在两个基准交易中静态与自适应的最优执行策略

Piat：基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案4300.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间9899100101股价演变0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间0510剩余股份#105最优策略决策适应性图21：带有基准参数（eλ=0.05）的模拟策略的一条路径0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.91 TIME99100101102股价演变0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 TIME0510剩余股份#105最优策略确定性调整图22：具有较小风险规避（eλ=10）的模拟策略的一条路径-10） 根据基准参数，我们发现J*det=-9.4736×10，J*ad=-9.4736×10和rel=2.45×10-7.D.Brigo，C.Piat：Eλ=10的基准交易执行模型中的静态与自适应最优解44-10，我们发现J*det=-9.7000×10，J*ad=-9.7000×10和rel=0。这两种策略都是直线，这意味着它们实际上遵循VWAP。这与这样一个事实相一致，即对于很小的λ，我们几乎没有标准中的风险，从而导致VWAP解决方案。当eλ=10时，我们发现J*det=-5.0391×10,0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间9698100102股价演变0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-15-10-505剩余股份#106最优策略决策适应图23：具有较大风险规避（eλ=10）J的模拟策略的一条路径*ad=-5.0385×10和rel=1.14×10-4、当eλ=10时，我们发现J*det=-1.1678×10，J*ad=-1.1680×10和rel=1.68×10-最后的图很有趣，因为它们说明了一个事实，即当风险规避因素很大时，如图23和图24所示，我们往往会很快执行所有事情，甚至超过我们应该执行的金额。在这段时期结束时，我们回购了我们需要的东西，以实现我们的目标。

风险因素越大，执行速度越快。当λ很小时，策略趋向于VWAP。λ前的合理值介于两者之间，如图21中的微曲线所示。然而，请注意，风险规避因子是完全任意的，并且只取决于交易者，因此eλ的任何值都是可能的。D、 Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案450 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间99100101102股票价格演变0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-3-2-101剩余股票#107最优策略决策适应性图24：具有巨大风险规避（eλ=10）的模拟策略的一条路径，以更准确地了解差异在完全适应和静态优化策略之间，我们研究了每个参数对最小化目标函数的影响及其相对差异。在每个数值示例中，参数将为表3中的参数，但我们研究其影响的参数除外。我们将考虑参数和输入sx、T、σ、γ、η、eλ。我们从X的影响开始。图25显示了X从10到10变化时预期成本的演变和相对差异。与离散时间情况一样，当要执行的初始股份数量增加时，两种策略之间的相对差异呈指数下降，因为预期成本随X而增加，而非绝对误差。再一次，市场影响参数γ和η已经针对某个X进行了校准，当X太大时，它们的影响变得势不可挡。虽然预期成本似乎大幅下降，但我们应该记住，我们正在寻找一个销售订单，因此当我们出售更多股票时，利润确实应该增加。实际上，随着X的增加，我们利润的百分比损失更大。现在我们来看一下T的影响。D、 Brigo，C。

Piat：基准交易执行模型中的静态与自适应最优解461 2 3 4 5 6 7 8 9 10初始股份数量#106-7-6-5-4-3-2-10目标函数值#108确定性自适应1 2 3 4 5 6 7 8 9 10初始股份数量#10600.511.522.5相对差异#10-6图25:X对预期成本和相对差异的影响5Time-12-11.5-11-10.5-10-9.5-9-8.5-8-7.5-7目标函数值#107确定性适应0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Time00.20.40.60.811.2相对差异#10-4图26：T对预期成本和相对差异的影响图26显示了预期成本的演变以及从1/14（半小时）到5天的相对差异。这两种战略之间的相对差异随着时间的推移而增大，因为适应的战略更有利于有更多的时间来适应。在一个交易周的时间范围内，相对差异为1.2×10-关于σ的影响，图27显示了σ从0到100%变化时预期成本的演变和相对差异。当σ增加时，在战略过程中使用最新价格信息的重要性增加，因为新信息的内容更加不确定。与确定性策略不同，适应性策略考虑了收入价格信息。因此，相对差异随着σ的增加而增加。然而，即使σ=1（相当于1588%的巨大年变率）时，两种策略之间的相对差异甚至不到0.1%。这是D。Brigo，C。

Piat：基准交易执行模型47中的静态与自适应最优解决方案似乎表明，在这个特定模型中，当将策略类从自适应减少到确定性时，最优性不会发生太大变化。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1挥发性-9.482-9.481-9.48-9.479-9.478-9.477-9.476-9.475-9.474-9.473目标函数值#107确定性适应0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1挥发性0 123456789相对差异#10-4图27：σ的影响关于γ影响的预期成本和相对差异，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10永久市场影响#10-5-10-9-8-7-6-5-4目标函数值#107确定性适应1 2 3 4 5 6 6 7 8 10永久市场影响#10-522.533.544.5相对差异#10-7图28：γ对预期成本和相对差异的影响图28显示了预期成本的演变以及γ从10变化时的相对差异-8至10-与离散时间情况不同，相对差异随着永久冲击参数的增加而增加。然而，它总是非常小。现在考虑η的影响。D、 Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中静态与适应性最优解决方案481 2 3 4 5 6 7 8 9 10临时市场影响#10-5-14-12-10-8-6-4-202目标函数值#107确定性适应性1 2 3 4 5 6 7 8 9 10临时市场影响#10-500.511.522.5相对差异#10-5图29：η对预期成本和相对差异的影响图29显示了η从10变化时的预期成本和相对差异-8至10-4、相对差异随着η的减小而减小，因为两种策略都被一个巨大的临时市场参数压得喘不过气来，并且难以显著降低成本。

即使η=2×10-7，与即时执行相比，每股仅增加0.2美元，相对差异仅为2.2778×10-同样，对于这个特殊的模型，最优性实际上已经在静态策略的箭头类中实现了。备注3.10。与Bertsimas和Lo的设置一样，预期成本往往-∞ 当η或γ趋于0时。最后，我们来看一下风险规避参数λ的影响。图30显示了预期成本的演变以及λ从10变化时的相对差异-5至10。相对差异随着风险规避因子的增加呈对数增长。当λ=10时，如图23所示，相对差值为1.1×10-4.D.Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案491 2 3 4 5 6 7 8 10风险规避因子-6-5-4-3-2-10目标函数值#109确定性适应性风险规避因子00.20.40.60.811.2相对差异#10-4图30：Eλ对预期成本和相对差异的影响4结论和进一步研究我们得出了最优针对完全适应交易策略和确定性交易策略这两种不同类别中的交易执行问题的解决方案，试图评估当从较大的适应类别转移到狭窄的静态类别时，失去了多少最佳性。我们在两个不同的框架中实现了这一点。第一个是Bertsimas和Lo的离散时间框架，具有信息流动过程，处理永久性和暂时性影响的情况。第二个框架是Gatherel和Schied的连续时间框架，其中目标函数是预期成本和风险价值（或预期短缺）风险标准之和。从这些作者的原著[6]和[12]中可以看出，在这两个框架中都存在最佳的适应性解决方案。

我们推导了bothapproaches的最优静态解。我们用这些来定量研究通过调整我们的策略而不是将其完全设置在时间0所获得的优势。我们的结论是，除了看起来不现实的极端情况外，没有明显的差别。这似乎表明，只要我们使用简单的模型，如本文提出的基准模型，在更大的适应类中搜索解决方案与在箭头静态/确定性类中搜索解决方案没有太大区别。这间接证实了在Almgren和Chriss[2]的类似框架中，从静态解决方案开始是可以的，而静态解决方案恰好更容易处理，正如该论文中所做的那样。在进一步的研究中，我们可能会考虑更近期的包含跳跃的模型，如【1】所示，或者考虑每日周期，如【3】所示。在这些情况下，最佳完全适应解决方案与静态解决方案之间的差异可能更大。D、 Brigo，C.Piat：《基准交易执行模型中的静态与自适应最优解决方案》50参考文献[1]Alfonsi，A.，and Blanc，P.（2014）。混合市场冲击霍克斯价格模型中的动态最优执行。可用位置：https://hal-enpc.archives-ouvertes.fr/hal-00971369v2[2] Almgren，R.，和Chriss，N.（2000年）。投资组合交易的最佳执行。J、 风险3，5-39（2000年）。[3] Almgren，R.和Lorenz，J.（2006年）。具有每日周期的贝叶斯自适应交易。J、 交易，1（4）：38–46。[4] Almgren，R.和Lorenz，J.（2011年）。均值方差最优自适应执行。[5] Almgren，R.（2012）。具有随机流动性和波动性的最优交易。《金融数学杂志》（SIAMJournal on Financial Mathematics），第3卷，第163-181页【6】Bertsimas，D.，和Lo，A.W.（1998）。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》1，第1-50页【7】Brigo，D.和Di Graziano，G.（2014）。

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