内在风险度量

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英文标题：
《Intrinsic risk measures》
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作者：
W. Farkas, A. Smirnow
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Monetary risk measures are usually interpreted as the smallest amount of external capital that must be added to a financial position to make it acceptable. We propose a new concept: intrinsic risk measures and argue that this approach provides a direct path from unacceptable positions towards the acceptance set. Intrinsic risk measures use only internal resources and return the smallest percentage of the currently held financial position which has to be sold and reinvested into an eligible asset such that the resulting position becomes acceptable. While avoiding the problem of infinite values, intrinsic risk measures allow a free choice of the eligible asset and they preserve desired properties such as monotonicity and quasi-convexity. A dual representation on convex acceptance sets is derived and the link of intrinsic risk measures to their monetary counterparts on cones is detailed.
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中文摘要：
货币风险度量通常被解释为必须添加到财务状况中以使其可接受的最小外部资本量。我们提出了一个新的概念：内在风险度量，并认为这种方法提供了从不可接受头寸到接受集的直接路径。内在风险度量仅使用内部资源，并返回当前持有的财务状况的最小百分比，该财务状况必须出售并再投资到合格资产中，以使产生的状况变得可接受。在避免无限值问题的同时，内在风险度量允许自由选择合格资产，并保持所需的特性，如单调性和准凸性。导出了凸接受集上的对偶表示，并详细讨论了内在风险度量与锥上货币度量的联系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-26 21:17:59 上传

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关键词：风险度量 风险度 Quantitative Mathematical Applications

内在风险度量苏黎世大学银行与金融系数学系Walter Farkasand Alexander Smirnow第一版：2016年10月27日抽象货币风险度量通常被解释为必须添加到财务状况以使其可接受的最小外部资本。我们提出了一个新概念：内在风险度量，并认为这种方法提供了从不可接受头寸到接受集的直接路径。内在风险度量仅使用内部资源，并返回当前持有的财务头寸的最小百分比，必须将其出售并再投资到合格资产中，以使最终头寸变得可接受。在避免有限价值问题的同时，内在风险度量允许自由选择合格资产，并保持所需的特性，如单调性和准凸性。推导了凸接受集的对偶表示，并详细说明了内在风险度量与锥上货币度量的联系。关键词内在风险度量、货币风险度量、接受集、一致性、圆锥度、准凸性、风险价值数学学科分类（2010）91B30、91B32、91G99JEL分类C60、G11、G201介绍与P.Artzner、F.Delbaen、J.Eber和D.Heath【ADEH99】介绍的接受标准相关的风险度量是地图ρA，从某个函数空间X到R的形式ρa，R（XT）=inf{m∈ R | XT+mr1Ohm∈ A} 。（1.1）换言之，财务状况风险XT∈ X是用最小的外部货币m来衡量的∈ R，必须投资于无风险的参考工具，其恒定回报率R>0，以使其可接受，即使其成为一种要素。farkas@bf.uzh.chalexander.smirnow@乌兹。chof an验收集A 十、

在这种方法中，验收集构成主要目标，相关风险度量由财务状况与验收集边界之间的距离（相对于方向r1）给出Ohm. 最近，这种方法与使用随机回报率r的合格资产的原始想法重新联系起来：Ohm → R> 0作者：P.Artzner、F.Delbaen和P.Koch Medina【ADKM09】和D。Konstantinides和C.Kountzakis【KK11】等，甚至M.Fritelli和G.Scandolo【FS06】将其扩展到工艺中。W、 Farkas、P.Koch Medina和C。[FKMM14a]和[FKMM14b]中的Munari提议调查一般合格资产：Ohm → R≥0和验收集，揭示了简化常数法的显著缺点，并指出合格资产和验收集之间的密切相互作用。他们使用由初始单一价格S定义的交易资产S=（S，ST）∈ R> 0及其随机回报ST：Ohm → R≥0并将方程式（1.1）中的r替换为随机返回值，得出扩展定义ρA，S（XT）=infnm∈ RXT+mSST∈ Ao。（1.2）术语Msstis被解释为资产S的收益。因此，将其写成ρA，S（XT）/S，也可以将此风险度量视为需要购买并添加到头寸XT以使其可接受的最小数量的ST单位。选项S=（1，r1Ohm) 强调等式（1.1）是等式（1.2）的特例。如果Sti的界远离零，这意味着对于某些ε>0的情况，不等式ST≥ εholds（P-a.s.），将后者减少到初始定义是立即的，并且构成了具有恒定回报的简化方法的基础。不幸的是，假设回报率为零，则从可能的合格资产集中排除了相关金融工具，如可违约债券或期权。

此外，减少可能会导致对验收集施加的结构进行更改。因此，允许合格资产的收益不一定为零，这是分析几个具体财务状况的关键点。然而，无论风险度量的具体定义如何，这些方法都符合[ADEH99，第2.1节]的观点：“获得足够的这类或这些[普遍接受的]工具的当前成本是衡量最初不可接受头寸风险的一个很好的候选者。”这一开创性的想法不仅允许人们根据自己的风险对财务职位进行排名，而且还建议了一种让不可接受的职位被接受的程序。参考[ADEH99]中的现金可加性（公理T），P.Artzner，F.Delbaen，J.Eber和D.Heathclaim，在[ADEH99，备注2.7]中指出，“通过坚持参考现金和时间，[…]我们的方法比解释更深入[…]“风险度量的主要功能是对风险进行适当排序。”然而，为了真正超越风险排序并应用此程序，必须携带或提高货币金额ρA，S（XT）。这就提出了一个问题，即该方法适用于哪种范围，以及如何将额外资本的获取纳入风险度量。一种可能的方法是出售部分财务头寸，以筹集资本并投资于合格资产，正如【ADEH99，第2.1节】：“针对不可接受的风险[…]一种补救办法可能是改变立场。”我们工作的目的是将这一思想发展为一类新的风险度量，我们称之为内在风险度量。传统的风险度量是通过（假设的）额外资本来定义的，但在现实中并不总是可用的。

因此，我们提出了一类风险度量，仅允许使用财务状况中包含的内部资本。这一新概念导致人们的心态发生了重大变化。它扩展了应用范围，消除了有限值的问题。它还需要关注头寸的初始价值及其与所需合格资产的相互作用。我们根据接受集A开发我们的方法 X作为主要对象，在一般合格资产的扩展框架上S=（S，ST）∈ R> 0×A.利息金融头寸的内在风险X=（X，XT）由其初始值X确定∈ R> 0和未来收益或净值XT∈ X由a给出，S（X）=infnλ∈ [0,1]（1）- λ）XT+λxst∈ Ao。（1.3）内在风险度量返回初始时需要出售并再投资到合格资产中的给定头寸的最小百分比，从而使产生的头寸被视为可接受。通过出售部分头寸，筹集所需资本并进行再投资，从而形成两个随机变量的凸组合。这种方法提出了一种将可接受位置移向接受集的新方法。特别是，对采用固定值并失去其操作适用性的风险度量的处理变得过于复杂。此外，标准性质（如单调性和拟凸性）得以保持，并且可以仅使用基础接受集的结构来施加这些性质。随后的工作是从A.Smirnow（Smi16）的硕士论文发展而来，其结构如下。第2节介绍了接受集和传统风险度量的概念，将这两个概念联系起来，并回顾了重要的属性。本课程旨在简要概述风险度量理论的进展，并为内在风险度量奠定基础。

在第3节中，我们定义了内在风险度量，并推导了与传统风险度量并列的基本属性。在第4节中，在二次曲线接受集的假设下，我们将内在风险度量与传统风险度量相关联，并证明它们可以表示为彼此的函数。此外，使用这种表示，我们表明内在风险度量产生了在确保同等性能的同时达到可接受性所需的较小数量。在Convex接受集的设置中，第5节首先简要总结了传统风险度量的标准对偶结果，然后推导了内在风险度量的对偶表示。最后，第6节给出了结论和对可能的扩展和问题的简短展望。在本文中，我们使用风险价值接受集来说明新概念和结果，并演示内在风险度量的计算和应用。2术语和预备知识在本节中，我们将介绍常用术语、验收集和传统风险度量的一般概念。目的是为我们建立框架奠定基础。在本节末尾，对内在风险度量的动机进行了展望。在整个研究过程中，我们将研究无原子概率空间(Ohm,F、 P）。为了简化和呈现流程，我们考虑本质有界随机变量X=L空间上的财务位置∞(Ohm,F、 P）赋予P-几乎确定序和P-本质上确界范数。然而，对于无模型可测空间上的有界随机变量，大多数结果都是最好的(Ohm,F） ，甚至在任意序实拓扑向量空间上具有更大的通用性。

我们将明确指出哪些地方可以立即扩展。2.1可接受性设置在金融领域，持有满足特定可接受性标准的头寸是一项中心任务，这些头寸可能代表自己的偏好，也可能具有监管性质。这些标准可以通过所谓的验收集纳入数学框架。以下定义确定了验收集的一般结构，它反映了“最小”人类原理。定义2.1 A子集A 如果X满足o非平凡性：A 6=/0和A X，以及o单调性：XT，则称为接受集∈ A、 年初至今∈ X和YT≥ XTIMPLE YT∈ A、 元素XT∈ A被称为A-可接受，如果对A的引用是明确的，则称为A-可接受。同样，XT/∈ A被认为是（A-）不可接受的。非平凡性在数学上很重要，也代表了现实世界的需求，因为我们不仅会接受任何糟糕的情况，另一方面，由于任何事件都需要短期反应，因此必须始终有可接受的行动。单调性实现了这样一种理念，即任何财务头寸都支配着订单上可接受的头寸≤ 也必须是可接受的。这两条公理构成了验收集的基础。根据上下文的不同，通常有必要施加进一步的结构，我们为框架相关属性调用了三个。如果XT，则称A为圆锥或圆锥∈ A意味着对于所有λ>0的情况，也意味着λXT∈ A、 o凸面if XT，YT∈ A意味着对于所有λ∈ [0,1]也λXT+（1- λ）YT∈ A、 o如果A=(R)A，则关闭。锥体属性允许任意缩放其可接受状态不变的财务头寸。凸性代表了多样化的原则：给定两个可接受的位置，这些位置的任何凸组合都是可以接受的。第2.2节将讨论这两个属性如何转化为货币风险度量。

在考虑可接受位置序列的限制时，封闭性非常重要。除此之外，它还具有经济动机，因为它禁止任意的小干扰，以使可接受的头寸受益并使其可接受。下一个引理总结了验收集的一些有用属性，这些属性将在后续章节中使用。引理2.2让A X为验收集。那么下面的断言就成立了。A包含所有足够大的常数，没有足够小的常数。2、ST∈ int（A）当且仅当存在ε>0，使得ST- ε1Ohm∈ A、 3。内部int（A）和闭包\'A是验收集，int（A）=int（\'A）。4、如果A是圆锥体，则int（A）和'A是圆锥体，0/∈ int（A）和0∈(R)A.证明1。由于A是X的一个非空的真子集，单调性意味着任何常数支配某个XT∈ A包含在A中，且没有由某些YT支配的常数/∈ A.2中包含的Ais。假设ST-ε1Ohm∈ A、 对于某些ε>0。δ的自∈ （0，ε）和XTin球Bδ（ST）={YT∈ X | kYT-STkL公司∞（P） <δ}不等式XT-（ST-ε1Ohm) ≥ （ε-δ）1Ohm> 0保持不变，单调性意味着ST∈ int（A）。另一个方向直接来自内部的定义。3、断言3的证明遵循了[FKMM14b]中引理2.3（iv）和（v）的证明，并被省略。4、给定ST∈ int（A），断言2和锥属性产生λ（ST- ε1Ohm) ∈ A、 对于某些ε>0和所有λ>0。那么断言2的另一个方向意味着λST∈ int（A）。吉文斯特∈\'A，取序列{SnT}n∈N 具有极限ST的A。则圆锥度表示{λSnT}n∈N A、 对于任何λ>0，我们得出结论，λSt属于'A。以表明0/∈ int（A）承担合同责任。然后通过断言2，我们发现ε>0-ε1Ohm∈ A、 圆锥性质和单调性意味着A=X，这是一个矛盾。对于最后一部分，取递减序列{λn}n∈正在转换为0和ST∈ A.

圆锥度表示{λnST}n∈N A我们得出结论0∈(R)A.备注2.3引理2.2可以在可测量空间的无模型环境中陈述(Ohm,F） ，参见[FKMM14b，引理2.3]。此外，它在很大程度上可以推广到一般的序拓扑向量空间。例如，参见[FKMM14a]中的第2节和第3节。然而，对于一般空间，有必要用一个重新定义的概念（如核心）来代替内部。我们以所谓的值atRisk接受集的著名示例来结束这一小节。示例2.4（风险价值接受）适用于任何概率水平α∈0，setAα={XT∈ X | P[XT<0]≤ α} 定义了一个闭合的圆锥接受集，该接受集通常不是凸的。几个简短的计算证明Aα是一个二次曲线接受集。表明α在L中是封闭的∞（P） 考虑序列{XnT}n∈N Aα收敛到某个XT。对于任意δ>0和任意n∈ N下列不等式成立，P[XT<-δ] =P[XT<-δ，XnT<-δ] +P[XT<-δ，XnT≥ -δ]≤ α+P[| XnT- XT |>δ]。由于范数收敛意味着概率收敛，我们可以让n→ ∞ 和getP[XT<-δ]≤ α。它遵循P[XT<0]=limδ→0P[文本<-δ]≤ α。为了证明aα不是凸的，我们使用圆锥度将问题简化为查找XT，YT∈ Aα，例如xt+YT/∈ Aα。对于两个不相交的子集A、B∈ F，其中P[A]=P[B]=α选项XT=-1A和YT=-1b得出所需的不等式。备注2.5该示例可直接扩展到Lp(Ohm,F、 P），对于P∈ [0，∞). 详情可参见C.Munari的论文【Mun15，第2.4.1节】。2.2传统风险度量本小节介绍了金融机构常用的传统风险度量的概念。验收集决定了“好”和“坏”的含义。传统的风险度量方法可以确定这种差异，并允许我们根据r1方向的距离对财务头寸进行排序Ohm（或ST/S）至验收集。

为了明确区分这些风险度量和内在风险度量，我们按照【ADEH99，定义2.1】定义了传统风险度量的类别。定义2.6传统的风险度量是从X到R的映射。在第3节中，我们将看到内在风险度量定义为R>0×X。在下文中，我们回顾了一些著名的传统风险度量方法。对于该let XT，yt和r=r1Ohm是X的元素，ρ表示传统的风险度量。2.2.1一致的风险度量不同的风险度量构成了现代风险度量理论的历史基础。P、 Artzner、F.Delbaen、J.Eber和D.Heath【ADEH99】通过以下一组公理对其进行了定义。如果满足o单调性：XT，则传统风险度量称为一致性≥ y倍数ρ（XT）≤ ρ（YT），o现金可加性：对于m∈ R我们有ρ（XT+mr）=ρ（XT）- m、 o正均质性：对于λ≥ 0我们有ρ（λXT）=λρ（XT），次加性：ρ（XT+YT）≤ ρ（XT）+ρ（YT）。单调性递减使我们能够根据风险对财务头寸进行排序。现金可加性构成了将风险度量解释为额外所需资本量的基础。将该资本添加到财务状况中，其风险变为0，通过现金可加性，ρ（XT+ρ（XT）r）=0。这些假设似乎在资本要求的背景下是自然而然的，它们真正体现了H.F¨ollmer和A.Schied在[FS04，定义4.1]中提出的“货币风险度量”一词。2.2.2然而，由于风险可能表现为非线性，因此可能无法满足正同质性。一个可能的变化是H.F¨ollmer和A.Schied[FS04]围绕以下特性讨论风险度量凸性：Ifλ∈ [0，1]，然后ρ（λXT+（1- λ）YT）≤ λρ（XT）+（1- λ）ρ（YT）。一个简短的计算表明，在正齐次性下，次可加性和凸性是等价的。H