线性信用风险模型

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英文标题：
《Linear Credit Risk Models》
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作者：
Damien Ackerer and Damir Filipovi\\\'c
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We introduce a novel class of credit risk models in which the drift of the survival process of a firm is a linear function of the factors. The prices of defaultable bonds and credit default swaps (CDS) are linear-rational in the factors. The price of a CDS option can be uniformly approximated by polynomials in the factors. Multi-name models can produce simultaneous defaults, generate positively as well as negatively correlated default intensities, and accommodate stochastic interest rates. A calibration study illustrates the versatility of these models by fitting CDS spread time series. A numerical analysis validates the efficiency of the option price approximation method.
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中文摘要：
我们引入了一类新的信用风险模型，其中企业生存过程的漂移是各因素的线性函数。可违约债券和信用违约掉期（CDS）的价格在因素上是线性理性的。CDS期权的价格可以用因子中的多项式统一近似。多名称模型可以同时产生违约，产生正相关和负相关的违约强度，并适应随机利率。校准研究通过拟合CDS扩散时间序列说明了这些模型的通用性。数值分析验证了期权价格近似方法的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Linear_Credit_Risk_Models.pdf (970.7 KB)

2022-5-27 13:55:04 上传

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关键词：风险模型 信用风险 Quantitative Mathematical SIMULTANEOUS

线性信用风险模型*Damien Ackerer+Damir Filipovi'c'2019年7月6日，即将出版的《金融与随机》（Finance and StochasticsAbstractWe）介绍了一类新的信用风险模型，其中企业生存过程的漂移是因素的线性函数。可违约债券和信用违约掉期（CDS）的价格在因素上是线性理性的。CDS期权的价格可以通过因子中的多项式统一近似。多名称模型可以同时产生违约，产生正相关和负相关的违约强度，并适应随机利率。校准研究通过拟合CDS扩散时间序列说明了这些模型的多功能性。数值分析验证了期权价格近似方法的有效性。关键词：信用违约掉期、信用衍生品、信用风险、多项式模型、生存过程MSC（2010）：91B25、91B70、91G20、91G40、91G60JEL分类：C51、G12、G13*作者感谢Agostino Capponi、David Lando、Martin Larsson、JongsubLee、Andrea Pallavicini、Sander Willems和两位匿名裁判，以及2015年洛桑AMaMeFand Swissquote会议、2016年纽约Bacelier世界大会、2016年奥斯陆全民教育年会、2016年AFFI巴黎12月会议、，以及2017年CIB金融动态模型研讨会。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE），导致这些结果的研究获得了欧洲研究理事会的资助+瑞士银行。电子邮件：damien。ackerer@swissquote.chEPFL和瑞士金融研究所。电子邮件：damir。filipovic@ep佛罗里达州。ch1简介我们为信贷风险的期限结构引入了一类新的灵活且易于处理的简化模型，即线性信贷风险模型。

我们直接指定企业的生存过程，即给定经济背景信息的条件生存概率。具体而言，我们假设一个具有线性漂移的多元因子过程，并让生存过程的漂移在因子中呈线性。可违约债券和信用违约掉期（CDS）的价格由因子中的线性有理函数以闭合形式给出。通过线性分析，指数CDS的价格（CDISs）也存在相同的结果。隐含违约强度是各因素的线性有理函数。相反，违约强度模型中CDS的价格是因子过程中指数函数的总和，其系数通常由非闭合形式的非线性常微分方程的解给出。此外，线性信用风险模型提供了新的可处理特性，例如具有负相关违约强度的多名称模型。在线性框架内，我们定义了线性超立方体（LHC）模型，它是一个单名模型。因子过程与二次微分函数不同，因此它采用一个高周长的值，其边的长度由生存过程给出。二次微分函数是凹函数和双单调函数。此功能允许因子在低值和高值之间实际跳跃。这有利于期限结构变化的持续性和可能性。这些因素的波动性参数并未纳入债券和CDS定价公式，但它们会影响CDS的波动性，从而影响CDS期权价格。这可能有助于信用价差和期权价格时间序列的联合校准。我们详细讨论了单因素LHC模型，并将其与单因素a ffne违约强度模型进行了比较。

我们提供了一个可识别的规范代表和风险规格的市场价格，以保持因素的线性漂移。我们提出了一种信用风险分析欧式期权的价格近似方法，该方法利用了状态空间的紧性和因子过程条件矩的封闭形式。首先，根据Stone–Weierstrass定理，紧致状态空间上的任何连续Payoff函数都可以用多项式逼近到任何给定的精度水平。其次，因子中任何多项式的条件期望都是失效因子值中的多项式。因此，CDS期权的价格可以用因子中的多项式统一近似。该方法也适用于信用评估调整的计算。我们通过让生存过程是独立LHC模型的线性和多项式组合来构建多名称模型。债券和CDS价格仍然是线性理性的，但相对于扩展因子表示。这些直接扩展可以很容易地适应新因素和新公司的加入。具有类似特征的随机短期利率模型可以引入生存过程，同时保持设置的可跟踪性。同时，可以通过在生存过程中引入公共跳跃过程或随机时钟来生成默认值。我们对LHC模型进行了经验和数值分析。假设存在节约型漂移结构，我们将二因素和三因素LHC模型应用于投资级和高收益企业上长达十年的每周CDS利差时间序列。三因素模型能够很好地捕捉复杂的期限结构动态，其表现明显优于双因素模型。

我们通过近似不同货币的CDS期权的价格来说明期权定价方法的数值效率。相对低阶多项式有助于获得货币期权的精确近似值。缺钱选项通常需要更高的订单。我们推导了同质投资组合中CDI期权和份额的定价公式，以说明其价格也可以用类似的技术近似。一般来说，CDI期权和份额的定价需要操纵可能大维度的多元多项式基。在实践中，计算效率高的多名称信用衍生产品定价需要使用本文未研究的特殊算法。我们现在回顾一些相关文献。我们的方法遵循了（Elliott、Jeanblanc和Yor 2000）或（Bielecki和Rutkowski 2002）中所述的违约时间的标准双随机结构。（Lando 1998）和（Duffee和Singleton 1999）的早期贡献已经准备好使用一个单一因素过程。相比之下，大型强子对撞机模型中的因子过程是一个严格的非有效多项式微分，其一般性质在（Filipovi\'c和Larsson 2016）中进行了研究。（Hull and White 1987）和（Ackerer、Filipovi\'c和Pulido 2018）中开发的随机波动率模型是非多项式模型的另外两个示例。大型强子对撞机模型中的因子具有紧凑的支撑，并且可以表现出类似于（Gourieroux和Jasiak 2006）引入的多变量Jacobiprocess的跳跃式动力学。我们的方法与（？）的线性生成过程有一些相似之处以及Filipovi\'c、Larsson和Trolle2017的线性理性模型。这些模型还利用了具有线性漂移的因素过程的可跟踪性，但侧重于不可违约资产的定价。

据我们所知，我们是第一个直接模拟具有线性漂移特征的企业生存过程的公司。CDS合约上的期权是复杂的衍生品，价格也很复杂。（Bielecki、Jeanblanc和Rutkowski 2006年）和（Bielecki、Jeanblanc、Rutkowski等，2008年）讨论了一般风险过程框架中CDS期权的定价和对冲，并在（Bielecki、Jeanblanc和Rutkowski 2011年）中专门讨论了平方根扩散因子过程。最近（Brigo和El Bachir，2010年）在（Brigoand Alfonsi，2005年）引入的移动平方根跳跃扩散违约强度模型的背景下，开发了CDS期权价格的半解析表达式。另一部分文献集中在LIBOR市场模型的精神下开发市场模型。我们请感兴趣的读者参考（Sch¨onbucher 2000），（Hull and White 2003），（Sch¨onbucher 2004），（Jamshidian 2004）和（Brigo and Morini 2005）。然后，通过假设基础CDS价差在生存测度下遵循几何布朗运动，得到了CDS期权价格的Black-Scholes式公式。尽管这种方法更容易处理，但如果不是不可能的话，很难对暴露于同一信用风险源的多个工具进行统一定价。（Di Graziano和Rogers，2009）引入了一个框架，在该框架中，他们获得了与我们的CDS价格类似的封闭式表达式，但假设固定违约强度由连续时间有限状态不可约马尔可夫链驱动。违约风险建模的另一个重要方法是使用从属关系来建模累积风险过程。特别表明，时间非齐次模型可以很好地再现CDIS部分价格。

有关这些模型的更多详细信息，请参阅（Kokholm和Nicolato 2010），（Sun、Mendoza Arriaga和Linetsky 2017），以及其中的参考文献。彭和寇（2008）基于模拟的工作表明，具有系统性和特殊风险因素的风险率模型可以同时适用于CDS和CDI部分，因此证实了具有常见风险因素的自下而上模型可以产生准确且完全一致的风险管理框架。定价多名称信贷衍生品的一个可行替代方案是使用copula函数对违约之间的依赖性进行建模，例如（Li 2000），（Laurent and Gregory 2005）和（Ackerer and Vatter 2017）。然而，这些模型在构造上是静态的，需要重复校准，并且通常在与随机生存过程相结合时变得难以处理，如（Sch¨onbucher和Schubert 2001）。用幂级数近似期权价格的思想可以追溯到（Jarrow and Rudd 1982）。然而，以前的大多数文献都集中于近似基础过程的传递密度函数，例如（Corrado和Su 1996）和（Filipovi\'c、Mayerhofer和Schneider 2013）。相比之下，我们通过apolynomial直接近似Payoff函数。本文其余部分的结构如下。第2节介绍了线性信贷风险框架以及通用定价公式。第3节描述了单名称LHC模型。LHC模型的数值和经验分析见第4节。第5节讨论了多名称模型以及随机利率模型。第6节结束。

附录中收集了这些价格，以及关于保持因子线性漂移的风险规格市场价格和二维切比雪文插值的一些额外结果。2线性框架我们引入了线性信用风险模型框架，推导出了可违约债券价格和信用违约掉期利差的闭合表达式。我们还讨论了信用指数、信用违约掉期期权和信用估值调整的定价。2.1生存过程规范我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 Q）配备右侧连续过滤F=（Ft）t≥0表示经济背景信息，其中Q是风险中性定价度量。我们考虑N个企业，让Sibe来描述企业i的生存过程。这是一个正确的连续F适应且非递增的正过程，Si=1。让你，UNbe相互独立的标准独立于F的统一随机变量∞. 对于每个表i，我们定义了随机默认时间τi=inf{t≥ 0：坐下≤ Ui}，如果集合为空，则为完整。让（击中）t≥0是指标过程生成的过滤，只要在时间t之前我没有违约，则为1，之后为0，命中={τi>t}fort≥ 默认时间τiis是放大过滤的停止时间（Ft∨命中）t≥0.在q[τi>t | F的意义上，它是F-双随机的∞] = Q[座位>Ui | F∞] = 坐过滤（Gt）t≥0=（英尺∨Ht公司∨···∨HNt）t≥0包含有关企业违约发生的所有信息，以及经济背景信息。

此后，只要没有歧义，我们将省略公司的索引XI，并提及任何N公司。在线性信用风险模型中，企业的生存过程由t=a>Yt，t定义≥ 0，（1）对于某些特定参数a∈ Rn+，以及一些公因子过程（Y，X），取数值inRn+×rm，形式为Dyt=（c Yt+γXt）dt+dMYt（2）dXt=（b Yt+βXt）dt+dMXt（3），对于某些c∈ Rn×n，b∈ Rm×n，γ∈ Rn×m，β∈ Rm×m，m维F-鞅MX，n维F-鞅MY。过程S为正且不增加，我们必然有其鞅分量MS=a>MYis的有限变化，因此是完全不连续的，参见（Jacod和Shiryaev 2013，Lemma I.4.14），并且-St公司-< MSt公司≤ 0表示所有t≥ 0因为St=MSt。这一观察结果促使因子过程分解为具有有限变化的成分X和成分Y。虽然我们目前没有进一步明确因子过程的动力学，但重要的是要强调，应满足额外的条件，以确保S是一个有效的生存过程。备注2.1在实践中，我们将考虑Y=1的成分非递增过程Y。然后，可以通过选择任意向量a轻松构建生存过程∈ Rn+使得a>1=1。过程（Y，X）的线性漂移意味着（Yu，Xu）的Ft条件期望是形式的线性余旭Fti=eA（u-t）YtXt公司, t型≤ u、 （4）其中（m+n）×（m+n）-矩阵A由A定义=cγbβ. （5） 备注2.2如果S是绝对连续的，那么对于所有t，a>dMYt=0≥ 0，对应的默认强度λ，由关系式St=e得出-Rtλsds是λt=-a> （c Yt+γXt）St。在这个框架中，默认时间是相关的，因为生存过程是由共同因素驱动的。

同时违约是可能的，可能是由Y的鞅分量引起的，它迫使生存过程同时向下跳。此外，与一个有效的违约强度模型相反，线性信用风险框架允许违约强度之间存在负相关性，如以下程式化示例所示。例2.3考虑因子过程（Y，X），取DYT定义的R+×R值=-100个-1.年初至今+-1.Xt公司dtdXt=-κXtdt+σp（e-t型- Xt）（e-t+Xt）dwt对于某些κ> > 0，σ>0，X∈ [-1，1]和F-适应的单变量布朗运动Wt。过程X取区间内的值[-e-t、 e类-t] 在时间t时，让N=2个生存过程由St=y1和St=y2t定义，对于所有t≥ 0，因此两个公司的隐含违约强度由λt给出=1+XtY1t和λt=1.-XtY2t, t型≥ 0。这导致dhλ，λit≤ 0和dhλ，λit<0，正概率，和λt，λt≤ . 此外，默认强度λ和λ均恢复为/2、附录A.2.2可违约债券中给出了这些声明的证明。我们考虑名义金额等于1且面临参考公司信用风险的证券。我们假设一个恒定的无风险利率等于r，因此到期时间为t且名义金额为1的无风险零息票债券的时间t价格由e给出-r（tM-t） 。以下结果给出了到期时回收率不变的可违约债券价格的闭合表达式。命题2.4到期时间为t且回收率为δ的可违约零息票债券的时间t价格∈ [0，1]到期时isBM（t，tM）=Ehe-r（tM-t）{τ>tM}+δ{τ≤tM}Gti=（1- δ） BZ（t，tM）+{τ>t}δe-r（tM-t） 式中，BZ（t，tM）=e-r（tM-t） E[{τ>tM}| Gt]表示到期时间为t且回收率为零的可违约零耦合债券的时间-时间价格。