单调鞅运输计划与Skorohod嵌入

然后，对于所有Borel子集A R:PBτRP∧τRP∈ A.= PBτRP∈ A、 BτRP∈ K+ PBτRP∈ A、 BτRP∈ Kc公司= PBτRP∈ A、 BτRP∈ K+ PBτRP∈ A、 BτRP∈ Kc公司= PBτRP∈ A.,自BτRPi~ ν。因此τRP∧τRp嵌入ν。类似地，我们看到τRP∨τRp也嵌入ν。由于τRP和τRP都是最小嵌入，我们推断τRP∧ τRP=τRP∨ τRP，因此τRP=τRP。tuAs Tu，Td可以从停止时间中恢复u-a.s。τRit表明Tu，Td是唯一确定的，我们得到了定理4.4。假设u ν和u没有原子。u，ν精确地存在一左单调鞅耦合。备注4.5。在文献[5]中，定理4.4是在不假设u没有原子的情况下证明的。可以使用目前的方法来确定这一更普遍的结果；basicidea将度量u表示为setL上的无原子度量u：=[x∈Suppu{x}×[0，u（{x}）]。由于上述引申到更一般情况的论点是直截了当的，并且结果是从[5]中知道的，因此我们不进行详细阐述。最后，我们给出了单调鞅迁移计划的Skorohod嵌入解释的一个附加性质。提案4.6。流程B∧τRis是一致可积鞅。证据根据命题4.1和引理4.2，τR=τPis是具有起始度量u的ν的最小嵌入。自E起BτP= E[B]，我们从引理12和定理17 inCox[10]中知道，极小值等价于过程B的一致可积性∧τP。为方便读者，我们还提供了设置中一致性的直接证明。观察B∧τP∈Td（B）、Tu（B）, a、 然后，条件B，过程B∧τP是有界鞅。根据Jensen不等式，这提供了φ（Bt∧τP）| B≤ Eφ（BτP）| B, a、 s。

对于所有凸函数φ。特别是，对于任何常数c>0:E|英国电信∧τP | 1 | Bt∧τP|≥c≤ E2 | Bt∧τP |- c+≤ E2 | BτP |- c+,它提供了过程B的一致可积性∧τP。图参考文献[1]L.Ambrosio和N.Gigli。最佳运输用户指南。《网络流量建模与优化》，数学课堂讲稿2062卷。，第1-155页。施普林格，海德堡，2013年。[2] M.Beiglb¨ock、A.Cox和M.Huesmann。最佳传输和Skorokhod嵌入。发明数学2016年出版。[3] M.Beiglb¨ock和C.Griessler。最优性原理及其在最优性运输中的应用。ArXiv e-prints，2014年4月。[4] 贝格洛克先生、亨利·劳德埃先生和彭克纳先生。期权价格的模型独立界限：大众运输方法。《金融与随机》，17（3）：477–5012013。[5] M.Beiglb¨ock和N.Juillet。关于边际鞅约束下的最优运输问题。安。概率。，44（1）：42–1062016年。[6] M.Beiglb¨ock、M.Nutz和N.Touzi。线上鞅最优运输的完全对偶性。安。概率。，2016年出版。[7] B.Bouchard和M.Nutz。非支配离散时间模型中的套利和对偶。《应用概率年鉴》，25（2）：823–8592015。[8] Y.Brenier。D'ecomposition polaire et r'arrangement单调的矢量冠军。C、 R.Acad公司。Sci。巴黎塞尔。我学数学。，305（19）：805–8081987年。[9] L.Campi、I.Laachir和C.Martini。二边鞅输运问题中数值的变化。财务Stoch。，2017年6月发布。[10] A.M.G.考克斯。扩展Chacon-Walsh：最小值和广义起始分布。在《数学课堂讲稿》1934卷S'eminaire de probabilit'es XLI中。，第233-264页。柏林斯普林格，2008年。[11] 多林斯基和索纳。鞅最优运输和鲁棒套期保值不连续时间。概率。理论关系。

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