决策分析中的Choquet积分——公理化的教训

多准则模型的介绍和示例见第节？？，第3节讨论了模型学习和解释的问题，并给出了一个实际应用的例子。从理论角度来看，在多标准背景下，我们的结果意味着决策者在标准集的元素之间构建了一个映射（精确地说是它们的子集）。一些作者对此的解释是，共享相同效用值的标准元素为决策者提供了相同水平的“满意度”[Grabisch and Labreuche，2 008]。从技术上讲，这些陈述是有意义的，因为允许的比例尺转换不会使它们变得模棱两可或不正确，除非r表示是相加的。然而，诸如“xon准则1至少与xon准则2一样好”（这将对应于f（x））等陈述的实质≥ f（x））不容易掌握。除了满意度解释之外，也许可以考虑在单个项目中执行各种任务的工人。从项目经理的角度来看，如果项目具有全球里程碑（即规模），并映射到每个相关人员的特定个人里程碑，则在本例中，服务于标准的各种工人的成就可以达到可比的水平，尽管他们的身体状况不同。我们描述的新奇之处在于，这种尺度不是先验的。相反，我们只观察项目经理的偏好，并从中推断出所有相应的映射。还值得一提的是，任何相互作用对的值函数都可以被视为形成所谓的Guttman量表（或biorder）[Guttman，1944年，Doignon等人，1984年]。4.2心理学一个有趣的联系是，在心理学中，存在着一系列关于所谓跨模态匹配的结果。

自19世纪50年代以来，在这一领域进行了大量研究，并进行了与响度、颜色、大小、ne、疼痛、金钱等相关的实验。[史蒂文斯和马克，1980年、1965年、史蒂文斯，1959年、加兰特和普林纳，1974年、兰茨，见引理，以及本章前面给出的交互指数定义。1972年]。卡尼曼（Kahneman）[2011]举了一个例子：“一个女孩四岁的时候就学会了阅读。一个像朱莉一样高的男人有多高是早熟？”通常情况下，孩子们从5岁或6岁开始阅读，因此女孩可能比一般人早熟一些，尽管不会太多。因此，我们可以说这个男人比平均身高180厘米要高一些，也许他的身高是190或相似。显然，我们回答这个问题的能力是基于存在一些关于儿童开始阅读的年龄分布和身高分布的信息。信息可以有多种形式：要么只是一个平均值（“儿童平均开始阅读5”，“男性平均身高180厘米”），要么两个维度上的两个绝对参考水平——“儿童开始阅读3到6”，“男性身高在165到205厘米之间”。最后，我们可以获得有关这两种分布的完整信息，并根据这些信息选择匹配项。正是这些信息让我们能够将四年“映射”到大约190厘米。我们或许可以将某个值的概率视为两个不同元素共享的通用量表：“75%的儿童在4岁之后开始阅读”，“75%的男性低于190厘米”，等等。

然而，如上所述，此类信息并不总是可用的，并且可能存在其他机制来执行此类映射。4.3状态依赖性我们将展示传统的基于共单调的公理化如何意味着状态独立性，以及如何使用我们的方法构建真正的状态依赖性模型，而无需对不同状态的结果之间的对应性进行额外假设。州政府相关的公用事业概念，如第？章所述？？在附录中进一步说明？？，当国家本身的性质具有重大意义，并且不假设不同国家的结果对决策者具有相同的意义或价值时，就会触发。一个流行的例子是医疗保健，其中各种结果可能对保险费的个人价值产生重大影响【Ka r ni，1985年】。建模的一种方法是对每个状态使用不同的值函数；此外，我们还可以考虑国家奖的通知【Karni，1985，Karni和Schmeidler，2016】，它实际上将国家相关模型直接用于异质产品集案例（“国家奖”的维度集）。到目前为止，依赖于状态的效用模型的公理化是基于不同状态的结果之间存在某种对应关系【Karni和Schmeidler，20 16，Karni，1993，1985，Fishburn，1973】。本质上，这与再次假设同质产品集没有区别，尽管存在一些技术差异（例如，决策空间可能只是完整产品的子集）。虽然原则上，在国家奖品集上存在偏好关系并非不切实际，但尚不清楚该数据是否可观测（与预期总是可观测的行为偏好相反）。

如果没有这样的关系，那么加法价值模型（Think SD-EU）根本不允许我们对概率和效用进行分离（见上一节和之前的讨论）。另一个问题是，与使用国家联盟相比，这是否提供了任何真正的方法和逻辑上的优势——在每个维度上都有优先权，并按正常方式进行。Karni和Schmeidler[2016]以及其中的参考文献对此问题进行了详细讨论，我们在此不再进一步讨论。最后，我们想提到的是，银行依赖模型中的国家依赖问题还没有得到很好的发展，这是作者beingHong和Wakker（1996）所知的唯一一篇论文，作者在论文中评论了正常的CEU fr amework中国家依赖的无意义，同样由于混淆的问题：“偏好是唯一的经验原语，因式分解ν（a）uA（·）变得毫无意义。只有乘积W（x，a）=ν（a）uA（x）可以从偏好中推导出来”。然而，本论文中提出的Choquet积分的一般公理化是（据作者所知）第一个结果，其中状态依赖可以完全从对行为的偏好中推导出来。这与其他早期结果存在显著差异。作为一个附带结果，很容易证明基于共名性的条件实际上意味着偏好的统计独立性。引理6。设X=Yn。定理的Let条件？？持有如果所有x∈ 当xi=xj时，表示是独立于状态的。证据当xi=xjin时，我们的框架说i E j等于说，在X的共单调子集上存在加法表示。这种构造意味着当xi=xj时，fi（xi）=fj（xj）。这适用于所有i，j∈ 十、 因此，我们可以使用一个单一的可用性函数U:Y→ R表示所有尺寸。

这构成了国家独立。因此，脱离加法区域之间的边界实际上与共单调集之间的边界重合的假设，允许我们在模型中引入状态依赖，并仅通过观察行为之间的偏好来实现。由此产生的依赖于状态的效用函数可用于推导状态集-奖品的关系，这是早期作品中假设的。请注意，如前所述，此关系的意义取决于模型中违反成对可分性，如第节所述？？。换句话说，某些州对的奖品之间可能不存在这种关系。4.4社会选择如果我们认为集合N是一个有N个代理的社会，那么X是所有可能的自我分布的集合。此外，与经典场景相反，代理可能会收到完全不同的食物，例如，Xmight corr响应医疗保健选项，而Xto响应各种教育可能性。在这种情况下，在代理的不同选项之间建立对应关系并不是一项简单的任务。我们的结果基本上表明，如果社会规划师的偏好符合第节给出的公理，这些决策就像社会规划师将基数效用与单位和水平可比的每个代理的产出相关联一样（基数完全可比，或根据Roberts[1980]的CFC）。这种方法在社会选择问题中并不常见，因为通常不认为全局（社会）排序是给定的（然而，有些论文采用了这种方法，例如Ben Porath等人，1997）。相反，这些条件通常是针对单个效用函数给出的，而“聚合”函数则用于推导全局排序。

然而，社会选择文献中的一个重要问题是人际效用的可比性，以及是否可以假设这一点（如Harsanyi，1980）。我们的结果表明，如果社会（或社会规划师）制定的备选方案的全局排序满足某些条件，原则上，个人偏好可以由效用函数表示，这些效用函数不仅是单位的，而且是相互可比的水平。5总结我们对Choquet积分的序数和基数特殊情况的特征进行了扩展。or dina l模型是众所周知的最小/最大和theorder统计量，也是它们的推广-格多项式。我们已经展示了如何在我们的框架中描述这些特征，并将我们的结果与之前已知的公理化联系起来。在基数方面，我们已经展示了如何描述关于凸容量的Choquet积分。该公理类似于tradeo-off一致性条件，是可处理基数和序数情况（或两者的混合）的对流模型的第一个特征。接下来，我们讨论了Choquet积分学习的各个方面。传统上，积分学习仅限于能力学习。然而，这种方法克服了严重的方法上的困难。也就是说，它需要一个非常有力的假设，即所有标准都是在同一个尺度上衡量的。我们研究了如何在容量识别问题中使用各种优先信息，并分析了容量识别过程在计算上相对有效的原因。相比之下，将容量和值函数一起学习似乎在计算上非常困难。

在文献中，只有少数人试图解决这个问题，所有这些都只提供了一些启发式方法。最后，我们讨论了混淆价值函数和容量的问题。我们的表征结果表明，只有当决策空间的维度表现出有效的成对交互时，容量和值函数才可能唯一解耦。这对Choquet积分的学习特性有着深远的影响，因为它保证了如果变量之间没有足够的交互作用，无论我们有多少数据，都不可能获得唯一的容量。这意味着Shapleyindex等知名指数的使用受到限制。另一种选择是使用“Choquet之和”表示（？？），由此，指数在每个交互组中变得有意义。最后，我们研究了我们的结果的各种解释及其在决策理论中的应用。我们从MCDA开始，这是我们研究的主要灵感。我们的公理化是这一领域长期缺失的结果，我们希望这将有助于推动MCDA中Choquet积分的进一步理论研究。特征化导致在各种标准集（决策空间的维度）的元素之间构建唯一的映射。这与跨模态映射问题有着有趣的联系，跨模态映射自20世纪50年代以来在心理学中得到了广泛的研究。最后，我们讨论了我们的结果可以应用的其他两个领域——社会选择理论和依赖于状态的DUU。后者尤其有趣，因为我们的表征是第一个基于行为偏好构建有意义的状态依赖模型。之前的工作在模型中引入了额外的偏好关系，特别是“国家-奖品”集合上的关系。

从概念上讲，这相当于说，各种维度的元素是相称的，但并非总是如此。这种偏好关系的可观察性也不明显。我们的结果不需要任何额外的结构，除了它们之间的偏好。然而，我们能够在不同状态的结果之间构建独特的映射（前提是数据显示出有效的相互作用）。参考访问。Angilella、S.Greco、F.Lamantia和B.Matarazzo。评估多标准决策辅助的非加性效用。《欧洲运行研究杂志》earc h，158（3）：734–7442004。S、 Angilella、S.Greco和B.Matarazzo。非加性稳健有序回归：基于Choquet积分的多准则决策模型。《欧洲运行研究杂志》，第201（1）：277–2882010年。S、 Angilella、S.Corrente和S.Greco。Choquet积分偏好模型的随机多目标可接受性分析和规模构建问题。《欧洲石油研究杂志》，2 40（1）：172–182，2015年。E、 Ben Porath、I.Gilboa和D.Schmeidler。关于不确定性下不等式的度量。《经济理论杂志》，75（1）：19 4–204，1997年。N、 Benabbou、P.Perny和P.Viappiani。多标准决策中Choquet能力的增量启发。ECAI 2014，第87–92页，2014年。N、 Benabbou、C.Gonzales、P.Perny和P.Viappiani。极大极小后悔法是对等级相关银鳄鱼的orpference诱导的一种方法。《欧洲决策过程杂志》，3（1-2）：29–64，2015年。D、 Bouyssou、T.Marchant、M.Pirlot、P.Perny和A.Tsouki\'as。评估和决策模型：批判性视角。Kluwer学术出版社，2000年。D、 布伊苏、S.格雷科、B.马塔拉佐、M.皮尔洛和R.斯洛文斯基。最大、最小和阶统计量多准则聚合函数的特征。

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