，（3.59）那么，从范数和极大值性质得出| | El | |≤ ||φmax{F-1Gφ-1El+1，O}| |≤ ||φF-1Gφ-1El+1 | |≤ ||φF-1Gφ-1 | | | | El+1 | | |，，（3.60）或等效的| | El | |≤ ||φF-1Gφ-1 | | | | El+1 | |。（3.61）如果l→ ∞, 误差| | El | |→ 0和| | El | |→ 如果ρ（φF）可以保证-1Gφ-（1）≤ 1或ρ（F-1G）≤ 1（beca使用F-1G和φF-1Gφ-1是相似的矩阵），其中ρ表示矩阵的光谱半径。为了进行分析，我们需要矩阵F和G的简单版本。它由F=eA+eB+eC+eD+（r+λ）给出+t） eE，G=T形接头+NXl=0L，其中EA、eB、eC、eD、eE和LEL为（N- 2Nz- 1） ×（N- 2Nz- 1） 使用关系（3.38）获得其行的稀疏矩阵。那么我们o btainF=S+三通，（3.62）G=Q+三通，式中=eA+eB+eC+eD+（r+λ）eE，Q=NXl=0leL。然而，我们可以考虑-1F=eE-1秒+tI，（3.63）eE-1G=eE-1季度+tI，另一方面，我们知道F-1G=F-1EEE-1G=（eE-1F）-1（eE-1G），让我们定义∑=eE-1F，Γ=eE-1G，Υ=eE-1S，ψ=eE-因此，我们可以将关系（3.64）重写为∑=Υ+tI，（3.64）Γ=ψ+现在，通过应用Cayley-Hamilton定理和Gelfand公式，我们得到ρ（F-1G）=ρ（σ）-1Γ）≤tρ（Υ）+1tρ（ψ）+1< 1，（3.65），其中ρ是矩阵的谱半径。

我们可以很容易地看到，不等式（3.65）总是满足的，如果ρ（Υ），则方案将是无条件稳定的≤ ρ（ψ）。图3显示了ρ（Υ）的数值方式-ρ（ψ）随N变化。重新考虑只有当ρ（Υ）时才满足稳定性条件- ρ（ψ）≤ 从图3可以看出，本数值方法满足该条件。4、数值结果和讨论为了更好地了解本文中提出的方法的效率，让我们将该模式用于解决一些测试问题。按照第3节中使用的符号，让V和VLRP i分别表示期权价格（欧洲或美国）及其使用前一节中开发的LRPI方法获得的近似值。为了测量当前VLRP方法的准确性，离散最大范数和均方根相对差（RMSRD）已与以下定义一起使用：MaxErrorLRP I=maxi=0,1，。。。，l | VLRP I（Si，y，0）- V（Si，y，0）|，，（4.1）RMSRDLRP I=l+1vuutlXi=0VLRP I（Si，y，0）- V（Si，y，0）V（Si，y，0）. （4.2）在MaxErrorLRP和RMSRDLRP I，Si中，I=0，1。。，l是l+1个不同的点，将在走向E的一个方便的邻居中选择，即Si∈ （E，E）。为了简单起见，在欧洲和美国的选项中，我们设置Si=（0.1i+0.8）E，其中i∈ Ξ={0，1，2，3，4}或i∈ Ξ={1，2，3}。请注意，只有在SV模型下的欧式期权的情况下，V的准确值才可用。

因此，对于其他方法，我们使用之前论文中描述的参考价格，这些参考价格是通过在非常有限的网格上进行精确（也是非常耗时）的模拟获得的。在以下分析中，使用M axError（或RMSRD）与不同rQ值的关系图选择局部子域半径的最佳值（SV模型见图4和5；SVJ模型见图6、7、8、9和10；SVJ模型见图11和12）。RQI的大小应确保union0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.33-0.32-0.31-0.3-0.29-0.28-0.27N光谱半径20 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.28-0.27-0.26-0.25-0.24NC40 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.04-0.0200.020.040.060.08光谱半径6图3：∑的光谱半径-1Γ基于Wendland紧支撑径向基函数（WCSRBFs）的LRPI方法，具有C、C和Csmo不稳定度。这些子域必须覆盖整个全局域，即。∪Ohm是 Ohm. 还值得注意的是，只有当G是非单体r或P e quals m的秩，且至少m的刻度函数是非零的，即每个x的n>m时，才能很好地定义t theMLS近似∈ Ohm. 因此，为了满足这些条件，支持域RW的大小应该足够大，以便包含足够数量的no deOhmIs适用于每个采样点（n>m）。在本工作中呈现的所有模拟中，我们使用rw=l h，其中l=1.5、2、2.5、3，h是节点之间的距离。SV模型的图4和图5；SVJmodel的图6、7、8、9和10；SVCJ模型的图11和图12说明了局部子域半径RQ和支持域大小RW对我们的解决方案的影响。在这些图中，显示了RQ和rwon最大误差（或RMSRD）的影响。