不确定性下的理性决策：观察到的下注模式

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英文标题：
《Rational Decision-Making Under Uncertainty: Observed Betting Patterns on
  a Biased Coin》
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作者：
Victor Haghani and Richard Dewey
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  What would you do if you were invited to play a game where you were given \\$25 and allowed to place bets for 30 minutes on a coin that you were told was biased to come up heads 60% of the time? This is exactly what we did, gathering 61 young, quantitatively trained men and women to play this game. The results, in a nutshell, were that the majority of these 61 players did not place their bets very well, displaying a broad panoply of behaviorial and cognitive biases. About 30% of the subjects actually went bust, losing their full \\$25 stake. We also discuss optimal betting strategies, valuation of the opportunity to play the game and its similarities to investing in the stock market. The main implication of our study is that people need to be better educated and trained in how to approach decision making under uncertainty. If these quantitatively trained players, playing the simplest game we can think of involving uncertainty and favourable odds, did not play well, what hope is there for the rest of us when it comes to playing the biggest and most important game of all: investing our savings? In the words of Ed Thorp, who gave us helpful feedback on our research: \"This is a great experiment for many reasons. It ought to become part of the basic education of anyone interested in finance or gambling.\"
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中文摘要：
如果你被邀请玩一个游戏，给你25美元，允许你在一枚硬币上下注30分钟，而你被告知有60%的时间是偏向正面的，你会怎么做？这正是我们所做的，召集了61名受过定量训练的年轻男女来玩这个游戏。简而言之，结果是，这61名玩家中的大多数下注不太好，表现出广泛的行为和认知偏见。大约30%的受试者实际上破产了，失去了全部25美元的股份。我们还讨论了最佳下注策略、对玩游戏机会的评估及其与投资股市的相似性。我们研究的主要含义是，人们需要接受更好的教育和培训，了解如何在不确定性条件下进行决策。如果这些受过定量训练的玩家玩着我们所能想到的涉及不确定性和有利概率的最简单游戏，但他们玩得不好，那么当我们玩着最大、最重要的游戏：投资我们的储蓄时，我们还有什么希望呢？用埃德·索普（EdThorp）的话来说，他对我们的研究提供了有益的反馈：“这是一个伟大的实验，有很多原因。它应该成为任何对金融或赌博感兴趣的人基础教育的一部分。”
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Rational_Decision-Making_Under_Uncertainty:_Observed_Betting_Patterns_on_a_Biased_Coin.pdf (119.97 KB)

2022-5-30 23:57:38 上传

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关键词：不确定性 确定性 不确定 Quantitative Applications

不确定性下的理性决策：观察到有偏见的投注模式Victor HaghaniRichard DeweyWorking Draft 20161年10月19日简介您受一位h edge基金经理的邀请参加了一场演讲，他是一家20年前以失败著称的基金的合伙人。你出现了，希望听到一些有价值的见解，或者至少是一些有趣的故事，但相反，你得到了一笔25美元的赌注，把你的笔记本电脑放在硬币上30分钟。有人告诉你，硬币有60%的概率偏向正面，你可以在每一层的正面或反面下任意多的赌注。半小时后，无论你的账户里有多少钱，都会给你一张支票。就是这样。你会觉得花时间休息是值得的，还是会选择离开？你打算怎么玩这个游戏？您会使用什么启发式或基本工具包？这些问题引导我们进行上述的精确实验。通过让参与者参与像掷硬币一样简单的活动，赌博策略及其演变很容易被孤立起来观察。这个简单的游戏也被证明具有类似于股票市场投资的特性，以及对金融和经济学教育的影响。下面我们将描述这个实验，我们的受试者是如何玩这个游戏的，以及我们从实验中得出的结论。2实验我们的抛硬币实验由61名受试者在办公室会议室或大学教室安静的环境中进行，每组2-15人。游戏监管者概述了基本原则，如禁止交谈或合作，以及受试者在玩游戏时不得使用互联网或其他资源。实验开始时，受试者被引导到一个URL，该URL包含一个pur-pose builtapplication，用于在模拟硬币上下注。

参与者使用个人笔记本电脑或工作电脑玩游戏。在游戏开始之前，参与者阅读了游戏的详细描述，其中包括一个清晰的黑体s陈述，表明模拟硬币有60%的几率出现正面，40%的几率出现反面。参与者获得了25美元的起始资本，并在文字和口头上解释说，他们将通过支票获得期末余额的金额，但须支付最高金额。如果受试者下注ifsuccessful将使其余额大于或等于上限，则会显示最大支付金额。我们将上限定为250美元，作者感谢我们的同事、朋友和家人的帮助，他们帮助我们设计和规划了实验，测试了它，然后将我们的发现写进了这篇笔记。特别要感谢萨曼莎·麦克布莱德、亚当·斯密、金宇·贝克、拉里·希利布兰德、弗拉德·拉古林、威廉·齐姆巴、埃德·沃德·索普、安德鲁·莫顿、克里斯·罗科斯、杰米尔·巴兹、罗布·斯塔维斯、杰夫·罗森布卢斯、詹姆斯·W·怀特、杰西卡·哈加尼和约书亚·哈加尼。Victor是Elm Partners的创始人兼首席执行官，victor@elmfunds.comRich在荷兰PIMCO工作2126@columbia.eduSubject如果你接近的话，你会得到通知的最大支出。初始股权的十倍。参与者被告知他们可以玩30分钟的游戏，如果他们接受了25美元的股份，他们必须在房间里呆那么长的时间。参与者可以在其账户中进行任何金额的下注，以0.01美元为增量，并且可以在正面或反面下注。参与者在比赛前被问及一系列关于他们背景的问题，以及比赛结束后的经历。样本主要由经济学和金融专业的大学年龄学生以及金融公司的年轻专业人员组成。

我们在两家领先的资产管理公司拥有14名分析师和助理级员工。样本包括49名男性和12名女性。我们的前提是，这些参与者应该已经做好充分的准备，可以玩一个简单的游戏，预期值为正。3最佳策略在继续描述最佳策略可能是什么样子之前，也许你想花点时间考虑一下，如果有机会玩这个游戏，你会怎么做。一旦你继续读下去，你就会被知识的诅咒所困扰，你很难理解我们的对象第一次遇到这个游戏的视角。因此，如果你想花点时间考虑一下你的战略，现在是时候了。如果你是一个职业赌徒，你很可能听说过凯利标准，这是一个由约翰·凯利（JohnKelly）于1955年出版的公式，他是贝尔实验室（BellLabs）一位才华横溢但有些古怪的研究员。该公式提供了一种最佳的下注策略，用于在赔率有利的游戏中最大化财富增长率，这是一种解决此问题的好工具。Kelly博士的论文建立在丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli）首先完成的工作基础上，他通过引入一个效用函数来解决了圣彼得堡悖论（St.Petersburgladox）——一种具有有限预期支出的彩票，该彩票玩家寻求最大化效用函数。伯努利的工作促进了效用理论的发展，并为现代金融和行为经济学的许多方面奠定了基础。凯利博士的论文和同名公式引起了赌徒和投资者的注意。EdThorp在一系列论文和畅销书中进一步开发并应用于赌场游戏和金融市场，其中最著名的是《击败经销商》和《击败市场》。

继Kelly和Thorp的初步研究之后，包括Murray Gell Mann在内的许多其他人进一步发展了理论基础，而WarrenBu Offett、Bill Gross和James Simons等著名投资者据说都使用了Kelly公式。凯利公式的基本思想是，如果一个玩家想要最大化他的财富增长率，那么他应该将其财富的一小部分押在每一枚硬币上，由第2节*p-1定义，其中p是获胜的概率。该公式隐含地假设赌徒具有log实用程序。直觉上，应该有一个最佳分数来下注；如果玩家下注的分数很高，他就有可能在一次糟糕的跑动中损失太多的钱，以至于无法恢复，如果他下注太少，他将无法充分利用有限的机会以有利的赔率下注。虽然玩家下注的分数越高，游戏的预期价值就越高，但结果会变得非常不平衡，表现出风险厌恶的玩家会找到一个远低于100%的最佳下注分数。投注者本身在投注的最佳吸引中发挥着作用；赔率越高，人们应该下注的分数就越高。最后，由于FLIP是独立的随机结果，因此策略应该只取决于玩家的账户余额，而不取决于之前FLIP的模式。无论他们是选择不比赛，还是真的比赛失败了，还是撞到了帽子。我们提出凯利标准，作为一个有用的启发，一个主题可以有收益地使用。出于几个原因，这可能不是玩我们介绍的游戏的最佳方法。

凯利标准与拥有对数财富效用的赌徒一致，这是一种比大多数人表现出的更宽容的风险厌恶水平。在我们的游戏中，凯利标准会告诉受试者在每一个FLIP上下注20%（2*.6-1）。因此，第一个赌注是5美元（25美元的20%），如果他赢了，他会在头上押6美元（30美元的20%），但如果他输了，他会在头上押4美元（20美元的20%），以此类推。4项调查结果：我们的球员表现如何？你是怎么破产的？逐渐地，然后突然地。（欧内斯特·海明威（Ernest Hemingway），《太阳报》（The Sun Alsarises 1926）我们的研究对象做得不太好。虽然我们预计会看到一些次优的游戏，但我们对它的普遍性感到惊讶。次优投注有各种形式和规模：过度投注、下注不足、不稳定投注和尾注只是大多数玩家浪费30分钟赢回250美元的机会的一些方式。只有21%的参与者达到了250美元的最高支付额，远低于95%的参与者在任何地方都可以使用10%到20%的简单固定百分比下注策略。我们感到惊讶的是，三分之一的参与者最终的收入比他们开始时少。更令人震惊的是，有28%的参与者放弃了，却没有收到任何付款。一场事先概率为60/40的掷硬币游戏产生了如此多的主题，以至于失去了一切，这是令人震惊的。未达到最高限额且未破产者的平均期末资金为75美元，占样本的51%。

虽然这是他们最初25美元股份的三倍，但考虑到目前的机会，这仍然是一个非常次优的结果。所有受试者的平均支出为91美元，相对于所有受试者都表现良好时每人必须支付的250美元，作者可以轻松应付。下面的图表总结了我们61名受试者的表现，他们总共下注7253张硬币，其中59.6%是正面的。在我们61名金融老练的学生和年轻的投资专业人士中，只有5人表示他们听说过凯利标准。有趣的是，听说Kelly似乎对其中两人没有什么帮助：一个几乎没能让自己的股份翻倍，另一个甚至在经历了大约100次失败后也没能成功。在实验后的访谈中，我们发现，保持财富比例不变的动机似乎是一个令人惊讶的非直觉应用程序。我们的结果并没有提供任何迹象表明，随着时间的推移，参与者正在汇聚到最佳游戏中，这一点可以通过在游戏中进行类似规模的次优下注来证明。在没有雇佣凯利的情况下，受试者是如何玩游戏的，这很有启发性。在61名受试者中，有18名受试者将全部资金都押在一个FLIP上，这将使RUIN的概率从使用Kelly的接近0%降低到了所有FLIP都是正面的情况下的40%，或是全部押在尾部的情况下的60%，其中一些受试者做到了这一点，令人惊讶。所有受试者的平均下注规模都是Bank roll的15%，因此参与者平均下注较少，低于Kelly标准分数，这在有可能达到的最大支付的情况下是有意义的。然而，这种明显的保守主义被参与者完全推翻了，他们通常对分数下注模式非常不稳定，下注太小，然后再下注到o大。

另一方面，我们实验的受试者可能并不认为25美元（甚至250美元）是他们的全部资本，因此他们应该在最大化游戏收益的方法中减少风险规避。受试者可以赢得的金额有一定的上限，这一事实也应该修改最佳策略。我们将“最大化”定义为到年底至少达到200美元的玩家，将“破产”定义为那些在游戏结束时账户中的金额少于2美元的玩家。我们通过蒙特卡罗模拟计算了结果。详见第5节。图表1：投币表现和实验后访谈显示，相当多的参与者认为某种双倍下注或鞅下注策略是最佳的，即赌徒在输掉之后增加赌注。许多受试者遵循的另一种方法是下注和持续下注，显然是试图降低破产概率，最大限度地提高最终获胜的概率。我们观察了41名受试者（67%）在实验过程中的某个时间点赌尾巴。赌一次或两次尾巴可能是因为对游戏的好奇，但29名玩家（48%）在游戏中赌尾巴超过5次。其中一些受试者可能质疑硬币是否真的有60%偏向正面，但这一假设并没有得到以下事实的支持：在13名受试者中，有25%以上的时间赌反面，我们发现他们更有可能在一连串正面出现后立即下注。这让我们相信，控制幻觉、小数字法则偏见、赌徒谬论或热手谬论的某种组合在起作用。

游戏结束后，我们向参与者提出了一系列问题，包括他们是否认为硬币实际上对头部有60%的偏向。在回答这个问题的人中，75%的人认为是这样。您可以在此处玩游戏（我们不会为您支付费用）来查看所有试用前和试用后的问题：http://coinflipbet.herokuapp.com/5你愿意花多少钱玩？我们的大多数受试者不仅表现不佳，他们也没有意识到支持玩游戏的价值。如果我们在没有上限的情况下完成游戏，这个实验对你的作者来说可能会非常非常昂贵。假设一个拥有敏捷玩家的玩家可以每6秒下注一次，那么在30分钟内可以下注300次。每个FLIP的预期收益（下注Kelly分数）为4%，因此300 FLIP的预期值为25美元*（1+.04）=3220637美元！考虑到无上限游戏的预期价值约为300万美元，假设一个人相信参与游戏的人有足够的钱来支付所有可能的费用，他应该愿意支付多少钱来玩这个游戏？正如圣彼得堡悖论（StPetersburg Paradox）的情况一样，p层通常不愿意支付超过10美元的费用来玩一个预期价值不确定的游戏，在我们的游戏中，玩家也应该只愿意支付游戏预期价值300万美元的部分。例如，如果我们假设我们的赌徒拥有logutility（Kelly解决方案imp所说的），并且拥有最低的可投资财富，那么他应该愿意支付大约10000美元来玩游戏（相当于预期效用的美元），这只是300万美元的一小部分，但相对于25美元的起始股份，这仍然是一笔非常大的绝对金额。对于有上限的支付（我们实际提供的游戏），一个简单的（但不是严格最优的）策略将包含对最大支付的估计。

如果受试者正确地假设，我们不会为每个玩家提供超过1000美元的上限，那么一个合理的启发式方法就是使用低于凯利标准的分数下注银行的固定比例，如果发现上限，则进一步降低下注分数，这取决于安全滑入最大支付的剩余时间。例如，下注一个人帐户的10%或15%可能是一个良好的开始策略。我们模拟了当受试者下注10%、15%和20%的固定比例财富时，达到上限的概率，并在成功下注超过上限时停止。我们发现，在任何一种比例不变的投注策略下，受试者达到250美元上限的概率为95%，因此游戏的预期价值（250美元上限）将略低于240美元。然而，如果他们实际上下注5%或40%，我们怀疑这个实验直到现在还没有进行的一个原因是，即使只有60名受试者，这也是一项相当昂贵的任务。我们对硬币进行了编程，将其放置在一个浮动模组中约4秒，以在每个浮动上产生一些悬念，并将浮动数量限制在300个左右。凯利说，你的首场赌注是5美元。该项投资的预期收益为1美元，因为有60%的几率赢得5美元，40%的几率输掉5美元=0.6*5-0.4*5=1美元。您下注时的资本是25美元，因此预期资本回报率为4%（1美元/25美元）。在遇到上限之前，或者如果受试者下注到0.04美元或更少，则每次连续的硬币将有相同的4%预期回报，此时他不能再下注其帐户的20%，因为我们限制受试者在每个硬币上下注0.01美元或更多。这正是期望值。