一类路径相关奇异随机控制问题

我们将充分利用与之前建立的受限BSDE之间的联系。6.2.1任何t的另一个奇异控制问题∈ [0，T]，让我们考虑以下控制集vtb：=n（us）T≤s≤T、 哪些是Rd-价值，英尺-可预测且有界。o、 对于任何（t，x）∈ [0，T]×Rd，we定义：T=supu∈VtbEPt公司U（Xt、x、uT）-ZTtδ（us）ds,其中，Xt、x、ui是(Ohmt、 Ft，oT，Pt）的值，x，u=x+Z·tusXt，x，美国ds+Z·tfsusds+Z·tσsXt，x，美国dBts，Pt-a.s。由于u有界且δ非负，因此该值函数始终定义良好。我们的第一步是展示一个人可以用它的面貌来代替上面的地图U。这是我们设定的[8]第3.1条提案的一个版本。证明推迟到附录中。引理6.4。假设2.1、2.3和d 6.2成立。那么，对于任何t<t，我们有yxt=supu∈VtbEPt公司bU（Xt、x、uT）-ZTtδ（us）ds.下一个结果是我们的FrameworkEmma 6.5中[8]的命题3.3。假设2.1、2.3和d 6.2成立。对于任何（t，x），我们都有∈ [0，T）×RdYxt=essupι∈L∞（英尺）nYx+fιt- δ（ι）o，a.s.，其中L∞（Ft）是Rd值、有界和Ft可测量随机变量的集合。现在我们可以给出本节的主要结果。提案6.6。假设2.1、2.3和6.2成立。然后，有一个常数C>0，对于任何0≤ t型≤ s<T，任意（x，x′）∈ Rd×RdYxt公司- Yx′t≤ Cx个- x′,Yxt公司- EPt[Yxs]≤ C（1+kxk）（s- t） 。6.2.2弱配方和任何（t，x）的主要结果∈ [0，T]×Rd和u∈ Vtb，我们现在定义以下Pt-等效测量pt，x，udPt=EZ·t（σs）-1.Xt，x，0fus·dBts.控制问题的弱公式定义为asYw，xt：=supu∈VtbEPt，x，uU（Xt，x，0）-ZTtδ（us）, 对于任何（t，x）∈ [0，T]×Rd.以下命题是[21]中备注3.8和定理4.5的简单结果。提案6.7。

对于任何（t，x）∈ [0，T]×Rd，我们有Yxt=Yw，xt。现在我们可以继续讨论定理6.3。根据[8]的定理4.1，我们对任何（t，x）都有∈ [0，T]×C，Yw，x（T）T=Yt，x定义为受约束BSDE（3.1）–（3.2）的第一个组件。然后，通过命题6.6和6.7，我们推导出存在一个常数C>0，使得对于任何（t，t′，x，x′）∈ [0，T]×[T，T]×C×CYt，xt- Yt，x′t≤ Cxt公司- x′t,Yt，xt- EPt[Yt′，xt′]≤ C（1+kxk）（t′）- t） 。然后应用定理3.2。参考文献【1】J.A.Bather和H.Cherno Off。控制太空船的顺序决策（有限燃料）。《应用可能性杂志》，4（3）：584–6041967。[2] J.A.Bather和H.Cherno ff。控制s节奏的连续决策。L.M.Le Cam和J.Neyman，《第五届伯克利数理统计和概率研讨会论文集》编辑，第3卷，181-2071967页。[3] F.E.Benth和K.Reikvam。奇异随机控制与最优停止之间的联系。AppliedMathematics&Optimization，49（1）：27–41，20 04。[4] F.Boetius。有界变分奇异随机控制与动态博弈。《暹罗控制与优化杂志》，44（4）：1289–13212005年。[5] F.Boetius和M.Kohlmann。最优停止和奇异随机控制之间的联系。《随机过程及其应用》，77（2）：253–2811998。[6] B.布沙尔。有限时间内最优切换问题的随机tar-get公式。《随机：概率与随机过程国际杂志》，81（2）：171–1972009。[7] B.Bouchard、P.Cheridito和Y.Hu。正在准备中。[8] B.Bouchard、R.'Elie和L.Moreau。在增益过程上具有凸约束的盲分离方程的正则性。伯努利出版社，2014年出版。[9] B.Bouchard和M.Nutz。广义状态约束的弱动态规划。

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《应用概率年鉴》，4（3）：609–6921994。命题2.4第2节的技术证明。（i） 首先，这是一个经典的结果，UT在UTSING中是密集的，在这个意义上，对于anyK∈ Utsing，有一些序列（νn）n≥0 UT，以便“支持”≤s≤T堪萨斯州-Zstνnrdr#-→n→+∞0。（A.1）从假设2.3、（2.3）和（2.4）中也可以清楚地看出，对于任何（t，x；K，K′）x=x′∈ [0，T]×C×（Utsing），对于某些常数C>0，它可能会因行而异EPt公司Ux个tXt、x、K- EPt公司Ux个tXt，x，K′≤ 塞普思x个t型Xt、x、K- Xt，x，K′∞,Ti公司1+EPthx个tXt、x、K2r级∞,Ti+EPthx个tXt，x，K′2r级∞,Ti公司≤ “接受”ZTtd公司堪萨斯州- K’s#1+kxkr∞,t+EPt“ZTtdKs2r#+EPt“ZTtdK’s公司2r#！。因此，我们立即推断出-→ EPt公司Ux个tXt、x、K是连续的，考虑到（A.1）中的收敛性。因此得出了第一个结果。（ii）这是一个经典结果，我们建议读者参考[8]中的命题4.1或[21]中的定理4.5。（iii）请注意，根据定义，FXt、xPtsatis定义了Blumenthal 0- 1法律以及可预测的martinga lerepresentation财产。这意味着下面的过程是（λt，xt，Ft，xt，oT，Ft，xt，Pt，x）Wt，x：=Z·t上的布朗运动σt，xs-1.Bt，xtdBt，xts- ut，xsBt，xtds公司, 实际上，通过对Pt，x的定义，我们知道Bt定律，xunder Pt，x=Xt，xunder Pt定律。（A.2）因此，既然我们有bt=Z·tσt，xs-1.Xt，xdXt，xs- ut，xsXt，xds公司, Pt-a.s.，结果立即符合布朗运动的Lévy特征和（2.9）。此外，我们还清楚地知道Wt定律，xunder-Pt，x=Pt下的bt定律。（A.3）接下来，对于任何ν∈ 我们定义了以下概率度量Pt，xνon（λt，xt，Ft，xt，oT）dPt，xνdPt，x：=EZ·tσt，xs-1.Bt，xtfsνs重量，xdWt，xsT、 据了解，我们将ν解释为Ctto Rd的（Borel）映射。

我们声称∈ [0，T]EPt，x，νUt，xXt，x= EPt，xνUt，xBt，x, 对于每个ν∈ Ut。事实上，我们先后使用了Pt，xν，（A.2），（A.3）和Pt，x，νEPt，xν的定义Ut，xBt，xt= EPt，xEZ·tσt，xs-1.Bt，xtfsνs重量，xdWt，xs图坦卡蒙，xBt，xt= EPt公司EZ·tσt，xs-1.Xt，xfsνs英国电信dBts图坦卡蒙，xXt，x= EPt，x，νUt，xXt，x.结果是立竿见影的。引理2.6的证明。很明显，序列是非递减的，因为集合的序列是U.，nis。此外，由于Uthave的元素由任意阶的定义矩决定，很明显∪n≥1Ut，在Ut中为致密，在任何ν的意义上为致密∈ Ut，存在一个序列（νm）m≥1对于任何m≥ 1，νm∈ Ut，mandEPt“ZTtkνr- νmrkdr#-→m级→+∞0。（A.4）通过与命题2.4证明中相同的论证，我们推导出v（t，x）=supν∈∪n≥1Ut，nEPtUt，xXt，x，ν= 画→+∞vn（t，x），因为集合Ut，nar相对于n不递减。B引理4.3第4节的技术证明。固定（t，x）∈ [0，T]×Candτ∈ Tt，x+并用（U，V）表示∈ St，x×Ht，Xt[t，τ]Us=τ上下列倒向随机微分方程的唯一解- t型-Zτs？n？Vr？dr-ZτsVr·dWt，xr，s∈ [t，τ]，Pt，x- 一s、 ，其中我们提醒读者，在我们的上下文中，τ是Ft，x，oτ-可测量的，并且我们总是可以考虑U（resp.V）的Pt，xversion，为了简单起见，我们仍然用U（resp.V）表示，它是Ft，xt，o-渐进可测量（可预测）。设u为任意Ft，xt，o-可预测的过程满足|u|≤ \'\'n，因此对于所有z∈ Rdwe有-\'n | z |≤ u·z。这尤其意味着Qu∈ Mt，x，’N带dqu：=EZTtus·dWt，xs！因此，根据标准，BSDE的比较结果（例如，参见[20]中的定理2.2]），我们没有≤ 等式u[τ-t] 。因此，u的任意性意味着UT≤ Ent[τ- t] 。（B.1）另一方面，让νnbe定义为νn·V=-\'n | V |并观察|νn |≤ \'\'n。

那么我们有Qn∈ Mt，x，\'nwithdQn：=EZTtνns·dWt，xs！因此，使用Utis是一个常数的事实- 1律=τ- t型-ZτtVs·dWt，xs- νNSD= 方程n[τ-t]≥ Ent[τ- t] ，由耳鼻喉科定义。最后一个不等式与（B.1）一起给出了ut=Ent[τ- t] 。由于τ>t，Pt，x-a.s.，因此通过严格比较得出结果（再次使用[20]中的orem 2.2）。命题4.4的证明。（i） vn的情况。我们按照[18，命题4.4的证明]的思路进行，将证明分为两个步骤。固定（t，x）∈ 【0，T】×C用于本部分的其余部分。步骤1：我们展示vn∈ C（[0，T]×∧0，x），满足动态规划原理，对于任何τ∈ t丰度θ∈ Tt，xvn（t，x）=supν∈Ut，nEPtvn（τ，xtXt，x，ν）= supν∈Ut，nEPt，xνvn（θ，xtBt，xt）（B.2）动态规划结果实际上是经典的，因为我们这里考虑的控制ν取Rd的一个紧子集中的值。我们让读者参考[21]中的命题2.5和定理3.3，同时我们强调他们对定理3的证明。3可以立即推广到u和σLipschitz连续线性增长（而不是Lipschitz连续和有界）的情况，因为它们只需要考虑SDE的强解的存在性。接下来我们将展示vn的连续性。对于任意（t，t′；x，x′）∈ [0，T]×[T，T]×C×C，我们有| vn（T，x）- vn（t′，x′）|≤ |vn（t，x）-vn（t，x′）+| vn（t，x′）-vn（t′，x′）|。我们现在分别估计上面右侧的两个术语。

我们首先使用假设2.3、（2.3）、（2.4）和控制ν∈ Ut，以n为界的nare√d | vn（t，x）- vn（t，x′）|≤ supν∈Ut，nEPthUt，xXt，x，ν- Ut，x′Xt，x′，ν我≤ C supν∈Ut，nEPthx个t型Xt，x，ν- Xt，x′，ν∞,Ti公司1+EPthx个tXt，x，ν2r级∞,Ti+EPthx′tXt，x′，ν2r级∞,Ti公司≤ Cdn1型∨rkx公司- x′k∞,t型1+kxkr∞,t+kx′kr∞,t型,其中常数Cd不依赖于n。接下来，使用（B.2）计算τ=t′，我们使用之前的计算和（2.2）| vn（t，x′）-vn（t′，x′）|≤ supν∈Ut，nEPthvn（t′，x′）tXt，x′，ν）-vn（t′，x′）我≤ Cdn1型∨rsupν∈Ut，nEPthx′tXt，x′，ν- x′∞,t′i1+kx′kr∞,t′+EPthx′tXt，x′，ν2r级∞,t′i≤ Cdn1型∨r+1+r（t′）- t）1+kx′kr+1∞,t+kx′kr+1∞,t′型.定义d∞, 因此，我们得到了| vn（t，x）- vn（t′，x′）|≤ Cdn1+r+1∨研发部∞（（t，x），（t′，x′）1+kxkr+1∞,t+kx′kr+1∞,t′型,证明了vn关于d的连续性∞.步骤2：我们证明VN是PPDE（4.1）的粘度子溶液。相反，假设存在（t，x；Д）∈ [0，T]×C×Avn（T，x）s.T.对于某些C>0-Lt，xа（t，xt）- nρ（ftD（t，xt））≥ 2c>0。在不丧失一般性的情况下，我们可以在定义中减少H∈ Avn（t，x），这样通过所有ab ovemaps的连续性，我们得到-Lt，xИ（s，Bt，xt）-nρ（fsD^1（s、Bt、xt））≥ c、 在【t，H】，Pt，x- 一s、 此外，观察每个s∈ [t，H]nρ（fsDД（s、Bt、xt））=supu∈[0，n]du·（f）sDν（s、Bt、xt）），因此通过定义Ut，nwe具有所有ν∈ Ut，n- Lt，xИ（s，Bt，xt）-νs·fsD^1（s、Bt、xt）≥ c、 在【t，H】，Pt，x- 一s

（B.3）由于ν在[t，H]上是光滑的，我们可以在Pt，xthatД下写入H、 Bt，xt= ^1t、 xt公司+ZHtLt，xД（s，Bt，xt）ds+ZHtDД（s，Bt，xt）·σt，xs（Bt，xt）dWt，xs=Дt、 xt公司+ZHtLt，xД（s，Bt，xt）+DД（s，Bt，xt）·fsνsds+ZHtDД（s，Bt，xt）·σt，xs（Bt，xt）dWt，xs- （σt，xs）-1（Bt，xt）fsνsds.自ν起∈ Ut，n，我们有Pt，xν∈ Mt，x，nso that by（B.3）：EPt，xν（^1）- （vn）t，x）H、 Bt，xt≤ -cEt[小时- t] +^1t、 xt公司- EPt，xν（vn）t，xH、 Bt，xt,取Pt，xν的最大值∈ Mt，x，位于左侧，并回顾∈ Avn（t，x），此给定0<Et（^1）- （vn）t，x）H、 Bt，x≤ -cEt[小时- t]- EPt，xν（vn）t，xH、 Bt，xt- （vn）t，xt、 xt公司,最后，根据动态规划原理（B.2），取ν的最小值∈ Ut，非右侧给定0<-cEt[小时- t] ，这是一个矛盾，因为引理4.3的右边是负数。步骤3：我们证明VN是PPDE（4.1）的粘度超溶液。相反，假设有（t，x；Д）∈ [0，T]×C×Avn（T，x），因此对于某些C>0-Lt，xа（t，xt）-nρ（ftD（t，xt））≤ -3c<0。再次观察每个s∈ [t，t]nρ（fsDД（s，Bt，x））=supu∈[0，n]du·（f）sDД（s，Bt，x）），因此*n∈ [0，n]d这样-Lt，xа（t，xt）-u*n·（f）tD（t，xt））≤ -2c。在不丧失一般性的情况下，我们可以在定义中减少H∈Avn（t，x），所以通过连续性，我们得到-Lt，xа（t，xt）-u*n·（f）sD^1（s、Bt、xt））≤ -c、 在【t，H】，Pt，x- 一s、 设置Ut的常数控制，n：νn≡ u*n、 因此我们有- Lt，xИ（s，Bt，xt）- νns·fsD^1（s、Bt、xt）≤ -c、 在【t，H】，Pt，x- 一s、 （B.4）由于Д在[t，H]上是光滑的，我们有，Pt，x- 一s、 ，^1H、 Bt，x= ^1t、 xt公司+ZHtLt，xД（s，Bt，xt）ds+ZHtDД（s，Bt，xt）·σt，xs（Bt，xt）dWt，xs=Дt、 xt公司+ZHtLt，xД（s，Bt，xt）+DД（s，Bt，xt）·fsνnsds+ZHtDД（s，Bt，xt）·σt，xs（Bt，xt）dWt，xs- （σt，xs）-1（Bt，xt）fsνnsds.根据（B.4），这是给定的，xνn（^1）- （vn）t，x）H、 Bt，xt≥ cEPt，xνn[H- t] +^1t、 xt公司- EPt，xνn（vn）t，xH、 Bt，xt.自^1起∈Avn（t，x），我们有等式ν（t，xt）=vn（t，x）。