解耦随机波动率的短期和长期行为

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英文标题：
《Decoupling the short- and long-term behavior of stochastic volatility》
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作者：
Mikkel Bennedsen, Asger Lunde, Mikko S. Pakkanen
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We introduce a new class of continuous-time models of the stochastic volatility of asset prices. The models can simultaneously incorporate roughness and slowly decaying autocorrelations, including proper long memory, which are two stylized facts often found in volatility data. Our prime model is based on the so-called Brownian semistationary process and we derive a number of theoretical properties of this process, relevant to volatility modeling. Applying the models to realized volatility measures covering a vast panel of assets, we find evidence consistent with the hypothesis that time series of realized measures of volatility are both rough and very persistent. Lastly, we illustrate the utility of the models in an extensive forecasting study; we find that the models proposed in this paper outperform a wide array of benchmarks considerably, indicating that it pays off to exploit both roughness and persistence in volatility forecasting.
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中文摘要：
我们引入了一类新的资产价格随机波动的连续时间模型。这些模型可以同时包含粗糙和缓慢衰减的自相关，包括适当的长记忆，这是波动率数据中经常发现的两个典型事实。我们的素数模型基于所谓的布朗半平稳过程，我们推导了该过程的一些理论性质，与波动率建模相关。将这些模型应用于涵盖大量资产的已实现波动率度量，我们发现证据与以下假设一致：已实现波动率度量的时间序列既粗糙又非常持久。最后，我们举例说明了模型在广泛预测研究中的实用性；我们发现，本文提出的模型在很大程度上优于一系列基准，这表明在波动率预测中利用粗糙度和持久性是值得的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

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PDF下载：
--> Decoupling_the_short-_and_long-term_behavior_of_stochastic_volatility.pdf (1.05 MB)

2022-5-26 18:30:13 上传

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关键词：波动率 Mathematical Quantitative correlations Econophysics

解耦随机波动性的短期和长期行为Mikkel Bennedsen*Asger Lunde+Mikko S.Pakkanen2021年1月6日摘要我们引入了一类新的资产价格随机波动的连续时间模型。这些模型可以同时包含粗糙和缓慢衰减的自相关，包括适当的长记忆，这是波动率数据中经常发现的两个典型事实。我们的素数模型基于所谓的布朗半平稳过程，我们推导了该过程的一些理论性质，与波动率建模相关。将这些模型应用于涵盖大量资产的实际波动率指标，我们发现了与假设一致的证据，即实际波动率指标的时间序列既粗糙又非常持久。最后，我们举例说明了模型在广泛预测研究中的实用性；我们发现，本文提出的模型在很大程度上优于一系列基准，表明在波动率预测中利用粗糙度和持久性是值得的。关键词：随机波动率；高频数据；粗波动率；坚持不懈长内存；预测；布朗半平稳过程。JEL分类：C22、C51、C53、C58、G17MSC 2010分类：60G10、60G15、60G17、60G22、62M09、62M10、91G70*丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：mbennedsen@econ.au.dk.+丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：alunde@econ.au.dk.伦敦帝国理工学院数学系，英国伦敦SW7 2AZ南肯辛顿校区，丹麦奥胡斯大学。

电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.uk.1引言金融计量经济学中的大量文献发现，资产价格的波动性或其实际衡量指标是持久的，因为其自相关函数衰减很小（如Ding等人，1993年；Baillie，1996年；Cont，2001年；Andersen等人，2001年，2003年；Baillie等人，2019年）。因此，使用具有长记忆特性的随机波动率模型变得很流行，这意味着它们的自相关函数是不可积的（例如Poon和Granger，2003；Fleming和Kirby，2011）。持久性的经验证据启发Comteand Renault（1996）引入分数随机波动率（FSV）模型，该模型基于分数Ornstein–Uhlenbeck过程，由分数布朗运动（fBm）驱动，Hurst参数H>1/2，从而形成具有长记忆性的随机波动率连续时间模型。最近，人们对波动率的粗略模型产生了相当大的兴趣。这是由于隐含波动率建模的理论发展（Al\'os et Al.，2007；Fukasawa，2017）以及基于已实现波动率的经验证据（Gatheral et Al.，2018）。Gathereal等人（2018）提出的模型是对本文献的一个重要贡献，该模型受Comte和Renault（1996）的FSV模型启发。Comte和Renault（1996）的FSV模型使用赫斯特指数H>1/2的fBm，从而产生长记忆，Gatheral等人（2018），相比之下，切换到H<1/2的fBm，以考虑粗糙度。

因此，他们将其模型称为粗糙分数随机波动率（RFSV）模型。在设计真实的波动性模型时，重要的是要意识到自相似过程（如fBm）的缺点，Gneiting和Schlather（2004）强调了这一缺点，即它们的误差与其长期行为是分不开的。解决此限制的一个方法是使用FBM作为随机微分方程（SDE）的驱动程序，如FSV和RFSV模型中使用的分数Ornstein-Uhlenbeck过程。然而，撇开使用fBm驱动的SDEDR的复杂性不谈，这种方法不容易指定与粗糙度无关的过程的长期行为。例如，赫斯特指数H仍然控制着粗糙区域H中分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程自相关函数的衰减率∈0，.本文的第一个贡献是引入一类波动性的连续时间模型，将粗糙度（短时间尺度下的不规则行为）和持久性（长时间尺度下的强依赖性）结合在一起。特别是，我们提倡使用布朗半平稳（BSS）过程（Barndorff-Nielsen和Schmiegel，2007、2009）作为对数波动率的模型。正如我们将要展示的，这些过程在某种意义上是灵活的，因为它们允许将精细特性（粗糙度）与长期行为（记忆/持久性）解耦。事实上，我们表明，在适当的规范下，BSS过程可以同时适应丰富的长记忆（即不可积自相关）和短记忆（指数衰减自相关），而粗糙度是独立规定的。在相当一般的条件下，BSS过程是静止的，并且它们允许很容易地包含非高斯性和杠杆效应。

尽管这些模型具有普遍性，但就其数学结构而言，它们很简单，而且很节省，仅依赖于分别控制短期和长期行为的两个参数。此外，正如我们在下面所演示的，这些模型很容易估计、模拟和预测。本文的第二个贡献是为所提出的模型的参数开发一个估计程序。由于资产价格的随机波动过程是不可观测的，因此任何估计过程都需要基于波动性的间接度量，这可能构成（非常）真实基础过程的噪声度量。这就产生了一个测量误差问题，它会使模型参数的估计产生偏差，尤其是粗糙度指数的估计（Bennedsen，2020）。我们提出了所提出模型中所有参数的噪声鲁棒估计。我们对粗糙度指数的稳健估计是新颖的，并且依赖于非线性最小二乘（NLLS）回归。据我们所知，这是首次在粗糙波动率研究中考虑到这种稳健估计。在模拟研究中，我们检验了粗糙度指数的稳健估计量的有限样本特性，并与基本（非稳健）估计量进行了比较。我们发现，当数据有噪声时，不考虑测量噪声的基本估计器可能会产生严重偏差，而我们新的基于NLLS的估计器可以显著消除这种偏差。本文的前两个贡献是方法论的，第三个是实证的。我们将我们的建模框架应用于研究E-mini标准普尔500指数期货合约的数据，这些数据包括从10分钟到一天的各种日内时间尺度。

据我们所知，这是首次对日内波动率的粗糙度特性进行研究，这是一个令人惊讶的事实，因为粗糙度本质上是一个小尺度特性，因此在小尺度下研究最为准确。我们还研究了近2000只股票的每日实现波动率度量的粗糙度和持续性。我们的经验发现表明，日内和日内波动率指标都显示出高度的粗糙度和高度的持续性，包括可能的长记忆，因此表明我们提出的理论模型可能是有用的随机波动率模型。最后，为了检验所建议的波动率模型的实用性，我们进行了一项广泛的预测研究。我们发现，我们提出的模型优于各种基准模型，尤其是在日内时间尺度上。这表明，在预测中仔细建模随机波动率的小尺度和大尺度行为非常重要，因此，在这些尺度上解耦行为的模型在实践中是有用的。论文的其余部分结构如下。第2节通过随机过程的自相关定义了本文中粗糙度和持久性的概念。随着本论文当前版本的撰写，Fukasawa et al.（2019）开发了aquasi似然方法来估计粗略波动率模型，该方法还试图通过使用已实现的波动率度量代替潜在波动率过程来考虑噪声。第节接着介绍了一类基于BSS过程的随机波动率模型，这些模型能够同时节省地结合粗糙度和高持久性，包括长记忆。

第3节描述了粗糙度参数的估计过程，并提出了一种新的噪声鲁棒估计方法。第4节包含大量模拟研究，调查拟议估计器的有限样本特性。第5节是实证部分，使用已实现的波动率数据估计各种模型。第6节介绍了一项预测研究，我们将我们的新模型与现有的波动率预测模型进行比较。最后，第7节得出结论。附录中给出了技术结果的进一步细节和证明。在线提供了包含进一步模拟实验的Web附录。2个将短期和长期行为解耦的随机波动率模型let X=（Xt）t∈Rbe一个平稳的连续随机过程，定义在概率空间上(Ohm, F、 P），满足通常条件。将ρ定义为X的自相关函数（ACF），即ρ（h）：=Corr（Xt+h，Xt），h∈ R、 我们说，如果X的ACF符合渐近关系1，则X是粗糙的- ρ（h）~ c | h | 2α+1，| h |→ 0，（2.1）对于常数c>0和一些α∈-,.我们称α为X的粗糙度指数。对于平稳高斯过程，关系式（2.1）意味着过程X对任意φ的局部φ-H–older连续轨迹进行了修改∈ （0，α+1/2）（例如Bennedsen，2020，命题2.1）。为了完整性，我们在此回顾函数x:R→ R是φ-H的局部连续φ∈ （0，1）如果对于任何紧致区间I R存在一个大于0的常数cI，因此| x（s）- x（t）|≤ cI | s- t |φ，s，t∈ 一、 因此，指数α可以被视为粗糙度的度量，较小的值表示更粗糙。这里值得一提的是，标准布朗运动对于任何φ都有局部φ-H–older连续轨迹∈ （0，1/2）。

因此，α的负值表示轨迹比标准布朗运动的轨迹更粗糙。波动性的粗略模型与隐含波动性表面的一些经验观察特征一致（Gatheral，2006）。特别是，如Al\'os et Al.（2007）和Fukasawa（2017）所示，此类模型能够准确捕捉货币波动率在此处和下方的短期行为。”~” 表示左侧和右侧之间的比率趋向于1，当此关系中的常数无关紧要时，我们将用通用c表示，它可能因公式而异。偏斜，基于It^o差异的传统局部/随机波动率模型无法捕捉到。为了模拟波动率的粗糙度，早期的研究主要依赖于“规范”粗糙过程，即具有赫斯特指数H的分数布朗运动（fBm）∈ （0，1/2）。对于fBm，简单的关系H=α+1/2成立，这意味着H<1/2意味着粗糙度。长期以来，这种波动性一直是一个公认的事实（例如，Bollerslev和Wright，2000年；Andersen等人，2003年）。因此，大量文献集中于使用持久性模型对（对数）波动性进行建模，即自相关性以低多项式速率衰减的波动性模型：ρ（h）~ c | h|-β、 | h |→ ∞, （2.2）对于常数c>0和一些β∈ （0，∞). 当β∈ （0，1），相关函数ρ是不可积的，即R∞|ρ（h）| dh=∞, 我们说X具有长内存特性。能够再现长记忆特性的对数波动性模型传统上是使用赫斯特指数H=1的fBm构建的- β/2∈ （1/2，1）作为行驶噪声；有关长记忆连续时间波动模型的文献，请参见，例如，Comte andRenault（1996）、Comte（1996）、Comte and Renault（1998）和Comte et al.（2012）。fBm仅在增量方面是固定的。

当H<1/2时，该过程具有高度的反持续增量，使得其轨迹在较长的时间尺度上似乎是静止的，当我们想谈论波动性的长期特性时，水平的形式上缺乏平稳性是一个麻烦，如（2.2）。Comte和Renault（1996，1998）提出的补救措施是从分数Ornstein-Uhlenbeck过程构建波动性模型，即由赫斯特指数为H的fBm（Cheridito et al.，2003）驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程。Comte和Renault（1996，1998）提出的选择H>1/2产生了具有长记忆的模型，分数随机波动性（FSV）模型，Gatheral et al.（2018）的championedrecently选择H<1/2，得出了一个具有粗糙轨迹的模型，即粗糙分数随机波动率（RFSV）模型。分数Ornstein-Uhlenbeck过程理论，Cheridito et al.（2003）的定理2.3具体告诉我们，这些过程有一个以指数β=2的多项式率衰减的自相关函数-2小时。因此，当H<1/2时，进程失去了上述形式化的长内存特性，而它无疑仍然是持久的。然而，让参数H通过α=H+1/2和β=2来控制过程的粗糙度和长期行为- 在波动性建模的背景下，2H似乎既没有理论动机，也没有实证动机。这促使我们寻找过程X，我们可以为其指定粗糙度指数α，而不依赖于记忆参数β，反之亦然，甚至可以用指数衰减代替自相关的多项式衰减，而不影响粗糙度。

给定一个具有这些性质的过程X，然后我们定义了现货波动过程σtasσt=ξexp（Xt），t的一般模型≥ 0，（2.3），其中ξ>0是自由参数。2.1对数波动性模型我们有两个主要的候选X：柯西过程和所谓的布朗半平稳过程。这两个过程的共同点是，在我们这里考虑的设置中，它们都有两个参数，分别控制短期和长期行为。因此，无论哪种情况，参数的数量都不高于RFSV模型（Gatheral等人，2018年，第3.1节）。我们将看到，布朗半平稳过程尤其适合于波动率建模2.1.1柯西过程可通过使用柯西类自相关函数（Gneiting和Schlather，2004）获得将短期和长期行为解耦的高斯过程。由此产生的柯西过程是一个居中、平稳的高斯过程G=（Gt）t∈R具有自相关函数ρ（h）=1+| h | 2α+1-β2α+1，h∈ R、 其中α∈-,β>0。特别是，过程G满足（2.1）和（2.2）。然而，从建模的角度来看，这一过程的主要限制是其固有的美国性。然而，通过波动率调制可以超越高斯性，也就是说，通过指定一个过程xt=ZtvsdGs，t≥ 0，（2.4）使用柯西过程G和一些附加过程v=（vt）t∈R对波动性的波动性进行建模。在适当的假设下，X将继承G的粗糙度特性，参见Barndor Off-Nielsen等人（2009，示例3）。