多重分形交叉小波分析

2（d）]。图2（d）还显示了从等式中获得的T（q）的理论值。（17） 。这两条曲线非常匹配，表明我们的MFXWT（p，q）算法准确地分析了两个二项测度中的联合多重分形性质。正如所料，T（q）对q的非线性行为也证明了二项测度中的联合多重分形。图2（b）和2（c）显示了两个量（Puxyn | wxwy | 1/2和Puxynuxy）相对于标度s的幂律标度行为，其幂律指数是联合奇异强度hxy和联合多重分形函数D（hxy）的估计。10010110210310410-2510-2010-1510-1010-5100sχxy（2，q，s）（a）q=0q=2q=4q=6q=8q=1010110103104-11-10-9-8.-7sPuxy（2，q，s）ln wx（b）101102103104-11-10-9sPuxy（2，q，s）ln wy（c）101102103104-11-9-7.-5.-3sPuxy（2，q，s）lnuxy（d）图3。（彩色在线）基于二阶MFXWT（p，q）方法对px=0.3和py=0.4的两个二项度量进行多重分形交叉小波变换分析。（a） χxy（p，q，s）关于不同q的标度s的幂律图，固定p=2。（b） 固定q=2的不同q的tuxy（2，q，s，t）ln | wx（s，t）|对ln s的线性依赖关系。（c） 固定q=2的不同q的tuxy（2，q，s，t）ln | wy（s，t）|对ln s的线性依赖关系。（d） 固定q=2的不同q的tuxy（2，q，s，t）lnuxy（2，q，s，t）对ln s的线性依赖关系。（e） –（h）联合质量指数函数（T）xy（p，q），联合奇点函数hx（p，q）和hy（p，q），以及等式中的联合多重分形函数Dxy（p，q）。（3-6）。（i） –（k）联合奇异函数hx（p，q）和hy（p，q）以及等式中的联合多重分形函数Dxy（p，q）。（7-9）。（l） 联合多重分形谱dxy（hx，hy）。图2（e）比较了使用不同方法获得的接头奇异强度hxy（q）。实线对应于理论值。

正方形和圆形分别从关节质量指数xy（q）的第一次推导和直接估计方法中获得。注意，尽管两种估算方法的经验hxy（q）一致，但只有当q≥ 1、当Q<1时，我们会看到偏差，其原因尚不清楚。图2（f）显示了理论值和估计值中二项测度的相应联合多重分形谱。从等式中获得的Dxy（hxy）值。（6） （9）在理论曲线上一致并崩溃。我们的结果表明，MFXWT（p，q）的精度可以用于分析二项测度中的联合多重分形。释放图2中的p=q限制，图3（a）显示了联合配分函数χxy（2，q，s）如何依赖于固定p=2的不同q的标度s。我们看到了幂律行为。对于每对（p，q），估计相应关节质量指数Txy（p，q）时直线的斜率。图3（e）显示了联合质量指数函数Txy（p，q）相对于p和q的曲线图。请注意，Txy（p，q）和（p，q）之间同样存在非线性特征，这验证了两个二项式度量中的联合多重分形。以下等式：。（4-6），如果我们有质量指数Txy（p，q），我们可以数值计算联合奇异强度函数hx（p，q）和hy（p，q）以及联合多重分形函数Dxy（p，q）。图3（f）、3（g）和3（h）分别显示了相应的hx（p，q）、hy（p，q）和dxy（p，q）。hx、hy和DXY的广泛范围进一步证实了二项测度中的联合多重分形。等式中给出的直接估计方法。（7–9）是估计关节奇异强度hhx（p，q）和hy（p，q）以及关节多重分形函数Dxy（p，q）的另一种方法。

通过估计三个量Puxyln | wx |，Puxyln | wy |，和Puxylnuxyln，我们发现这些量和标度s之间的幂律标度行为，如图3（b–d）所示。它们的幂律指数对应于图3（i）中的关节奇异强度函数hx（p，q）和图3（j）中的hy（p，q）以及图3（k）中的关节多重分形函数Dxy（p，q）。请注意，图3（f）和图中的hx（p，q）。3（i），图3（g）和图3（j）中的hy（p，q），以及图3（h）和图3（k）中的Dxy（p，q），使用两种方法获得。10110210310410-810-510-2101104sχxy（2，q，s）（a）q=0q=2q=4q=6q=8q=10hxhy（f）-1.02-0.98-0.94-0.9-0.6-0.55-0.5-0.45-0.45-0.35-0.25-0.15-0.05图。4.（彩色在线）Hxx=0.1，Hy=0.5，ρ=0.5的二元分数布朗运动的多重分形交叉小波分析。（a） 对于固定的p=2和不同的q.（b）联合质量指数函数Txy（p，q），χxy（p，q，s）和标度s之间的幂律关系由式（3）得出。使用最小二乘法，我们得到Txy=-0.485p- 0.268q+0.135。（c） Jointsingularity函数hx（p，q）。（d） 联合奇异函数hy（p，q）。（e） 联合多重分形谱Dxy（p，q）。（f） 关节多重分形谱Dxy（hx，hy）的等值线图。图3（l）显示了两种方法的一致性，这说明了两种方法的联合多重分形光谱Dxy（hx，hy）以及公式（16）中表示的理论值（品红曲线）。Xie等人[8]表明，二项式测度的联合多重分形谱fxy（αx，αy）是Q的一元函数，因此也是αydueto方程的αxor的一元函数。（14） 和（15），这意味着MFXWT的联合多重分形谱也是hxor对等式的单变量函数。（18） 和（19）。图3（l）显示，两种方法估计的联合多重分形谱是一条曲线，而不是一个曲面，验证了dxyan和hxor hy之间的单变量函数关系。

这两种联合多重分形谱与理论多重分形谱近似重叠，表明MFXWT（p，q）方法提供了对二项测度的精确联合多重分形分析。B、 二元分数布朗运动（bFBMs）参数为{Hxx，Hy y}的二元分数布朗运动[x（t），y（t）]∈ （0，1）是一个具有平稳增量的自相似高斯过程，其中x（t）和y（t）是两个单变量分数布朗运动，Hurstindices hxx和Hy yand也是bFBM的两个分量【43–45】。人们广泛研究了多变量折射布朗运动的基本性质[43–45]。在bFBMs上对多重分形交叉相关分析算法进行了广泛的数值实验[8、15、27]。两个单变量FBM的两个Hurst指数hxxx和Hy yo及其互相关系数ρ是模拟算法的输入参数。通过使用参考文献[44，45]中描述的模拟程序，我们生成了bFBM的实现，其中Hxx=0.1，Hy=0.5，ρ=0.5。bFBM的长度为2。如参考文献[8]所述，如果两个时间序列为单分形，则联合奇异强度hx（p，q）和hy（p，q）为常数，其联合多重分形谱为Dxy（hx，hy）=0。注意等式。从p模型中获得的（17–20）不再有效，因为它们是使用保守度量得出的，并且bFBM中成分x（t）和y（t）的增量都不是保守的。图4显示了使用MFXWT算法对bFBM进行联合多重分形分析的结果。图4（a）显示了小波系数的联合配分函数χxy（2，q，s）是如何相对于固定p=2和不同q的尺度绘制的。

我们再次看到了强大的幂律缩放行为，允许我们使用最小二乘估计方法估计连接指数txy。图4（b）显示了针对不同p和q的关节质量指数函数。由于bFBMs的单分形性，我们看到了T（p，q）的平面。双变量回归屈服强度xy（p，q）=-0.485p- 0.268q+0.135。（21）使用公式（6），我们推断hx=-0.970，hy=-0.536，Dxy=-0.135偏离理论值dxy（0，0）=0。当p=q=0时，等式（21）给出的Txy（0，0）=0.135，这也偏离了理论值Txy（0，0）=0.10010110210310410-1510-910-3103sχxy（2，q，s）（a）q=0q=2q=4q=6q=8q=10hxhy（f）-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.9-0.7-0.5-0.3-0.1图。5.（彩色在线）利用MFXWT（p，q）方法对道琼斯指数和纳斯达克指数日收益率序列之间的联合多重分形进行多重分形交叉小波分析。（a） 对于固定的p=2和不同的q，χxy（p，q，s）对标度s的幂律依赖性。（b）联合质量指数函数T（p，q）。（c） 联合奇异强度函数hx（p，q）。（d） 关节奇异强度函数hy（p，q）。（e） 联合多重分形函数Dxy（p，q）。（f） 联合多重分形奇异谱Dxy（hx，hy）。或者，使用等式。（4） 和（5）以及Txy的数值微分，我们可以估计hx（p，q）和hy（p，q）。图4（c）和图4（d）绘制了估计的联合奇异强度函数hx（p，q）和hy（p，q），这两个函数是从Txy（p，q）的前向差中获得的。注意，从数值方法获得的奇点强度函数hx（p，q）和hy（p，q）在很小的范围内变化。相应的平均值为-HX和0.968-hy为0.534，这与Hx和hy一致，Hx和hy是从式（21）中的Txy（p，q）平面方程中获得的。使用等式中的doubleLegendre变换。

（6） ，我们进一步获得了联合多重分形函数Dxy，该函数是根据图4（e）中的p和q以及图4（f）中的hx和hy绘制的。Dxyis的平均值-0.178，也接近toDxy=-0.135。然而，与HX和hy不同的是，DXY的范围相对较宽，从0到0.5。这表明，如果我们仅在Dxy的跨度范围内确定联合多重分形，MFXWT方法可能表明bFBM存在虚假多重分形。这种虚假的多重分形通常发生在使用配分函数方法时，通常是由有限尺寸效应引起的[50]。这表明我们需要使用bootstrapping对多重分形的存在进行统计检验[51，52]。四、 股票市场的应用表明，我们现在应用MFXPF（p，q）方法来检测道琼斯工业平均指数（DJIA）和美国证券交易商协会自动报价（NASDAQ）指数每日回报的联合多重分形。为了将我们的结果与参考文献[8]中的结果进行比较，我们还对这两个指数的波动时间序列进行了类似的分析。日收益率定义为日收盘价的对数差值，R（t）=ln I（t）- ln I（t- 1） ，（22）式中，I（t）是道琼斯工业平均指数或纳斯达克指数在第t天的收盘价。这两个指数均从“雅虎财经”检索这两个指数的跨越期为1971年2月5日至2016年6月17日，共包含11430个数据点。波动率由每日收益的绝对值决定。A、 日收益时间序列我们首先使用MFXWT（p，q）方法分析两个指数日收益的联合多重分形。图5显示了结果。图5（a）将联合配分函数χxy（2，q，s）绘制为固定p=2和变量q的标度s的函数。

我们在大于三个数量级的标度范围内看到了强幂律行为。其他（p，q）对的结果相似。通过对给定的（p，q）对lnχxy（p，q，s）进行回归，我们得到了连接指数Txy（p，q），如图5（b）所示。请注意，联合质量指数是p和q的非线性函数，表明这两个指数的日收益率中存在联合多重分形。10010110210310410-810-610-410-2100102sχxy（2，q，s）（a）q=0q=2q=4q=6q=8q=10hxhy（f）-0.5-0.4-0.3-0.2-零点一零-0.4-0.3-0.2-0.10-1.1-0.8-0.5-0.2图。6.（彩色在线）利用MFXWT（p，q）方法对道琼斯指数和纳斯达克指数日波动率序列之间的联合多重分形进行多重分形交叉小波分析。（a） 对于固定的p=2和不同的q，χxy（p，q，s）对标度s的幂律依赖性。（b）联合质量指数函数T（p，q）。（c） 联合奇异强度函数hx（p，q）。（d） 关节奇异强度函数hy（p，q）。（e） 联合多重分形函数Dxy（p，q）。（f） 联合多重分形奇异谱Dxy（hx，hy）。图5（c）和5（d）显示了关节奇点强度函数hx（p，q）和hy（p，q），它们是根据T（p，q）进行数值估计的。我们发现，两个奇异强度函数都广泛分散，跨越范围大于0.3。此外，关节奇异强度函数相对于p和q是单调的。图5（e）绘制了从双勒让德变换获得的关节多重分形函数Dxy（p，q）。请注意，jointmultifractal函数位于(-1，0）。Dxy（p，q）的最大点在（p，q）=（0，0）处达到。图5（f）显示了联合多重分形谱Dxy（hx，hy），它不会塌陷到一个被执行点的邻域中。

我们的实证结果表明，道琼斯工业平均指数和纳斯达克指数的日收益率存在联合多重分形。B、 日波动时间序列我们接下来使用MFXWT（p，q）方法对两个指数的日波动率进行多重分形交叉小波分析。结果如图6所示。图6（a）显示了固定p=2和变化q的联合配分函数χxy（2，q，s）相对于标度s的依赖关系的对数-对数图。我们看到了两个数量级的强幂律行为。图6（b）显示了产生的联合质量指数Txy（p，q），其单调且非线性增加，这意味着两个指数波动率之间的交叉相关性表现出联合多重分形。图6（c）和图6（d）分别显示了关节奇点强度函数hx（p，q）和hy（p，q）的数值计算。请注意，两个奇点强度函数的宽度都显著大于0，进一步证实了两个波动率时间序列的互相关中存在联合多重分形。图6（e）和图6（f）分别显示了联合多重分形函数Dxy（p，q）和联合多重分形谱Dxy（hx，hy），这再次验证了两个指数波动率之间相互关联的联合多重分形特征。我们的结果还表明，由于联合奇异强度函数和联合多重分形函数的宽度较大，联合多重分形波动率比收益率波动率强。我们的结果与参考文献[53]中提出的交叉多重分形分析的结果一致，因为与纯挥发性相比，回归的迹象会带来不相关的噪音。C

交叉多重分形的起源金融序列中的厚尾分布以及线性和非线性长记忆行为被认为是多重分形的起源【50，54】。对于交叉多重分形，记忆行为可能包含以下两个组成部分：每个序列内的自相关和序列间的互相关。因此，研究这两种类型的相关性行为如何影响交叉多重分形性质是很有意思的。为了进行测试，我们只需使用p=q的多重分形谱宽度来定量测量交叉多重分形的程度，其定义为hxy=最大值[hxy（p）]- min【hxy（p）】（23）这种简化是合理的，因为txy曲面的p=q的对角线的跨度范围近似等于整个曲面的跨度范围，如图中txy的曲面图所示。3-6。我们首先测试了互相关行为对交叉多重分形的影响。根据参考文献[25]，我们将两个序列从1天相对移动到100天，以逐渐减弱它们之间的互相关，而不改变每个序列中的自相关。这种策略还允许我们检测跨多重分形中可能存在的时滞或不对称效应。-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-1.2-0.9-0.6-0.30（a）hxyDxy（hxy）原始位置DJIA领先1纳斯达克领先1DJIA领先20纳斯达克领先20 DJIA领先80纳斯达克领先800 20 40 60 80 1000.10.150.20.250.30.35（b）nshifthxy原始位置DJIA领先NASDAQ领先-0.5-0.3-0.1 0.1-1.2-0.9-0.6-0.30（c）hxyDxy（hxy）原始位置DJIA领先1纳斯达克领先1DJIA领先20纳斯达克领先20 DJIA领先80纳斯达克领先800 20 40 60 80 1000.20.250.30.350.40.450.50.55（d）nshifthxy原始位置DJIA领先纳斯达克领先图。7.

（彩色在线）通过逐渐降低互相关强度获得的交叉多重分形结果，这是通过相对移动两个序列来实现的。（a） 道琼斯工业平均指数-纳斯达克指数的交叉多重分形谱返回原始位置，道琼斯工业平均指数处于领先位置（1天、20天和80天），纳斯达克指数处于领先位置（1天、20天和80天）。（b） 谱宽曲线图，作为返回值移位位置数的函数。原始收益的谱宽如水平线所示。（c） 与（a）相同，但适用于挥发性。（d） 与（b）相同，但用于挥发性。对于DJIA-NASDAQ收益率和波动率，我们估计了三种情况下的多重分形谱，这些情况下时间序列相互定位。第一种情况对应于两个系列之间没有位移。第二种情况是，道琼斯工业平均指数相对于纳斯达克指数提前了15天发生变化。第三个案例是纳斯达克领先DJIAby nshiftdays。通过设置nshift=1、10和80，我们在图7（a）和（c）中分别绘制了收益率和波动率的多重分形谱。我们发现，道琼斯工业平均指数领先纳斯达克指数一天的收益率对显示出最强的交叉多重分形，以及道琼斯工业平均指数领先一天的波动率对。我们进一步将nshift从1变为100，并估计光谱宽度hxy。图7（b）和（d）显示了返回和挥发的相应结果，其中hxy是相对于nshift绘制的。我们发现hxy随nshift的增大而迅速减小，表明交叉多重分形的恶化。这是因为两个序列之间的互相关随着滞后时间的增加而变弱，这支持了互相关可以被视为互多重分形的起源。