隐含偏斜的稳健交易

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英文标题：
《Robust Trading of Implied Skew》
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作者：
Sergey Nadtochiy and Jan Obloj
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we present a method for constructing a (static) portfolio of co-maturing European options whose price sign is determined by the skewness level of the associated implied volatility. This property holds regardless of the validity of a specific model - i.e. the method is robust. The strategy is given explicitly and depends only on beliefs about the future values of implied skewness, which is an observable market indicator. As such, our method allows to use the existing statistical tools to formulate the beliefs, providing a practical interpretation of the more abstract mathematical setting, in which the belies are understood as a family of probability measures. One of the applications of our results is a method for trading views on the future changes in implied skew, largely independently of other market factors. Another application provides a concrete improvement of the existing model-independent super- and sub- replication strategies for barrier options, which exploits a given set of beliefs on the implied skew. Our theoretical results are tested empirically, using the historical prices of SP500 options.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一种构造（静态）共同到期欧洲期权组合的方法，其价格符号由相关隐含波动率的偏度水平决定。无论特定模型的有效性如何，该属性都适用，即该方法是稳健的。该策略是明确给出的，仅取决于对隐含偏度未来值的信念，这是一个可观察的市场指标。因此，我们的方法允许使用现有的统计工具来制定信念，为更抽象的数学环境提供了一种实用的解释，其中信念被理解为一系列概率度量。我们的结果的一个应用是，在很大程度上独立于其他市场因素，对隐含偏斜的未来变化进行交易观点的方法。另一个应用程序对现有的与模型无关的障碍选项超复制和子复制策略进行了具体改进，该策略利用了一组给定的隐含偏差信念。我们的理论结果通过SP500期权的历史价格进行了实证检验。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Quantitative Applications Constructing mathematica

隐含SkewSergey Nadtochiy的强劲交易*和Jan Obl''oj+当前版本：2016年11月16日摘要本文提出了一种构建（静态）共同到期欧洲期权组合的方法，其价格符号由相关隐含波动率的偏度水平决定。该属性不考虑特定模型的有效性，即该方法是稳健的。该策略是明确给出的，只取决于一个人对隐含偏度未来价值的信念，这是一个可观察的市场指标。因此，我们的方法允许使用现有的统计工具来制定信念，为更抽象的数学环境提供了一种实用的解释，在这种数学环境中，信念被理解为一系列概率测度。本文建立的结果的一个应用是，在很大程度上独立于其他市场因素，对隐含偏斜的未来变化发表看法的方法。我们的结果的另一个应用提供了对[10]中提出的障碍选项的模型无关的超复制和子复制策略的具体改进，该策略利用了隐含基夫的给定信念。我们的理论结果通过标准普尔500指数期权的历史价格进行了实证检验。1引言在本文中，我们提出了一种构造（静态）共同到期欧式期权组合的方法，其价格符号由相关隐含波动率的偏度水平决定。我们将隐含基度（或隐含偏斜）定义为场外（OTM）看涨期权的隐含波动率与饱和OTM看跌期权的隐含波动率之比。构建目标投资组合时，无论隐含波动率的确切值如何（例如。

无论整体波动水平如何）。根据对这个术语实际含义的解释，现有的关于隐含偏斜的文献可分为三大类。隐含偏差的第一种解释是衡量未来固定时间（即到期日）基础价值风险中性分布的不对称性。这一指标是通过相关分布的前三个时刻确定的，而每一个时刻又可以计算为相应的（静态）欧洲期权组合（具有相同的到期日和多次行使）的价格。CBOE在构建其倾斜指数时采用了这种定义，其实证表现在[3]中进行了分析。然而，值得一提的是，CBOE倾斜指数并不对应于可交易投资组合的价格：其价值是由几个欧洲期权静态投资组合价格的非线性函数给出的。第二种方法是通过基础收益率与其（现货）波动率收益率之间的相关性来衡量隐含偏差。事实上，在经典随机波动率模型中，短期货币隐含波动率的导数*密歇根大学数学系+牛津大学数学研究所。该研究获得了欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第335421号赠款协议提供的资金。作者还感谢牛津大学奥克斯福德曼定量金融研究所和圣约翰学院的支持。log moneyness变量由上述相关性确定。这种关系可能无法在实践中保持，导致潜在的交易机会：例如，[19]提出了一种从这些变化中受益的交易策略。

最后，本文采用了隐含偏斜的另一种解释：即隐含偏斜定义为OTM隐含波动率（看跌期权）的比率。bothamong从业者和学者（参见[4]、[11]）普遍采用的方法是，通过在“风险逆转”投资组合中打开多头或空头头寸，以从此类隐含的变化中获利：即静态投资组合，包括OTM看跌期权中的平仓和共同到期的OTM看涨期权中的空头头寸。这种组合可以与基础中的静态位置相结合。然后，适当选择这三种工具的权重，可以确保投资组合的价格对潜在波动率变化和隐含波动率表面（或其对数）的平行变化不敏感（即在有限时间内渐近）。同时，此类投资组合的价格在隐含偏斜中是局部（在很短的时间段内）单调的。请注意，这样一个投资组合可以为两种选择中的任意一种构建：一种用于OTM看涨期权，另一种用于OTM看跌期权。在本文中，我们展示了如何构造一个静态风险反向投资组合，只要隐含偏差保持在选定的下限（上限）之上（之下），其价格符号对隐含波动率曲面的任意变化不敏感。投资组合的这些属性在很小的时间段内有效，但不是很小。事实证明，为了实现风险逆转投资组合的预期属性，除了确定两个OTM期权的权重外，还必须限制两次选择。

特别是，给定任意的OTM put（调用）罢工，我们的方法将显示如何选择适当的OTM调用（put）罢工。本文给出的结果不需要对基础或隐含波动率表面的分布进行任何假设。因此，他们在金融数学中给出了稳健或独立于模型的方法的明确示例。许多研究人员（参见[30]的开创性工作，以及例如[28]的广泛讨论）一直对期权价格的特性感兴趣，这些特性独立于任何模型规范。特别是，许多这样的工作旨在结合现有的市场约束或信息，以便在没有具体假设的情况下获得有趣的房地产。这些约束的主要例子是标的证券上流动交易期权的市场价格。由此产生的属性可能包括对非流动性期权（如障碍期权）价格的限制，以及相关的次级和超级复制策略：参见例如【9】、【27】、【10】、【20】、【21】、【6】、【25】、【1】、【12】。上述关于模型独立定价和合规性的工作虽然具有根本利益，但由于其产生的无套利价格的间隔通常很宽，因此受到了缺乏实际相关性的批评。因此，即使独立于模型的hedgingstrategies被证明与经典的delta-vega对冲具有竞争性，参见[33]，开发能够在独立于模型和特定于模型的设置之间插值的健壮框架也是至关重要的。解决这一问题的经典概率方法是考虑模型族（即概率测度），从单个模型到所有可能模型的类别可能有所不同：参见例如[24]、[7]。

另一种方法是不关注任何概率模型，而是关注观测数量的可能路径集（例如金融资产的价格）。后者可能在很大（所有路径）和很小（某些固定模型的支持）路径集之间变化。这里的关键观点是，应使用市场可观察和有意义的数量确定可行的路径。这应该允许人们将现有的统计方法与专家观点一起应用于时间序列数据，以限制路径的范围：例如参见[29]、[2]、[31、32]、[35]。在此，我们考虑一个框架，其中一套可交易工具包括基础工具和一套欧洲期权。这之前在所谓的市场模型的研究中已经做过，参见[34]、[14]、[16]、[15]、[13]。虽然这些工作侧重于固定的概率设置，但在此，我们追求稳健的方法。我们没有假设任何特定的概率特征，而是规定了资产价格路径的约束条件。更具体地说，我们考虑对隐含偏斜的信念，因为后者是一个市场可观察到的利益量，可以合理预期许多从业者对其未来行为有看法。由此产生的理论框架非常简洁：它允许在完全无模型和（经典）模型特定设置之间进行连续插值。如上所述，本文建立的结果的一个应用是，在很大程度上独立于其他市场因素，对隐含偏斜的未来变化进行交易的方法。我们的结果的另一个应用提供了对[10]中提出的障碍选项的与模型无关的超复制和子复制策略的具体改进，该策略利用了一组关于隐含偏斜的给定信念。

我们的理论结果得到了实证检验：在此，我们使用标准普尔500指数期权的历史价格来实施拟议的风险逆转投资组合，并验证其价格具有所需的属性。最后，为了实现我们的目标，我们引入并分析了一系列新的模型，称为分段常数局部方差Gamma模型（相关结果请参见[18]）。事实证明，这是相当了不起的。首先，它们允许明确计算欧洲期权的价格和短期隐含波动率。其次，这些模型考虑了它们产生的隐含波动率的偏差，这足够灵活，可以提供良好的数据，以及经验观察到的隐含偏差的上限和下限。第三，该家族的任何模型都有一个明确的静态对冲策略，通过弱反射原则构建（参见[17]、[5]）。我们认为，这些结果具有独立的意义。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们讨论了一个示例，该示例为拟议的交易策略提供了依据，并介绍了它们的一个应用程序。第3节形式化了关于隐含偏度的信念通知。第4节介绍了为给定信念构建所需投资组合所需的辅助模型类。这些投资组合在第5节中构建，其中还展示了如何使用它们来交易隐含偏差。第6节介绍了拟议投资组合的另一个应用，涉及障碍期权的超复制和子复制。第7节包含实证分析。最后，我们在第8.2节案例研究中总结了我们的结果：向上和向外的超级对冲我们从一个激励示例开始，该示例说明了如何在实践中使用对隐含偏度的信念。

我们考虑一个交易员，他想用支付（K）对冲向上卖出（UOP）期权的空头头寸- ST）+{HU>T}，（1）其中T>0，0<K∨ S<U且HU=inf{t∈ [0，T]：St≥ U}。我们假设交易者不想对风险资产的动态做出任何特定的概率假设，但相信资产价格是连续的，并且隐含偏差的符号将随着时间的推移保持不变。我们在这里展示了如何利用这些信念来改进[10]的模式独立方法。为简单起见，假设只有两个行距K<U和K=U/K>U的欧式期权在任何时候都是流动交易的，并将其在时间t的Black-Scholes隐含波动率表示为∑mktt（Ki，t-t） ，i=1，2。[10]中提出的model–independentsuper复制策略基于以下不等式：（K- ST）+{HU>T}≤U- KU公司- K（K- ST）+-K- KU公司- K（ST∧胡- U） ，（2）只要SHU=U，这是可以满足的。第6节将更详细地讨论这一策略。（2）右侧的第一项是（U）中的静态位置- K） /（U- K） 行使期和到期日为T的看跌期权股份。（2）中RHS上的第二项是（K）中的静态位置-K） /（U-K） a ForwardStreak的股票在U到期，到期日为T，在HU时清算。这是免费的，因为SHU=U。制定这一战略所需的初始资本是isU- KU公司- KPmkt（K，T）-K- KU公司- K（S）- U） 。从（2）很容易看出，如果基础路径是连续的，上述策略超级复制了UOP期权的收益。因此，它允许人们对冲在Uoption中的空头头寸风险。现在让我们通过指定一些关于未来隐含偏斜的较弱信念来构建此策略的改进。

也就是说，我们假设交易者相信，只要St=U，t≤ 市场隐含效用将呈现非负偏差：∑mktt（K，T- t）≥ ∑mktt（K，T- t） 。（3） 回想一下Black-Scholes模型中众所周知的静态套期保值公式（参考文献[8]）意味着：Pbs（U，K，T- t、 σ）=KUCbs（U，U/K=K，t- t、 σ），σ≥ 0，（4）其中Pbs、CBS表示Black-Scholes模型中的看跌期权和看涨期权价格。将此与beliefsabove相结合，立即yieldsPmktt（K，T- t）-KUCmktt（K，T- t）≥ Pbst（K，T- t、 σt）-KUCbst（K，T- t、 σt）≥ 0，它必须适用于St=U的任何t，我们取其中，例如σt=（∑mktt（K，t-t） +∑mktt（K，t-t） ）/2。然后，对【10】中提出的超级复制策略的改进包括卖空，最初是额外的（U-K） K（U-K） 共同到期的看涨期权在K点买入，并在HU点平仓（如果HU<T）。如果在时间T之前基础未触及U（即HU≥ T），则额外通话的回报为零。如果基础在T之前达到U（即HU<T），那么在HU时，超级复制产品组合已接近a利润：U- KU公司- KPmktHU（K，T- HU）-（U）- K） K（U- K） UCmktt（K，T- HU）≥ 很明显，由于我们做空看涨期权，新策略的初始价值小于原始策略的初始资本。该策略利用信念（3）改进了[10]的模型独立方法。在我看来，由于两个因素，显式结构是可能的。首先，我们可以确定（3）中信念的边界情况，它在某种意义上“支配”了所有其他一致的市场情景。其次，该边界情况对应于一个隐含波动率曲面，即Black-Scholes模型，该模型允许显式静态对冲公式（4）。这两个观察结果是至关重要的。

我们将在下文中看到，它们可以扩展到允许更普遍的信念，特别是导致第6节中描述的更普遍的超级复制算法。为了开发一种扩展上述案例研究的通用方法，我们需要为基础描述一个方便、灵活的鞅模型族，一方面，它可以生成一般信念的支配面，另一方面，根据（4）的精神，允许显式静态Hedging公式。我们在第4节中开发了这样一系列模型。最后，我们强调，（3）以及超边缘策略对于隐含波动率的缩放是不变的，并且只依赖于隐含偏斜。我们在本文后面的部分中说明，通常会出现相同的现象：超级复制策略取决于支配曲面的偏度，但它对于该曲面的缩放是鲁棒的。因此，Uoption的超级复制策略就是交易隐含偏差的一个示例。3市场设置和隐含偏斜的信念3.1市场设置我们考虑由基础可交易资产组成的市场，其价格过程用（St）t表示≥0和一系列欧洲看涨期权和看跌期权≥ 2个可用罢工，K={K，…，KN}，具有任意到期日，其价格过程表示为{（Cmktt（Kj，T- t） ，Pmktt（Kj，t- t） ）t≥0}。即，在任何时间t≥ 0，标的证券可以以St的价格购买或出售任何数量，任何行使权和到期日T>T的欧洲看涨期权可以以Cmktt（Kj，T）的价格购买或出售任何数量-t） 或Pmktt（Kj，t-t） ，分别为。这些过程背后没有特定的概率模型。相反，我们直接处理它们的容许路径集。