巨灾债券和其他长期债券的加载定价，

由于本文本质上更具概念性，我们将在接下来的工作中从保险数据中提取负载度。7、MMMIn下的套期保值本节我们讨论零息票债券的套期保值策略。产生（正式获得的）风险中性零息票债券的资产配置策略将其财富完全投资于储蓄账户。这是一种简单的买入并持有策略。让我们来描述动态资产配置，即对冲策略，它生成（理论上可能的）最小零息票债券。如前所述，用VbST（t）表示贴现最低零息票债券价格，用RbST（t）=1表示贴现风险中性零息票债券价格。然后，从（16）可以看出，贴现NP Nt中持有单位的套期保值比率=Nt/统计时间t∈ [0，T）对冲最小零息票债券为δT=VbST（t）Nt=2ηα（exp{ηT}- exp{ηt}）exp-2ηNtα（exp{ηT}- exp{ηt}）.VbST（t）的自我融资对冲投资组合持有储蓄账户中最低零息票债券的剩余价值。为了举例说明，我们考虑对冲最小零息债券配置图4：为2015年1月到期的（理论上可能的）最小零息债券投资于NP（标准普尔500）的份额。2015年1月到期的债券，使用标准普尔500指数作为NP的代理。标准普尔500指数中持有的财富份额随时间的变化表示为πt=δtNtVbST（t）（22），如图4所示。我们注意到，在最初的30年里，该对冲投资组合主要投资于NP。根据公式（22），它以后会越来越多地滑入储蓄账户。当目标是在到期时支付asavings账户单位时，可以将上述策略解释为严格执行常见的财务规划建议。

回想一下，广受关注的财务规划建议最初建议投资于风险证券，然后在临近退休时越来越多地投资于固定收益证券，如图4所示，为给定模型下最便宜的对冲。为了进一步说明，我们在图5中显示了贴现的自我融资对冲组合的对数，以及贴现的最低零息票债券价格过程的每月重新分配。它与贴现债券价格过程的差别如此之小，以至于人们不会在图中看到任何差别。显然，贴现的风险中性债券的对数的常数值为零。有人指出，贴现的最低零息票债券价格最初被认为比风险中性债券价格小得多。更准确地说，如图3所示，对于89年期零息票债券，1926年的风险中性债券价格大约是最低零息票债券价格的18倍。在给定的恒定加载程度下，很容易形成加载价格过程。在图5中，我们还显示了零息票债券贴现加载价格的对数，如图5所示：贴现（理论上可能）最低零息票债券价格的月度再平衡对冲组合的对数，以及恒定加载度LbSTt=0.3的贴现加载价格过程。LbSTt的恒定加载度=0.3，0≤ t型≤ T最小价格和所有装载价格与NP一致，因为它们在基准时形成局部鞅。这意味着，如果一个人通过使用市场上交易的所有证券、合约和衍生品（包括加载价格过程）来形成NP，那么它仍然会出现与我们开始时相同的NP。因此，从长期来看，不存在超过路径NP的严格正投资组合。

这意味着不存在严格正的投资组合，在有限的初始资本中不会在有限的时间内产生有限的财富。因此，我们没有经济意义上的套利。因此，可以利用装载定价的概念来分析市场价格，并为类似的新合同形成市场一致的价格。通过估计或假设一系列可能流动性较差或难以评估的合同的负荷程度，我们可以通过使用各自的负荷价格来评估保险合同组合，例如出于监管目的。基准风险最小化在上一节中，我们考虑了零息票债券情况下完全可复制或有权益的对冲。在无法深入探讨风险最小化这一重要问题的情况下，现在让我们简略地讨论不完全可复制债权的对冲。例如，我们使用风格化CAT债券的对冲，其特点是之前的贴现支付，独立于基准储蓄账户价值B。我们的首要目标是以最便宜的方式定价和对冲，并尽可能减少所谓的基准盈亏。我们通过应用基准风险最小化的概念来实现这一点；在Du和Platen（2016）中介绍。t=0时的对冲投资组合的价值等于最低价格VHT（0）=HVbST（0）；见（20）。通过It^o公式和（20），我们得到了基准连续型claimbHT=bVbHT（T）=HTbVbST（T）=HTbVbST（T）+ZTtHs的以下鞅表示-dbVbST（s）+ZTTBVST（s-)dHs，（23）Ht=E（Ht | Ft）和BVBHT（t）=HtbVbST（t）=E（bHT | Ft）表示t∈ [0，T]。这里我们有，由（22）和（17），dbVbST（t）=bVbST（t-)（1）- πt-)dbStbSt公司-= VbST（t-)（1）- πt-)dbSt，（24），其中πtgiven在（22）中表示投资于NP的财富份额，用于对冲最小债券VbSTat时间t∈ [0，T]。

保持δt=Ht-VbST（t-)（1）- πt-)根据Du和Platen（2016），由于（23）和（24），t时的基准损益等于Bcbhtt=Bvbhtt（t）-Ztδs-DBS公司-bVbHT（0）=ZtbVbST（s-)国土安全部。（25）根据基准风险最小化要求；参见Du和Platen（2016），认为Bcbhtis a localmartingale，与所有基准交易财富正交。特别是，它必须是正交的。其具有基准主安全账户的产品需要满足SDE的零漂移。从这个意义上讲，通过基准风险最小化，基准盈亏流程的影响最小化；更多信息请参见Du和Platen（2016）。VbHT（0）=NE（bHT | F）是t=0时储蓄账户中持有δ单位的对冲所需的初始金额。单元数δ*t=bVbHT（t）- 然后在时间t将δtbSt（26）保持在NP中∈ [0，T]。我们从（24）、（25）和（26）中注意到δ*t=BCBHT等于基准盈亏SBCBHTT。这强调了这样一个事实，即我们在这里没有针对CAT债券的自我融资对冲投资组合，我们可以解释δ*tas在到期日T交付基准或有负债所需的NP额外持有量。当我们将贴现、不可对冲索赔的经典风险中性混合策略与基准风险最小化方法进行比较时，另一个有趣的事实浮出水面。经典的风险中性对冲；参见Schweizer（2000）或M¨oller（2001），在合同开始时收取风险中性价格，并将该金额投资于储蓄账户直至到期。不断发展的信息在这里被忽略，直到成熟。在（25）中，我们看到关于索赔的不可对冲部分的演化信息（此处由鞅Ht封装）被考虑在内。

在实践中，保险公司会考虑到有关灾难的不断变化的信息，例如在严重灾难发生后筹集额外资金。经典的风险最小化忽略了信息的处理，而基准风险最小化则以自然的方式将其纳入其中。通过上述套期保值策略，我们确定了成本最低的套期保值和最低的基准盈亏波动，平均提供目标基准持续索赔。对于一家保险公司的大量合同，其各自合同产生的（充分）独立、基准盈亏数量不断增加，可以看出，根据大数定律，基准盈亏总额几乎肯定会归零；参见Du和Platen（2016）。从这个意义上讲，存在渐进的无剩余、不可忽视的风险。然后以最便宜的方式对冲未定权益，并通过分散逐渐消除不可对冲的不确定性。我们将在下一节中讨论如何将其推广到包含加载定价。9、负荷下风险最小化拟定的负荷定价允许CAT债券发行人系统性地要求高于最低价格的价格。

在竞争激烈的市场中，负荷程度来自于市场价格，这种市场价格平衡了保险公司在与其他保险公司竞争中吸引客户的需要，以及建立和维持资本储备以避免因暴露于未对冲风险而导致的破产的需要。我们已经强调，必须适当选择负荷度过程，以避免经济上有意义的套利，并指出理论上存在可能的负荷度过程。另一方面，出于经济原因，人们预计，在竞争市场中，类似产品的价格往往会得到类似的加载程度，这暗示着一系列类似产品可能存在类似的加载程度。CAT债券发行人可以将通过高于最低价格的加载价格收到的额外金额投资于资本公积。该资本储备的总和位于平均交付保险公司账簿中的目标基准支付所需的最低价格之和之上。上述基准风险最小化对冲策略将所有额外资金投资于NP。因此，在负载下执行风险最小化时，我们建议资本准备金也应投资于NP，这有利于公司准备金的长期增长。基准盈亏也应该是本地鞅，与基准交易财富正交，就像基准风险最小化下的情况一样。装货价格流程应与前几节中讨论的相同。从收取装货价格中收集和累积的资本准备金代表了防止保险公司破产所需的资金。

通过执行这种类型的装载风险最小化，可以最大限度地减少基准利润和损失的波动，以最小的可能费用对冲或有债权的可对冲部分，并始终收取相应的装载价格。由保险人发行的合同的基准利润和损失的多样化逐渐消除了不可对冲的不确定性，这一直是一种谨慎的策略。拟议的负载下风险最小化所做的是使保险公司的投资和风险管理过程更加严格，这是一种直观的、经验丰富的过程。当前的做法和监管机构可能会建议采取略有不同的策略，尤其是要求资本储备在固定的国际货币体系（即储蓄账户）中持有，从而可能导致越来越多的问题的策略，在许多国家，储蓄账户目前的回报率非常低甚至为负。我们的装载定价概念及其对冲策略允许创建保险产品，为被保险人提供更高的投资回报，并为保险人提供比经典假设下更便宜的对冲策略。非常重要的是，资本储备投资于长期表现最佳的NP投资组合，而不是储蓄账户。与基准风险最小化类似，当使用我们在第4节中建立的加载价格过程时，现在让我们分析第5节至第8节风格化CAT债券的基准盈亏。

关键问题是，如何在通过领先程度过程定价时对冲这种风格化的CAT债券，从而使基准盈亏表现出最小的波动。对于给定的基准或有索赔，在确定的到期日交付，并使用负荷度过程LbHT（这是一个与RBHT正交的局部鞅）定价-bVbHT），我们假设基准装货价格过程bbbhtg由（6）驱动，并用δL表示，1t时间t持有的储蓄账户单位数∈ [0，T]在各自的战略中，使基准盈亏成为一个局部鞅，与基准贸易财富正交。装载风险最小化下的相应基准利润和损失由Bcbht=bBbHT（t）公式确定-ZtδL，1s-DBS公司-bVbHT（0），用于t∈ [0，T]，我们现在允许一些积极的初始基准利润和损失SBCBHT=bBbHT（0）-bVbHT（0）≥ 使用方程式（6），结合It^o公式和之前的符号和所涉及数量的性质，我们得出Bcbhtt=Bcbhtt+Zt（1- LbHTs公司-) dbVbHT（s）+ZtLbHTs-dbRbHT（s）+ZtbRbHT（s）-) -bVbHT（s）-)dLbHTs-ZtδL，1s-dbSs=bCbHT+Zt（1）- LbHTs公司-)Hs公司-VbST（s）-)（1）- πs-) + LbHTs公司-Hs公司-- δL，1s-dbSs+ZtLbHTs公司-bSs公司-+ （1）- LbHTs公司-)bVbST（s）-)dHs+ZtbRbHT（s）-) -bVbHT（s）-)dLbHTs。显然，bcbhts是一个局部鞅，因为所有积分器都是局部鞅。通过首先将储蓄账户中持有的单位数量设置为δL，1t=Ht，可以将其波动最小化（1）- LbHTt）VbST（t）（1- πt）+LbHTt（27）其次，使加载程度过程为常数。

需要注意的是，避免波动的负荷程度消除了负荷价格过程中可消除的不确定性，我们总结如下：推论7：恒定负荷程度过程加上选择（27）产生了负荷风险最小化下基准盈亏的“最小”波动，其形式为BCBHTT=bCbHT+ZtLbHTs公司-bSs公司-+ （1）- LbHTs公司-)bVbST（s）-)国土安全部-对于t∈ [0，T]。这一见解开启了对市场最有可能为一系列类似保险产品形成的一些经验负荷程度的搜索。在G¨urtler等人（2016年）中，经验表明，在金融危机和自然灾害之后，通常会出现国债价格（负荷）的一些上涨。我们的装载定价能够始终如一地对此类观测进行建模，这将在接下来的工作中描述。在那里，我们将为零息票债券、各种CAT债券和其他保险类型合同的加载程度提供经验证据。ReferencesReferencesK。Aase。巨灾保险期货和利差的均衡模型。《关于风险和保险理论的日内瓦论文》，24（1）：69–961999年。K、 Aase。巨灾保险期货和价差定价的马尔可夫模型。《风险与保险杂志》，68（1）：25–492001年。H、 Albrecher、J.Hartinger和R.F.Tichy。CAT债券定价的QMC技术。蒙特卡罗方法与应用，10（3-4）：197–2112004。G、 Bakshi和D.Madan。强调巨灾损失选项的平均费率索赔。《金融与定量分析杂志》，37（1）：93–1152002。J、 Baldeaux、M.Grasselli和E.Platen。基准法下的货币衍生品定价。《银行和金融杂志》，53:34–482015。于。Baryshnikov、A.Mayo和D.Taylor。CAT债券的定价。工作文件，1998年。F、 比亚基尼。评估混合产品：金融和保险市场之间的相互作用。

在关于随机分析、随机场和应用VII的研讨会上，第285–304页。Springer，2013年。F、 Biagini和A.Cretarola。可违约市场的本地风险最小化。数学金融，19（4）：669–6892009。F、 Biagini、Y.Bregman和T.Meyer Brandis。基于损失指数和重新估值的巨灾保险期权定价。《保险：数学与经济学》，43（2）：214–2222008。F、 Biagini、A.Cretarola和E.Platen。基准方法下的局部风险最小化。数学与金融经济学，8（2）：109–1342014。A、 布劳恩。巨灾掉期定价：未定权益法。《保险：数学与经济学》，49（3）：520–5362011。M、 Buchwalder、H.B–uhlmann、M.Merz和M.W–uthrich。非人寿保险的估值组合。《斯堪的纳维亚学报》，2007（2）：108–125，2007年。H、 伯尔曼。《风险理论中的数学方法》，第172卷。斯普林格，1970年。H、 伯尔曼。一般经济溢价原则。ASTIN公告，14（1）：13–22，1984年。H、 伯尔曼。自上而下的保费计算。ASTIN公告，15（2）：89–1011985年。H、 B–uhlmann和A.Gisler。可信度理论及其应用课程。斯普林格，2005年。H、 B–uhlmann和E.压板。保险和金融的离散时间基准方法。ASTIN公告，33（2）：153–172，2003年。K、 Burnecki和G.Kukla。零息票和息票CAT债券的定价。《数学应用》，30（3）：315–3242003。E、 Canabarro、M.Finkemeier、R.R.Anderson和F.Bendimerad。分析保险相关证券。《风险金融杂志》，1（2）：49–752000年。P、 Carayannopoulos和M.F.Perez。通过灾难债券实现多元化：次贷金融危机的教训。《关于风险和保险问题及实践的日内瓦文件》，40（1）：1-282015。C、 C.Chang、S.-K.Lin和M.-T.Yu。利用马尔可夫调制泊松过程对巨灾股票看跌期权进行估值。