解耦随机波动率的短期和长期行为

实际上，在大多数情况下，Cauchy或Power BSSmodel的MSE和QLIKE损耗最低。此外，这两种模型经常出现在75%的MCS中。这些发现对于, 有趣的是，2005 2007 2010 2015-50050100150200250300累计QLIK E（vs.Gamma BSS）h=1HARRFSVCauchyPower-BSS2005 2007 2010 2015-100010000300累计QLIK E（vs.Gamma BSS）h=52005 2007 2010 2015-200-1000100300400500累计QLIK E（vs.Gamma BSS）h=102005 2007 2010 2015-400-2000200400600800累计QLIK E（vs.Gamma BSS）h=20图7：累计QLIKE预测误差随着时间的推移。这里，h是预测范围（即，在长度为h的时间间隔内预测波动率) 和 = 15分钟。当 = 1天。（不幸的是，在这种情况下，MCS不是很有选择性，至少在使用MSE作为损失函数时是如此。）这一结果与Gatheral等人（2018年）的结果一致，作者证明，在提前一步预测每日综合方差时，RFSV模型可以优于基准模型。我们评论了一个可能令人惊讶的观察结果，即包括长记忆成分似乎也能改善短期预测。对其原因的进一步研究将是有趣和有价值的。总而言之，本节给出的结果表明，在预测中利用波动率的粗糙度通常是有利的，在日内时间尺度上，仔细建模持续性可以进一步提高预测的质量。7结论本文提出了能够同时捕获粗糙度和持久性的随机模型，这是在已实现波动率数据中发现的两个关键经验特征。

特别是，在建模对数波动率时，我们提倡使用一个将短期和长期行为解耦的随机过程。布朗半平稳过程是这类过程的一个灵活而简洁的例子；由于它还可以很容易地包含非高斯性和杠杆效应，我们认为布朗半平稳过程是一个非常好的随机对数波动模型。利用我们提出的两步估计方法，我们还对E-mini标准普尔500指数期货合约的波动性的经验特征进行了彻底的调查，包括每日和更短的时间尺度。我们发现，对该合约波动性的实际衡量确实很粗糙，但也很持久。此外，通过查看美国2000多只股票的已实现波动率数据，我们证实了这些发现，表明这类数据的普遍特征是全面性和强持久性。需要注意的是，由于已实现指标是对综合方差的噪声估计，因此计算现货波动率在数值上是一个不适定的问题，我们的发现不需要暗示难以捉摸的现货波动率过程实际上是粗糙的或持续的。然而，我们已经广泛证明，包含这两个特征的模型与高频波动的可观察统计特征完全一致。我们还认为，这些模型能够在每日和更短的时间尺度上生成具有竞争力的波动率预测。

因此，无论人们是否接受波动率实际上是粗糙的，我们相信，源自粗糙波动率的想法和模型为波动率建模提供了一个有价值的替代观点，并提供了一套有用的可操作工具，补充了基于跳跃和传统随机波动率的现有模型。致谢2016年6月在香港举行的第九届SoFiE年会、2016年6月在爱丁堡举行的ICMS量化金融前沿研讨会、2016年7月在纽约举行的第九届Bachelier世界大会、达勒姆杜克大学举行的金融波动性测量与预测新发展会议上，都介绍了这项工作的早期版本，NC于2016年9月、2017年3月在伦敦举行的第五届帝国-ETH数学金融研讨会以及2017年6月在巴塞罗那举行的巴塞罗那GSE夏季论坛研讨会分数布朗运动和粗糙模型；我们感谢观众们提出的富有启发性的评论和问题。我们还感谢吉姆·盖瑟拉尔（Jim Gatheral）、谢莉·蒋（Sherry Jiang）、马克·波多尔斯基（Mark Podolskij）、罗伯托·雷诺（Roberto Ren\'o）、彼得·坦科夫（Peter Tankov）、埃里克·沃格特（Erik Vogt）以及两位匿名裁判和编辑法比奥·特洛伊（Fabio特洛伊）所作的有益评论。我们的研究得到了丹麦国家研究基金会资助的CREATES（DNRF78）、奥胡斯大学研究基金会（项目“商品市场的随机和计量经济分析”）和芬兰科学院（项目258042）的部分支持。参考Sabi Jaber，E.和O.El Euch（2019年）。粗糙波动率模型的多因素近似。《暹罗金融数学杂志》10（2），309–349。Al\'os，E.、J.A.Le\'on和J.Vives（2007年）。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》11（4），571–589。Andersen，T.G.和T.Bollerslev（1997年）。

金融市场的日内周期性和波动持续性。《经验金融杂志》4（2-3），115-158。Andersen，T.G.和T.Bollerslev（1998年）。DM美元波动：日内活动模式、宏观经济公告和长期依赖性。《金融杂志》53（1），219–265。Andersen，T.G.、T.Bollerslev、F.X.Diebold和P.Labys（2001年）。已实现汇率波动率的分布。《美国统计协会杂志》96（453），42–55。Andersen，T.G.、T.Bollerslev、F.X.Diebold和P.Labys（2003年）。建模和预测realizedvolatility。计量经济学71（2），579–625。Andersen，T.G.、O.Bondarenko、A.S.Kyle和A.A.Obizhaeva（2016）。E-mini标准普尔500指数期货市场的日内交易不变性。工作文件，网址：http://ssrn.com/abstract=2693810.Asmussen，S.和P.W.Glynn（2007年）。随机模拟：算法与分析。纽约：斯普林格。Baillie，R.T.（1996）。计量经济学中的长记忆过程和分数积分。《计量经济学杂志》73（1），5–59。Baillie，R.T.、F.Calonaci、D.Cho和S.Rho（2019年）。长记忆、已实现波动和异质自回归模型。时间序列分析杂志40（4），609–628。巴恩多夫-尼尔森，O.E.（1997）。正态逆高斯分布和随机波动率建模。斯堪的纳维亚统计杂志24（1），1–13。Barndor Off-Nielsen，O.E.和A.Basse-O\'Connor（2011年）。准Ornstein-Uhlenbeck过程。伯努利17（3），916–941。Barndor Off-Nielsen、O.E.、F.E.Benth和A.E.D.Veraart（2013年）。利用波动性调制的L'evy驱动的Volterra过程模拟能源现货价格。伯努利19（3），803–845。Barndor Off-Nielsen，O.E.、J.M.Corcuera和M.Podolskij（2009）。平稳增量高斯过程的功率变化。随机过程及其应用119（6），1845–1865。巴恩多夫-尼尔森，O。

E、 ，P.R.Hansen、A.Lunde和N.Shephard（2008年）。设计实现的核函数来测量存在噪声时股票价格的事后变化。《计量经济学》76（8），1481–1536。Barndor Off-Nielsen，O.E.和J.Schmiegel（2007年）。范围过程：应用于湍流和肿瘤生长。在随机分析与应用中，Abel Symp.第2卷。，第93-124页。柏林：斯普林格。Barndor Off-Nielsen，O.E.和J.Schmiegel（2009）。布朗半平稳过程与波动/间歇。在高级金融建模中，《计算和应用数学氡系列》第8卷，第1-25页。柏林：Walter de Gruyter。Barndor Off-Nielsen，O.E.和N.Shephard（2002年）。已实现波动率的计量经济学分析及其在非估计随机波动率模型中的应用。《皇家统计学会杂志》，B辑64（2），253–280。Barndor Off-Nielsen，O.E.和N.Shephard（2004）。随机波动和跳跃的功率和双功率变化。《金融计量经济学杂志》1（2），1–48。拜耳、C.、K.Friz和J.Gatherel（2016年）。粗略波动下的定价。量化金融16（6），887–904。Bennedsen，M.（2020年）。高斯和条件高斯时间序列数据分形指数的半参数推断。计量经济学评论39（9），875–903。Bennedsen，M.、A.Lunde和M.S.Pakkanen（2017年）。布朗半平稳过程的混合格式。金融与随机21（4），931–965。宾厄姆·N·H.、C·M·戈尔迪和J·L·特格尔（1989）。定期变化。剑桥：剑桥大学出版社。Bollerslev，T.和J.H.Wright（2000年）。长记忆波动相关性的半参数估计：高频数据的作用。《计量经济学杂志》98（1），81–106。Bos、C.S.、P.Janus和S.J.Koopman（2012年）。点方差路径估计及其在高频跳变测试中的应用。

《金融计量经济学杂志》10（2），356–389。Cheridito，P.、H.Kawaguchi和M.Maejima（2003年）。分数Ornstein-Uhlenbeck过程。《概率电子杂志》第8期，第3期，第14页，Christensen，K.、R.C.A.Oomen和M.Podolskij（2014）。事实或摩擦：超高频跳跃。《金融经济学杂志》114（3），576–599。孔德，F.（1996年）。长记忆连续时间模型的模拟和估计。《时间序列分析杂志》17（1），19–36。Comte，F.、L.Coutin和E.Renault（2012年）。一个分数随机波动率模型。《金融年鉴》8（3），337-378。孔德，F.和E.雷诺（1996）。长内存连续时间模型。《计量经济学杂志》73（1），101–149。孔德，F.和E.雷诺（1998）。连续时间随机波动模型中的长记忆。数学金融8（4），291–323。Constantine，A.G.和P.Hall（1994年）。通过有效分形维数估计表征表面平滑度。皇家统计学会杂志：B辑56（1），97–113。Cont，R.（2001年）。资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题。QuantitativeFinance 1223–236。Corsi，F.（2009年）。已实现波动率的简单近似长记忆模型。《金融经济计量学杂志》7（2），174–196。丁，Z.、C.W.J.格兰杰和R.F.恩格尔（1993）。股票市场的长记忆性回归和新模型。《经验金融杂志》1（1），83–106。Dudley，R.M.和R.Norvaisa（2011年）。具体函数演算。纽约：斯普林格。El Euch，O.、M.Fukasawa和M.Rosenbaum（2018年）。杠杆效应和粗波动性的微观结构基础。金融与随机22（2），241–280。Fleming，J.和C.Kirby（2011年）。对波动性和交易量的长期记忆。《银行与金融杂志》35（7），1714–1726。Fukasawa，M.（2017）。短期货币倾斜和粗略分数波动。

量化金融17（2），189–198。Fukasawa，M.、T.Takabatake和R.Westphal（2019年）。波动是否剧烈？工作文件，网址：https://arxiv.org/abs/1905.04852.Gatheral，J.（2006年）。波动性表面。霍博肯：威利。Gatheral，J.、T.Jaisson和M.Rosenbaum（2018年）。波动剧烈。定量金融18（6），933–949。Glasserman，P.和P.He（2019年）。粗买细卖。定量金融20（3），363–378。Gneiting，T.和M.Schlather（2004年）。分离分形维数和赫斯特效应的随机模型。暹罗评论46（2），269–282。Gneiting，T.、H.Sevickova和D.B.Percival（2012年）。分形维数估计：评估时间序列和空间数据的真实性。统计科学27（2），247–277。Gradshteyn，I.S.和I.M.Ryzhik（2007）。积分、系列和乘积表（第七版）。阿姆斯特丹：学术出版社。Handcock，M.S.和M.L.Stein（1993年）。克立格的贝叶斯分析。技术指标35（4），403–410。Hansen，P.R.和A.Lunde（2006年）。实现了方差和市场微观结构噪声。《商业与经济统计杂志》24（2），127–161。Hansen，P.R.、A.Lunde和J.M.Nason（2011年）。模型置信集。计量经济学79（2），453–497。Jacod，J.、Y.Li、P.A.Mykland、M.Podolskij和M.Vetter（2009年）。连续情况下的微观结构噪声：预平均方法。随机过程及其应用119（7），2249–2276。Jaisson，T.和M.Rosenbaum（2016年）。粗分数差作为几乎不稳定的重尾霍克斯过程的标度极限。应用概率年鉴26（5），2860–2882。Kristensen，D.（2010年）。已实现即期波动率的非参数过滤：基于核的方法。计量经济学理论23（1），60–93。Mat'ern，B.（1960年）。空间变异：随机模型及其在森林调查和其他抽样调查中某些问题的应用。

Meddelanden fran Statens Skogsforskiningsinstitut，Band 49，Nr.5，斯德哥尔摩。Oomen，R.C.A.（2006）。2005年JBES邀请Peter R.Hansen和Asger Lunde发表评论“已实现的差异和市场微观结构噪音”。商业和经济统计杂志2（24），195–202。巴顿，A.（2011）。使用不完全波动率代理进行波动率预测比较。《计量经济学杂志》160（1），246–256。Poon，S.-H.和C.W.Granger（2003年）。金融市场波动预测：综述。《经济文献杂志》41（2），478–539。Rossi，E.和D.Fantazzini（2015年）。日内波动的长记忆性和周期性。《金融经济计量学杂志》13（4），922–961。Zhang，L.、P.A.Mykland和Y.Ait-Sahalia（2005年）。两个时间尺度的故事：用嘈杂的高频数据确定综合波动率。《美国统计协会杂志》100（472），1394–1411。Zu，Y.和H.P.Boswijk（2014）。利用高频金融数据估计即期波动率。《经济计量学杂志》181（2），117–135。综合方差的预平均测量本节严格遵循Christensen等人（2014）的方法。假设我们想在某个时间间隔内估计IV[（i-（1）, 我] 对于i≥ 我们有N+1个观测值，Z，Z，ZN，其中Zi=log Sti，在此区间内的对数价格过程Z=log S。我们定义了预平均对数回报率，r*j、 K=KK-1Xk=K/2Z（j+K）-K/2-1Xk=0Z（j+k）, j=0，1，N- K、 其中K≥ 2是偶数。为了使渐近解起作用，要求K=θ√N+oN-四分之一,在我们的实现中，我们设置θ=1，K=b√如果为b，则为Nc√Nc是偶数，K=b√Nc+1，否则。这里，bxc表示小于或等于x的最大整数∈ R

利用这些预平均收益率，我们建议以下IV估计值，其对市场微观结构噪声具有鲁棒性：RV*t=NN- K+2KψKN-K+1Xj=0 | r*j、 K级|-^ωθψK，BV*t=NN- 2K+2KψKπN-2K+1Xj=0 | r*j、 K | | r*j+K，K |-^ωθψK，（A.1），其中ψK：=（1+2K）-2） /12和t∈ [（一）-（1）, 我]. 项ωθψKis是偏差校正，其中ω是微观结构噪声过程U方差的估计。我们使用Oomen（2006）的估计量：ωAC=-N- 1NXj=2riri-1，其中ri=Zi- Zi公司-1是第i个日志返回。统计RV*和BV*分别是IV的已实现方差（Andersen et al.，2001）和双功率方差（Barndorff-Nielsenand Shephard，2004）的预平均数。虽然这两种估计器对市场微观结构噪声都具有鲁棒性，但只有BV*对价格过程中的跳跃也有很强的抵抗力。这是我们使用BV的主要原因*本文对IV的估计。在Christensen等人（2014）的研究中发现，将调谐参数θ设置为1可以很好地处理与我们类似的数据。我们从模拟我们的设置的模拟数据以及本文后面分析的实际数据中得出了相同的结论。B数学证明B。命题2.2和2.3的证明首先回顾我们可以写出ρX（h）=R∞g（x）g（x+| h |）dxR∞g（x）dx，h∈ R、 命题2.2的证明。（i） 我们可以假设h>1，因为我们让h→ ∞.

根据假设（A3），我们可以写∞g（x）g（x+h）dx=Z∞g（x）（x+h）-γL（x+h）dx=h-γL（h）Z∞g（x）（x/h+1）-γL（x+h）L（h）dx=h-γL（h）Z∞g（x）（x/h+1）-γL（h（x/h+1））L（h）dx~ h类-γL（h）Z∞g（x）dx，h→ ∞,利用慢变函数的性质，我们应用了支配收敛定理，该定理适用于所有 > 0且足够大h，g（x）L（（x/h+1）h）L（h）<g（x）（1+), x个∈ （0，∞),在（0，1）上可积，在[1，∞) 因为γ>1。（ii）出租人∞g（x）g（x+h）dx=Zg（x）（x+h）-γL（x+h）dx+Z∞x个-γ（x+h）-γL（x）L（x+h）dx=：I1，h+I2，h，其中I1，h=Zg（x）（x+h）-γL（x+h）dx，I2，h=Z∞x个-γ（x+h）-γL（x）L（x+h）dx。我们可以写，h=h-γZ∞x个-γ1+xh-γL（x）L（x+h）dx=h-2γ+1L（h）Z∞1/hy-γ（1+y）-γL（hy）L（h）L（h（1+y））L（h）{z}=：kh（y）dy，其中第二个等式后面是替换y=x/h。现在固定δ∈ （0，1- γ） （0，1/2）。根据波特边界（Bingham et al.，1989，定理1.5.6（ii）），在（A3）下存在常数δ>0，使得L（hy）L（h）≤ Cδmax{y-δ、 yδ}，y＞1/h，h＞1。因此，我们发现kh占主导地位，bykh（y）≤ k（y）：=Cδy-γ-δ（1+y）-γ+δ，y∈ （0，1），Cδy-2（γ-δ） ，y∈ （1，∞),对于任何h>1。注意，主k在（0，1）上是可积的，因为-γ-δ>-γ-（1）-γ） =-1，以及on（1，∞), 自从-2（γ- δ） <-应用支配收敛定理，我们得到了I2，h~ h类-2γ+1L（h）Z∞y-γ（1+y）-γdy，h→ ∞.此外，渐近估计I1，h~ ch公司-γL（h），以h计→ ∞, 可以使用（i）中的相同策略进行推导。观察到-γ<-2γ+1当γ<1时，我们推断I1，h=oh类-2γ+1L（h）作为h→ ∞, 因此断言如下。命题2.3的证明。