美国选项的校准：对

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英文标题：
《Calibration to American Options: Numerical Investigation of the
  de-Americanization》
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作者：
Olena Burkovska, Maximilian Ga{\\ss}, Kathrin Glau, Mirco Mahlstedt,
  Wim Schoutens and Barbara Wohlmuth
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  American options are the reference instruments for the model calibration of a large and important class of single stocks. For this task, a fast and accurate pricing algorithm is indispensable. The literature mainly discusses pricing methods for American options that are based on Monte Carlo, tree and partial differential equation methods. We present an alternative approach that has become popular under the name de-Americanization in the financial industry. The method is easy to implement and enjoys fast run-times. Since it is based on ad hoc simplifications, however, theoretical results guaranteeing reliability are not available. To quantify the resulting methodological risk, we empirically test the performance of the de-Americanization method for calibration. We classify the scenarios in which de-Americanization performs very well. However, we also identify the cases where de-Americanization oversimplifies and can result in large errors.
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中文摘要：
美式期权是对一大类重要的单只股票进行模型校准的参考工具。对于这项任务，快速准确的定价算法是必不可少的。文献主要讨论了基于蒙特卡罗、树和偏微分方程方法的美式期权定价方法。我们提出了一种在金融业中以“去美国化”的名义流行的替代方法。该方法易于实现，运行速度快。然而，由于它基于特殊的简化，因此无法获得保证可靠性的理论结果。为了量化由此产生的方法学风险，我们对非美国化校准方法的性能进行了实证测试。我们对非美国化表现良好的情景进行了分类。然而，我们也发现了反美化过于简单化并可能导致较大错误的情况。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：Applications Quantitative Differential calibration Monte Carlo

美式期权的校准：德美化方法的数值研究Olena Burkovska、Kathrin Glau、Maximilian Gass、Mirco Mahlstedt、Wim Schoutens和Barbara WohlmuthNovember 2016年12月21日摘要美式期权是大型重要单只股票模型校准的参考工具。对于这项任务，快速准确的定价算法是必不可少的。文献主要讨论基于蒙特卡罗、树和偏微分方程方法的美式期权定价方法。我们提出了一种在金融业中以去美国化的名义流行的替代方法。该方法易于实现，运行速度快。然而，由于它基于特殊的简化，因此无法获得保证可靠性的理论结果。为了量化由此产生的方法学风险，我们对非美国化校准方法的性能进行了实证测试。我们对反美化表现良好的情景进行了分类。然而，我们也发现了反美化过于简单并可能导致较大错误的情况。关键词Samerican期权，校准，二叉树模型，CEV模型，Heston模型，Lévymodels，模型简化，变分不等式1简介交易最频繁的单只股票期权是美式的。一般而言，欧式期权存在多种（半）封闭定价公式。然而，对于美国期权，几乎不存在任何封闭的定价公式，高级模型下的定价依赖于计算昂贵的数值技术，如蒙特卡罗模拟或部分（积分）微分方法。1简介非美国化方法背后的动机是降低复杂性和计算成本。

一般来说，校准欧洲选项要比校准美国选项快得多。在金融行业，所谓的去美国化方法已成为市场标准：在校准过程开始之前，美国期权价格已转换为欧洲价格。这通常通过应用二叉树来实现。Carr和Wu（2010）也简要提到了该方法，他们描述了如何通过准确应用这种非美国化方案获得来自提供者期权计量的综合波动率数据。图1说明了德美化方法的方案。市场数据：美国期权价格（AmericanOption Pricesde e AmericanizedEuropeanOption PricesCalibratedModel ParametersCalibratedModel ParametersInomialTreesImplication calibration calibration图1非美国化方案：美国期权价格在校准过程开始之前转换为欧洲价格。我们通过将结果与直接校准美国选项进行比较，研究去美国化的影响。非美国化方法有三个吸引人的特点。它提供快速运行时间，易于实施，并且可以灵活地集成到现有的定价和校准工具箱中。一个缺点是没有理论上的误差控制。因此，对该方法的准确性、性能和由此产生的方法学风险进行实证研究非常重要。为了对这些因素进行深入研究，我们考虑了突出的模型并确定了相关场景，以进行广泛的数值试验。我们将CEV模型作为局部波动率模型的一个例子，将赫斯顿模型作为随机波动率模型，将默顿模型作为跳跃扩散模型。对于所有这些模型，我们采用有限元解算器作为美式期权定价的基准方法。

以下问题可作为我们研究中确定决定性参数设置的指南。1、由于美国和欧洲采用了零利率的非股息支付基础2非美国化方法，我们特别分析了不同利率的方法学。2、直觉上，随着到期日的增加，美式期权的提前行权特征变得更有价值，美式期权和欧式期权的价格差异更大。因此，我们研究以下问题：去美国化方法的准确性是否取决于成熟度，去美国化错误是否会随着成熟度的增加而增加？3、货币内期权和货币外期权发挥着不同的作用。首先，从业者更倾向于使用货币外期权进行校准，因为它们的交易流动性更高，参见Carr和Wu（2010）。其次，货币期权更有可能被行使。非美国化方法在现金外期权和现金内期权中的表现如何？美国和欧洲选项之间的差异取决于模型。直觉上，（更高）跳跃强度会导致早期运动特征值更高。反美化方法如何适用于连续模型（CEV模型和赫斯顿模型）？对于不同的跳跃强度（默顿模型），它的表现如何？我们的调查组织如下。首先，我们在第2节中介绍了非美国化方法。然后，我们在第3节简要介绍了模型和基准定价方法。第4节给出了数值结果：校准程序的精度显然取决于基础pricingroutine的精度。因此，我们首先指定非美国化定价程序，并调查其准确性。

然后，我们给出了合成数据和市场数据的校准结果。为了总结数值研究，我们展示了不同校准结果对奇异期权定价的影响。我们在第5.2节反美化方法中总结了我们的发现。在这一节中，我们对该方法进行了准确而详细的描述。反美化方法用于将模型与市场数据进行拟合。非美国化的核心思想是在校准之前将可用的美国期权数据转换为伪欧洲期权价格。这显著减少了计算时间以及所需定价技术的复杂性。基本上，去美国化可以分为三个部分。第一部分包括收集可用的市场数据。收集标的S的当前可观察价格、利率r和可用的美式期权价格。在下文中，我们将通过ViA表示第i个观察期权的美国期权价格。我们将市场数据解释为真实的期权价格，因此，我们假设观察到的市场价格可以解释为“suptPr0，TisEre\'rtrHipStq | Fs，i“1，…，N，其中Rhi是第i-th2非美国化方法ologypayoff函数，tit是第i-th期权的成熟度，期望值是在风险中性度量下进行的，F是自然过滤，N表示期权总数。U p到目前为止，还没有使用近似值。第二步是应用二叉树创建伪欧洲-所谓的d非美国化——价格基于观察到的美国市场数据。在这一步中，我们将分别研究每一个美式期权，并找到具有相同行使和到期日的相应欧洲期权的价格。这种欧式期权是通过将二叉树与美式期权进行拟合得到的。

二叉树由Cox等人（1979）介绍如下。从S开始，在每个时间步和每个节点，基础可以上升u倍，也可以下降F倍，P“er给出了向上运动的风险中性概率t'uu'u.（1）一旦建立了树，就可以通过从每个最终节点后退来评估选项。因此，可以轻松评估路径相关选项。由于每个期权的美式期权价格和Sand r都是已知的，因此树的唯一未知参数是向上因子u。在这个步骤中，向上因子uII的确定使得二叉树中美式期权的价格与观察到的市场价格相匹配。因此，表示t0：t:Tiu“t0，t、 2t、 ，Tiu，我们有suptPt0：t： TiuEre'rtrHipSuitq | Fs“ViA，其中Suit表示具有向上因子ui的二叉树所描述的基本过程。美式期权的早期行使特征反映在这样一个事实上，即上确界接管了所有离散的时间步。Van der Hoek和Elliott（2006）给出了二叉树模型中美式期权定价的详细描述。一旦确定，将指定与美式期权具有相同行使和到期日的相应欧洲期权，ViE“Ere'rTi rHipSuiTiq'Fs。请注意，使用uialso隐式确定隐含的可用性。然后，对于每个美国期权ViA，找到了相应的欧洲期权ViE，可以开始实际的模型校准。目标是根据参数uP Rd将模型M定义为欧洲期权价格ViE，i，其中d表示模型中的参数数量“1，…，N。用SMpuqt表示模型M中的基本过程，参数为uP Rd。在校准中，通过最小化校准的目标函数来确定参数向量u。

算法1详细总结了反美化方法。关于算法1中描述的非美国化方法中因子uii的唯一性，我们将首先调查欧洲看跌期权的情况。因此，我们将（1）中的风险中性概率解释为u，ppuq“uer”的函数t'1u'1。在二叉树的每个节点上，我们都有一个两点分布，我们称之为伯努利分布X“QBpuq”，其中u值用概率ppuq表示，u值用概率p1'ppuqq表示。2反美化方法算法1反美化方法1：可观察数据的程序收集2：S，r，3：通过“SUPTP0，TisEre'rtrHipStq | Fs，i”1，…，N4：二叉树对每个选项的程序应用5：对于i“1：N6：查找uisuch that 7：SUPTPTT0：t： TiuEre'rHipSuitq'Fs“ViA8：推导与ui9：ViE”相对应的欧洲期权价格，Ere'rHipSuiTiq'Fs10：end11：欧洲期权的程序校准12：查找u，以便根据i的目标函数命题2.1，将差异13:Ere'rHipSMpuqTiqs'ViE，i“1，…，N14：最小化“1，…，n，让Xi“QBpuq”和Yi“QBpuq”。如果udu和u，则使用条件1。u，uěert`？e2r公司 t'1和2。u、 udp'ertk'1q'？每tk\'1q\'4ertk2k“kor u，uěp'ertk“1q”？每tk\'1q\'4ertk2k“ertk，则对于任何K P RE<<▄K'n'zi“1Xi,'''''''''''''''''E<<K'n'zi“1Yi'''备注2.2在树的实现中，我们设置了时间步长t<<0.0002，我们使用Van der Hoek和Elliott（2006）建议的简单双截面方法来确定u。因此，给定市场价格VA，从满足提案2.1中条件的上界uuband a下界ULB开始，suptPt0：t： TiuEre\'rtrhipsubtq | FsaVA，支持：t： TiuEre\'rtrHipSulbtq | FsaVA，开始采用双段法，u的新候选为^u“uub ` ulb”。

当SUPPT0时：t： TiuEre’rtrHipS^utq | FsaVA，我们为下一次迭代设置uub“^u，否则3定价方法ologyulb”u。作为停止标准，我们选择ˇsuptPt0：t： TiuEre’rtrHipS^utq | Fs’VAˇˇε，并设置ε“10'5在我们的实现中。在命题2.1中，我们研究了欧洲看跌期权的情况，并可以从凸排序中推断出看跌期权价格在u中单调递增。对于严格的顺序，u值因此是唯一确定的。在我们的情况下，u值可以唯一确定为满足停止标准的所有u值的最小值。此外，这表明also二叉树中的美式put pri CEI随u的增加而增加。我们通过数值试验验证了这一点（未报告）。这符合vanderHoek和Elliott（2006）的建议。唯一可以观察到的限制是，美式看跌期权价格在初始时不能通过中间行权给出。备注4.1.3定价方法对此进行了详细解释。在本节中，我们介绍了三个调查模型（CEV、Heston、M erton）的模型公式和数值实现。为了研究去美国化方法，我们需要对美国和欧洲的选择进行定价。稍后的数值研究中，我们的市场数据将基于谷歌股票期权（股票代码：GOOG）。由于谷歌不支付股息，我们在定价方法中忽视了股息支付。

对于ra0而言，在没有股息支付的情况下，一般认为美式看涨期权与欧洲看涨期权一致，只有美式看跌期权需要区别对待。ra0的情况正好相反，在这种情况下，美欧看跌期权重合，美欧看跌期权必须区别对待。一般而言，对于欧式期权，存在多种快速定价方法，如快速傅立叶变换（Carr和Madan（1999）；Raible（2000））甚至闭式格式解决方案。美式期权定价的常用方法是P（I）DE方法，使用有限差分法（FDM）或有限元法（FEM）。我们选择FEM，因为它通常更灵活。为了解决美式期权产生的变分不等式，我们对CEV和Merton模型使用了投影SOR算法，Achdou和Pironeau（2005），Seydel（2012），对Heston模型使用了原始-对偶主动设置策略，Hintermüller et al.（2002）。3.1期权定价模型简要介绍了我们在研究中使用的模型，即恒定方差弹性模型（CEV）、随机波动率赫斯顿模型和默顿模型。在所有三种型号中，资产价格动态Sτ由一个随机微分方程（SDE）控制，其形式为：dsτ“rSτdτ`σpS，τqSτdWτSτ'dJτ，S”Sě0，（2a）3.2定价P（I）DEJτ“NτI”0Yi，（2b）Wτ为标准维纳过程，r为无风险利率和波动率函数σpS，τq。跳跃部分pJτqτě0是一个强度为λě0的复合泊松过程，且独立于泊松过程pNτqτě0的相同分布跳跃Yi，i P N。泊松过程和维纳过程也是独立的。作为局部波动率模型的一个示例，我们首先介绍了由Cox（1975）引入的CEV模型。

这里，假设局部波动率是（2）中过程σpS的资产价格的决定性函数，τq“σSζ'1τ，0aζa1，σa0和λ”0。作为随机波动率模型的一个例子，我们使用了Heston（1993）提出的模型。与CEV模型相比，随机波动率是由二次布朗运动AWτ驱动的，其与Wτ的相关性由相关参数ρP r'1，1s描述，并且该模型基于股票价格的动态（2），则，跳跃强度λ“0，方差vτ（3），dvτ”κpγ'vτqdt'ξ？vτdAWτ，（3）σpS，τq“？vτ、均值方差γa0、均值回归率κa0和波动率ξa0。CEV或Heston模型均不包括跳跃。Merton模型包括跳跃。对数资产价格过程并非完全由布朗运动驱动，而是遵循跳跃-扩散过程。因此，在Merton模型（1976）中，资产过程的波动率仍然假设为常数，σpS，τq“σa0，@Sa0，@τě0。但作为一个跳跃扩散模型，跳跃强度λa0为正，Nt“Poisspλtq”。跳跃被视为独立的正态分布随机变量，Yi"N pα，βq，预期跳跃大小αP R和标准差βa0.3.2通过t“t'τ到期时间t，ta8和K期权的行使来定价P（I）DEDenote。对于CEV模型，我们使用S变量S P p0，8q，对于Heston和Merton模型，我们使用对数转换股票变量x：“log ` SK，x P P'8，8q。在下文中，我们将通过PAm{Eucall{put表示美国或欧洲的看涨或看跌价格。对于CEV模型，我们有PAm{Eucall{put:p0，T q^R}，对于Heston和Merton模型，我们有PAm{Eucall put:p0，T q^Rn nir`（n“1 pMertonq，n”2 pHestonq）。