欧洲和美国期权定价的降阶模型

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英文标题：
《Reduced Order Models for Pricing European and American Options under
  Stochastic Volatility and Jump-Diffusion Models》
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作者：
Maciej Balajewicz and Jari Toivanen
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  European options can be priced by solving parabolic partial(-integro) differential equations under stochastic volatility and jump-diffusion models like Heston, Merton, and Bates models. American option prices can be obtained by solving linear complementary problems (LCPs) with the same operators. A finite difference discretization leads to a so-called full order model (FOM). Reduced order models (ROMs) are derived employing proper orthogonal decomposition (POD). The early exercise constraint of American options is enforced by a penalty on subset of grid points. The presented numerical experiments demonstrate that pricing with ROMs can be orders of magnitude faster within a given model parameter variation range.
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中文摘要：
在随机波动和跳跃扩散模型（如Heston、Merton和Bates模型）下，欧式期权可以通过求解抛物偏微分方程（积分）来定价。美式期权价格可以通过使用相同的算子求解线性互补问题（LCP）得到。有限差分离散化导致所谓的全阶模型（FOM）。采用本征正交分解（POD）导出了降阶模型（ROM）。美式期权的早期行使约束是通过对网格点子集的惩罚来实施的。数值实验表明，在给定的模型参数变化范围内，使用ROM进行定价可以快几个数量级。
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：期权定价 Applications Differential Mathematical Quantitative

随机波动率下欧美期权定价的降阶模型和跳差模型，*, Jari Toivanenb，美国伊利诺伊州香槟市Urbana-Champaign伊利诺伊大学，美国加利福尼亚州斯坦福市B斯坦福德大学，Jyv-askyl-A、Jyv-askyl-A、FinlandAbstractEuropean期权可通过求解随机波动和跳跃扩散模型（如Heston、Merton和Bates模型）下的抛物偏微分方程来定价。美式期权价格可以通过使用相同的算子求解线性互补问题（LCP）得到。有限的差异离散化导致了所谓的全阶模型（FOM）。采用本征正交分解（POD）导出了降阶模型（ROM）。美式期权的早期行使限制是通过对网格点子集的惩罚来实施的。所提供的数值实验表明，在给定的模型参数变化范围内，使用ROM的定价可以更快或更快。关键词：降阶模型，期权定价，欧式期权，美式期权，线性互补问题1。欧洲期权只能在到期时行使，而美国期权可以在到期前的任何时间行使。由于这种额外的灵活性，美国的选择可能更有价值。为了避免套利，价格必须始终至少与最终支付函数相同。看跌期权赋予以指定的执行价格出售标的资产的权利，而看涨期权赋予以执行价格购买资产的权利。布莱克和斯科尔斯（Black and Scholes）的开创性论文【1】采用了具有恒常弹性的几何布朗运动作为基础资产价格的模型。期权的市场价格表明，波动性取决于期权的执行价格和支出。

已经开发了几个更通用的资产价格模型*相应的authorEmail地址：mbalajew@illinois.edu（Maciej Balajewicz），toivanen@stanford.edu，jari。toivanen@jyu.fi（Jari Toivanen）2016年12月4日提交给《计算科学杂志》的预印本更符合市场价格。默顿建议在该模型中加入对数正态分布跳跃。Heston[3]将波动率视为均值回复随机过程。贝茨（Bates）[4]将赫斯顿随机波动率模型和默顿跳跃扩散模型l相结合。期权定价有多种方法。蒙特卡罗方法模拟资产价格路径来计算期权价格。这是一种直观且灵活的方法，但当需要高精度时，速度可能会很慢，而且对于美式选项来说，它更复杂且效率更低。相反，在本文中，定价基于部分（-积分）微分方程（P（I）DE）公式。另一种方法是基于数值积分技术。这些公式的一个好处是，对于许多选项，它们可以提供比蒙特卡罗方法更快的高精度价格。这里，欧式期权通过求解P（I）DE来定价，美式期权通过求解同一运营商的LCP来定价。这些算子是具有随机波动性的二维算子，否则是一维算子。模型的潜在积分部分由跳跃产生。离散微分算子最常用的方法是微分法。对于欧式和美式期权，在每个时间步，离散化分别导致线性方程组和L C P。例如，在[5、6、7、8]中，考虑了基于不确定性波动率模型的有效美式期权方法。在[8]中，对得到的LCP采用了惩罚近似法，在[6，7]中采用了算子分裂法。

【6】中使用了交替方向隐式（ADI）方法，而【5、7、8】中使用了迭代方法来生成线性系统。例如，在跳跃扩散模型下，PIDE方法导致系统在每个时间步都有一个完整的矩阵，并且[9、10、11、12、13]中考虑了它们对美式期权的有效解决方案。文献[9]中使用了惩罚法和基于FFT的快速方法来计算跳跃积分。文献[11]中提出了一种迭代方法，用于具有完整矩阵的LCP。文献[10]提出了一种隐-显（IMEX）方法来显式处理积分项，文献[13]研究了该方法。[14、15、16、17、18]对上述组合贝茨模型方法的推广进行了开发和研究。不幸的是，这种高精度模拟对于许多实际应用来说仍然过于昂贵，降阶建模（ROM）是一种显著降低计算成本的实用工具[19，20]。大多数现有的romaproach都基于投影。在基于投影的降阶建模中，状态变量在低维子空间中近似。该子空间的基通常由一组高精度解快照的适当正交分解（POD）[21]构成。虽然已经开发了许多方法来有效简化线性计算模型，但到目前为止，已经探索了三种主要策略来有效简化非线性计算模型。第一种基于线性化技术[22，23]。第二种方法基于预计算的概念[24、25、26、27、28]，但仅限于多项式非线性。

第三种策略依赖于超约化的概念，即通过基于约化计算域的可伸缩数值技术来逼近非线性约化模型（ROM）下的约化算子【29、30、31、32、3、3、34、35、36】。在治理方程包括约束方程的情况下，构建满足先验约束的基础是非常有益的【37】。例如，在非负性约束的情况下，可以通过非负矩阵分解（NNMF）构造非负基[38]。在[39]中，期权定价采用了这种方法。[40，41]中开发了用于定价欧洲期权的ROM。在[37，42]中，只有最近才应用ROM为美式期权定价。与期权定价相关的一个常见问题是校准模型参数，使其与期权的市场价格相对应。这是一个典型的最小二乘型优化问题。校准成本较高，因为它需要为大量参数不同的选项定价。文献[43、44、45]研究了使用ROM降低计算成本的方法。目前工作的主要贡献是开发了一种廉价且准确的超还原方法，用于美式期权的早期行使约束。我们提出的方法基于这样一个事实，即准确的价格预测不一定需要拉格朗日乘数的准确近似值。这在减少结构接触问题的实践中得到了观察【38】。我们在本文中总结的数值实验表明，使用二进制矩阵作为拉格朗日乘子形式的基础，对于所考虑的所有生殖和预测模拟都非常好。

与以前基于NNMF的方法相比，这种方法更简单、更快，且精度相当【39】。本文的组织结构如下。第2节概述了本工作中考虑的全阶模型。第3节列出了拟议的新ROM appr oachis。在第4节中，提出的方法应用于几个问题。最后，在第5节中，给出了结论，并总结了未来工作的前景。2、全订单模型默顿[2]提出了s≥ 基础资产的0，遵循托卡斯蒂克微分方程D=（g- uξ）sdt+σssdws+s dJ，（1）其中t是时间，g是设定价格的增长率，σ是其波动率，wsis是维纳过程，J是复合泊松过程，跳跃强度ua和对数正态跳跃分布p（y）=yδ√2πexp-（对数y- γ） 2δ. （2） 相对预期跳变为ξ=expγ+δ-1、通过将跳跃强度u设置为零，获得Black-Scholes模型。在Merton模型下，欧式期权的价格u（s，τ）可以通过求解一维PIDE得到uτ=σssus+（r-uξ）sus-（r+u）u+uZ∞u（sy，τ）p（y）dy=：LMu，（3）其中τ=T- t为到期时间，t为到期时间，r为利率。贝茨提出了价格s及其瞬时方差v≥ 0遵循随机微分方程SDS=（g- *ξ）sdt+√vsdws+s dJdv=κ（θ-v） dt+σv√vdwv，（4）其中θ是v的平均水平，κ是平均回复率，σ相对于√v、 而wvis是一个维纳过程。维纳过程Ws和Wv具有相关性ρ。在贝茨模型下，通过求解二维PIDE可以得到欧式期权的价格u（s，v，τuτ=vsus+ρσvvsusv+σvvuv+（r- uξ）sus+κ（θ- 五）uv- （r+u）u+uZ∞u（sy，v，τ）p（y）dy=：LBu，（5）通过将跳跃强度u设置为零获得Heston模型。在下文中，考虑了看跌期权。

到期时的价格由支付函数g（s）=max{K给出- s、 0}。当方程在时间上向后求解时，这分别导致一维和二维模型的初始条件u（s，0）=g（s）和u（s，v，0）=g（s）（6）。为了计算近似解，有限域被截断为ats=Smax和v=vmax，其中Smax和vmax非常大，因此截断引起的误差可以忽略不计。欧式看跌期权的价格u满足Dirichlet边界条件su=Ke-s=0时的rτ和s=smax时的u=0。（7） 对于非负利率r≥ 0时，美式看跌期权的价格u满足Dirichlet边界条件su=K（s=0）和u=0（s=smax）。（8） 在随机波动率模型下，Neumann边界条件uv=0处于v=v最大值。（5）中的二阶导数在边界v=0时消失。文献[4-6]表明，这种退化形式定义了v=0时的适当基本条件。由于提前行使的可能性，美式期权的价格u符合LCPuτ- Lu=λ，u≥ g、 λ≥ 0，λ（u- g） =0，（9），其中运算符L是取决于模型的lm或lbnding，λ是alagrange乘数；例如，参见[47]。为了便于数值求解，将欧式期权的P（I）DE和美式期权的THLCP重新表示为w，满足s=0时齐次Dirichlet边界条件w=0。此外，选择了美国选项，以满足≥ 0而不是更复杂的约束u≥ g、 对于欧洲选项，选择w=u- e-rτg，而对于美式期权，选择bew=u- g、 对于欧洲选项，选择w=u- e-rτg导致P（I）DEwτ- Lw=e-rτ（L+r）g.（10）对于美式期权，选择w=u- g通向LCPwτ- Lw=λ+Lg，w≥ 0，λ≥ 0，λw=0。

（11） 对于美式期权，通过选择大范围乘数λ=-εmax{-w、 0}w.（12）这导致非线性P（I）DEwτ- Lw+εmax{-w、 0}w=Lg。（13） 对于有限差分离散化，网格由si定义，i=0，1，2，Ns，用于间隔[0，smax]。使用中心有限差分对s的空间偏导数进行离散ws（si）≈si公司-1个+sih公司-si公司si公司-1wi-1个+si公司si公司-1.-si公司-1.si公司wi公司+si公司-1.siwi+1i（14）和ws（si）≈si公司-1个+sih公司si公司-1wi-1.-si公司-1个+si公司wi公司+siwi+1i，（15）其中si=si+1-是的。类似地，对于区间[0，vmax]，网格定义为vj，j=0，1，2，内华达州。关于v的空间偏导数通过上述中心有限差进行离散化。九点差异模板ws通过利用两个方向的中心元素差异获得的vis。虽然这种近似可能不稳定，具有高相关性ρ，但对于第4节中给出的数值实验来说是稳定的。在边界v=0时，使用单侧有限差近似值wv、 这些积分可以用二阶精确的求积公式来分解。这里，线性插值用于网格点之间的w be和精确积分；详见【11】。在默顿模型下，积分的离散化导致完整矩阵，而在贝茨模型下，则导致完整对角块。在没有跳跃的模型下，时间离散化通过使用隐式Euler方法进行第一时间步，然后使用二阶精度BDF2方法进行。在跳跃模型下，积分被显式处理。在第一个时间步中使用显式Euler方法，在接下来的时间步中使用基于前两个时间步的线性外推。这种IMEX-BDF2方法如【13】所述。

通过对积分的显式处理，不必求解具有稠密矩阵的系统。此时（k+1）τ、 矢量wk+1中包含的网格点值可通过求解系统获得我+τD周+1=工作时间：-工作时间：-1.+ τJ工作时间：-工作时间：-1.+τf（16）表示欧式期权和我+τD+εdiag最大值-周+1，0周+1=工作时间：-工作时间：-1.+ τJ工作时间：-工作时间：-1.+τf（17）对于美式期权，其中矩阵J a和D分别对应于跳跃和其余部分的项。向量f包含e的网格点值-rτ（L+r）g和Lg。运算符diag（·）给出了一个对角矩阵，其中的对角项由ar gument向量定义。最大值按组件计算。系统（16）和（17）可以更简洁地表示为sawk+1=rk+1（18）和A+εdiag最大值-周+1，0wk+1=rk+1（19），适当定义A和rk+1。（12）中拉格朗日乘子λ的离散对应项读取λk+1=-εdiag最大值-周+1，0周+1。（20） 3。降阶ModelsLet U∈ RN×nbe是w和n的基础<< N这些基础是通过将POD应用于解决方案的快照集合来构建的。解决方案快照或简单的快照定义为状态向量wk，计算为（17）的某个参数实例的解。解决方案矩阵定义为amatrix，其列为单个快照。为了构造U，下面的优化问题是solvedminimizeU∈RN×n，V∈Rn×KkX- UVkF，（21），其中K是溶液sna照片的数量。因此，基本U由快照矩阵X的前n个左奇异向量和V=∑WT组成，其中∑是∑的前n个奇异值的对角矩阵，W是其前n个右奇异向量的矩阵。对于欧洲选项，简化解w=Uwris由UTAUWK+1r=UTrk+1管理。

（22）该ROM具有formArwk+1r=rk+1r，（23）其中Ar=UTAU是预先计算的，而右侧rk+1r=UTr可以有效地在线计算，操作数取决于n。因此，形成和解决问题（23）的在线计算成本与缩减基的大小n成比例，而不取决于FOM的大小n。对于美式期权，简化解w=Uwris由UTAU+εUTdiag最大值-Uwk+1r，0U周+1r=UTrk+1。（24）产品UTdiag最大值-Uwk+1r，0U是（24）中唯一不能预先计算的产品。由于评估该产品的成本与全订单模型的大小成比例，等式（24）不提供主要的计算节省。为了节省计算量，传统方法包括第二层近似，有时称为“超约化”。最流行的炒作还原方法之一是Discr e te经验插值法（DEIM）[31]。我们将传统的DEIM算法作为创新的起点。设Uλ∈ RN×nλ是最大值的基础-Uwk+1r，0, thusUλhr≈ 最大值-Uwk+1r，0, （25）其中HRI为有效向量。可通过从超定s系统Uλhr中选择m个唯一行来确定向量hr≈最大值-Uwk+1r，0. 具体而言，包含二进制矩阵P∈ {0，1}N×Nλ满足PTP=Inλ。假设PTU是非奇异的，则系数向量hr可以从ptmax中唯一确定-Uwk+1r，0= （PTUλ）hr（26）和最终近似ismax-Uwk+1r，0≈ Uλhr=Uλ（PTUλ）-1个最大值-Uwk+1r，0（27）=eUλmax-Cwk+1r，0, （28）其中euλ=Uλ（PTUλ）-1，C=PTU。因此，产品UTdiag最大值-Uwk+1r，0式（24）中的U由UTdiag近似eUλ最大值-Cwk+1r，0U与它的访问器不同，它可以高效地在线计算。