不经过对偶问题的效用最大化

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英文标题：
《On utility maximization without passing by the dual problem》
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作者：
Miklos Rasonyi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We treat utility maximization from terminal wealth for an agent with utility function $U:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$ who dynamically invests in a continuous-time financial market and receives a possibly unbounded random endowment. We prove the existence of an optimal investment without introducing the associated dual problem. We rely on a recent result of Orlicz space theory, due to Delbaen and Owari which leads to a simple and transparent proof.   Our results apply to non-smooth utilities and even strict concavity can be relaxed. We can handle certain random endowments with non-hedgeable risks, complementing earlier papers. Constraints on the terminal wealth can also be incorporated.   As examples, we treat frictionless markets with finitely many assets and large financial markets.
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中文摘要：
我们将效用函数为U:\\mathbb{R}到\\mathbb{R}$的代理从终端财富中的效用最大化处理，该代理动态地投资于连续时间金融市场，并获得可能无限的随机捐赠。在不引入对偶问题的情况下，证明了最优投资的存在性。我们依赖于Orlicz空间理论的一个最新结果，这是由Delbaen和Owari得出的，它给出了一个简单而透明的证明。我们的结果适用于非光滑工具，甚至可以放宽严格的凹度。我们可以处理某些具有不可对冲风险的随机捐赠，这是对早期论文的补充。也可以纳入对终端财富的限制。作为例子，我们处理具有有限多资产的无摩擦市场和大型金融市场。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：效用最大化 最大化 maximization Optimization Differential

关于不经过对偶问题的效用最大化*Miklós Rásonyi2018Abstractwe对待效用函数为U:R的代理的终端财富效用最大化→ R在连续时间的金融市场中动态投资，并获得可能无限的随机捐赠。在不引入对偶问题的情况下，证明了最优投资的存在性。我们依赖于Orlicz空间理论的一个最新结果，这是由于toDelbaen和Owari得出的一个简单而透明的证明。我们的结果适用于非光滑工具，甚至可以导出严格的凹度。我们可以处理某些具有非对冲风险的随机捐赠，这是对早期论文的补充。对最终财富一词的限制也可以包括在内。作为示例，我们将无摩擦市场视为拥有众多资产和大型金融市场的市场。随着双重问题的复杂化，从终端财富中随机获得的效用最大化是很微妙的。这在【10】中首次被注意到。在这里，我们提出了一种方法来证明效用函数U在整条实线上是有限的，而极大化子只处理原始问题。这种方法允许在不解决双重问题的情况下处理随机捐赠。对终端财富的限制可以很容易地纳入lso。证明是透明的，而且相当直接。我们利用[13]的Komlós型紧性结果，见下面的引理2.2。当U定义为（0，∞), 效用最大化这一首要问题的直接解决方法在[27]中广为人知，并且已经在有约束（见[19]）或有摩擦（见[16，15]）的市场中得到了利用。对于具有domainR的U，我们的方法似乎是第一个避免解决对偶问题的方法。

U的共轭函数也出现在我们的方法中，我们使用Fenchel不等式和一些Orlicz空间理论，但对偶问题甚至不需要定义*作者感谢Freddy Delbaen和Keita Owari对第2节的讨论，感谢ananonymous裁判提供了非常有用的意见，这些意见导致了实质性的改进。特别感谢Ngoc Huy Chau进行讨论，帮助发现并消除错误。感谢匈牙利科学院“Lendület”资助LP 2015-6和NKFIH（匈牙利国家研究、发展和创新局）资助KH 126505所提供的支持。在第2节回顾了Orlicz空间理论的事实之后，我们在一般情况下，在第3节中制定了定理3.6、3.8、3.12、3.16和3.19，而不参考特定类型的市场模型。然后，我们通过考虑具有大量资产的无摩擦市场（第4节）和大型金融市场（第5节），证明了我们方法的威力。除了展示一种新的简单方法外，本文还对现有文献的改进做出了一些贡献。我们现在正在列出它们。o在无摩擦市场中，定理4。4和4.7允许无边界、可能无对冲的随机捐赠，详情见Rema rk 4.2和示例4.3。资产价格不必是局部有界的。我们不要求U的光滑度，也不要求严格的凹度。特别是，我们提供了损失泛函的极小值，参见示例4.6。

理论4.8中承认了对终端投资组合价值的一种非常普遍的约束在大型金融市场理论中，我们的方法是第一个在R上确定效用最大化的方法（在（0，∞) 在【11】中首次考虑；随后[20]在相同的环境中处理随机事件），参见第5.2节关于Orlicz空间的内容。Orlicz空间作为效用最大化的适当框架已经在[5、2、3]中得到提倡。这些空间在我们的方法中也起着至关重要的作用。我们写x+（分别为x-) 表示somex的正（负）部分∈ R、 固定概率空间(Ohm,F，P）。我们只识别P-零集上不同的随机变量。我们用L表示所有R值随机变量的集合。用L+表示的Lis中的非负元素族。符号Ex表示X的期望值∈ l无论何时，这都是明确的（即e X+或e X-是有限的）。如果Q是F上的另一个概率，则Xis的Q-期望由EQX表示。设L（Q）表示上Q-可积随机变量的一般Banach空间(Ohm,F，Q）对于某些概率Q。当P=Q时，我们简单地写下L。下面讨论中提到的结果的参考工作是【23】。在本文中，我们称Φ：R+→ R+一个Young函数，如果它是凸的，Φ（0）=0且limx→∞Φ（x）/x=∞. 集合Φ：={X∈ 五十： EΦ（γ| X |）<∞ 对于som e，γ>0}成为一个Banach空间（称为Orlicz空间，与Φ相关），其normkxkΦ：=inf{γ>0:X∈ γBΦ}，其中BΦ：={X∈ 五十： EΦ（| X |）≤ 1} 。定义共轭函数Φ*（y） ：=supx≥0[x y- Φ（x）]，y∈ R+。这也是一个年轻的函数，我们有（Φ*)*= Φ。我们说Φ是类的iflimsupx→∞Φ（2x）Φ（x）<∞.在这种情况下，alsohΦ：=supx≥1Φ（2x）Φ（x）<∞.备注2.1。设Φ为一个年轻函数。然后EΦ（| X |）<∞ 表示kXkΦ<∞当Φ为类时，这两个条件是等价的.

这些众所周知的观测在我们的论证中起着重要作用，因此为了方便起见，我们提供了它们的证明。首先假设EΦ（| X |）<∞. Φ的凸度和Φ（0）=0意味着Φ（x/m）≤Φ（x）/m（所有m）≥ 1和x≥ 0、取X，EΦ（| X |）=：M<∞. 然后EΦ（| X |/（M+1））<1因此，通过定义，kX kΦ≤ M+1<∞.逆方向看：ifΦ是类的年轻函数然后对于任何X∈ 五十、 kX kΦ<2kimpliesEΦ（| X |）≤ hkΦEΦ（| X |/2k）+Φ（2k）≤ hkΦ+Φ（2k），（1）对于所有整数k≥ 1、如果kX kΦ=：M′<∞ 那么，对于足够大的k，k>M′，因此EΦ（| X |）<∞, 按（1）。让我们回顾一下[13]的一个紧性结果，它对本论文的发展至关重要。引理2.2。设Φ是类的一个年轻函数设ξn，n≥ 1是LΦ中的有界赋范序列*. 然后是凸权重αnj≥ 0，n≤ j≤ M（n），PM（n）j=nαnj=1，使得ξ′n：=M（n）Xj=nαnjξj几乎肯定会收敛到某个ξ∈ LΦ*supnξ′n |在LΦ中*.证据这是推论3。第10页，共【13】页。3一般框架在本节中，没有固定的特定市场模型。相反，本文提出了一个抽象的框架，其中投资组合由其财富过程表示，在一定的参考概率测度集下，财富过程被假定为超鞅。我们推导出在这种情况下最优投资组合的存在性。设T>0为固定时间范围，并设(Ohm,F，（Ft）t∈[0，T]，P）是满足通常假设的随机基。我们对效用函数的要求总结在以下假设中。假设3.1。函数U:R→ R是非减量且凹的，U（0）=0。定义U byV（y）的凸共轭：=supx∈R【U（x）】- xy]。We stipulatelimx公司→-∞U（x）x=∞, （2） 四肢无力→∞V（2y）V（y）<∞. （3） 假设3.2。让U：R→ R是这样的Limsupx→-∞U（2x）U（x）<∞.

（4） 简单地说，风险厌恶型投资者被视为偏好更多而非更少的投资者。在许多相关研究中，U也被假定为连续可微且严格凹的。然而，为了达到损耗最小化的目的，对U的严格凹度要求过高。我们注意到，（2）表示V（y）>0，因为y足够大，因此（3）是有意义的。我们还指出，（3）是由标准的“合理渐近弹性”条件所暗示的，参见[26]的推论4.2，而nce（3）则相当于一个假设。然而，不可否认，条件（4）具有很大的限制性，因为它排除了指数效用等。定义：={Q<< P:EV（dQ/dP）<∞} （5） 让MaV PVbe是一组固定的“参考概率”。表示MeV：={Q∈ MaV:Q~ P} 。请注意，“参考概率集”MaV不需要凸性或封闭性假设。我们介绍：={Yt，t∈ [0，T]：Y是一个cádlágR上鞅，对于所有R∈ MaV，Y=0}。（6） 显然，S 6=；因为这里有相同的零上鞅。此外，S是凸的。我们现在规定了投资者收到的随机捐赠E的条件。假设3.3。存在Q∈ 百万电子伏。E是FT可测量的，对于所有R∈ MaV，ER | E |<∞.备注3.4。我们在目标概率P下为假设3.3提供了一个简单的充分条件。假设3.1有效，并考虑条件seu(-E+>-∞, 欧盟(-E-) > -∞. （7） 它们可以被解释为“随机捐赠的收益或损失不应该太大”，用U的尾部来衡量-∞. 注意，通过Fenchel不等式，对于任何R∈ MaV，ERE±≤ EV（dR/dP）- 欧盟(-E±）<∞,按（7）。我们得出结论，假设3.3适用于满足（7）的每一英尺可测量的E，前提是MeV6=；。我们定义一个非空凸集a 它的元素将对应于“可接受的”投资组合，具体取决于上下文。

我们可以想象，对于每个Y∈ A，YT代表可用投资机会的T值（例如，给定市场模型中动态再平衡投资组合的最终财富）。一般来说，{YT:Y∈ A}在任何合适的意义上都不是封闭的，因此需要在更大的一类进程上执行效用最大化。现在定义了这样一个类。AU：={Y∈ S：有Yn∈ A带U（YnT+E）∈ 五十、 n个≥ 1和U（YnT+E）→ U（YT+E），n→ ∞, 在L}。备注3.5。选择优化领域是一个微妙的问题→ R、 上述定义遵循[26]的选择。在那篇论文中（以及在许多后续研究中），A是一组从下到下的组合价值过程（这些都位于S中），优化的领域是它的“闭包”AU。定理3.6。让假设3.1、3.2和3.3生效，并将U限制在上面。然后存在Y+∈ AUsuch thatEU（Y+T+E）=supY∈AUEU（YT+E），前提是AU6=；。备注3.7。AU6=的充分条件；isEU（E）>-∞, 0∈ A，（8）自0起∈ 实际上，在假设3.2下，（8）表示EU（e+z）>-∞ 对于所有z≤ 也为0。因此，在（8）下，Y∈ AUY时∈ A和YTis有界。定理3.6的证明。设β表示U在0处的左导数。定义Φ*（x） :=-U型(-x） ，x≥ 0、其共轭等于Φ（y）：=Φ**（y） =（0，如果0≤ y≤ β、 V（y）- V（β），如果y>β，请参见示例[5]。Φ*是（2）的一个年轻函数，因此Φ也是一个类的年轻函数按（3）。让Yn∈ AU，n∈ N使EU（YnT+E）→ 苏比∈AUEU（YT+E），n→ ∞, （9） 其中后一个上确界>-∞ 按AU6=；。根据AUwe的定义，我们可能会假设Yn∈ A，n≥ 1、按照假设3.3固定Q。根据芬切尔不等式，等式[YnT+E]-≤ EΦ（dQ/dP）- 欧盟(-【YnT+E】-) （10） 通过U（0）=0，我们得到-U型(-【YnT+E】-) = [U（YnT+E）]-.让C≥ 0表示U的上限。

我们必须有SUPNE[U（YnT+E）]-< ∞ （11） otherwiseinfnEU（YnT+E）≤ C- 仰卧[U（YnT+E）]-= -∞这显然与（9）相矛盾。我们可能也会认为∈ Q、 因为在Q下，yn是一个超级鞅，所以我们有-, t型∈ [0，T]是一个Q-子鞅，因此我们得到，对于所有T∈ Q∩ [0，T]，supnEQ | Ynt |≤ 2supnEQ[Ynt]-≤2supnEQ[YnT]-≤ 2supnEQ[YnT+E]-+ 2EQE+<∞,由（10），（11）和假设3.3可知，Komlós定理和对角参数意味着子序列（我们继续用n表示）的存在，使得▄Yn：=nnXj=1Yj∈ A，n≥ 1，满足▄Ynt→Y+tQ几乎肯定（因此也是P-几乎肯定）t∈ [0，T]∩Q其中▄Y+t，t∈ [0，T]∩ Q是一个（有限值）过程。因为U是凹的，所以我们有eu（~YnT+E）→ 苏比∈AUEU（YnT+E），n→ ∞,以及assupnEΦ*（[▄YnT+E]-) = 仰卧【U（~YnT+E）】-≤ 仰卧[U（YnT+E）]-< ∞. （12） 设置ξn：=[YnT+E]-. 注意supnekξnkΦ*< ∞,根据（12）和备注2.1。应用引理2.2，我们得到了凸权αnj≥ 0，n≤ j≤ M（n），PM（n）j=nαnj=1，使得zn：=M（n）Xj=nαnjξn，n≥ 1统计值：=ksupnZnkΦ*+ 1<∞. （13） 现在定义：=M（n）Xj=nαnjYn∈ A，n≥ 1，并设置wT：=supnYnT+E'-.我们声称，对于所有R，wTis R-可积∈ MaV公司。实际上，使用映射x的凸性→ x个-,wT公司≤ supnM（n）Xj=nαnj（~YjT+E）-≤ supnZn公司。（14） 根据Fenchel不等式和（13），ERsupnZn≤ LER·supnZnL,≤ LEΦ（dR/dP）+LEΦ*usupnZnLP≤LEΦ（dR/dP）+L<∞,这显示了cla im。现在做一个R∈ MaV公司。定义R-鞅εRt：=ER[E | Ft]，t∈ [0，T]并通过假设3.3注意到εRT=E。还应确定R-鞅wrt：=ER【wT | Ft】，t∈ [0，T]，（我们对两个wRandεR都采用cádlág版本）。因为，很明显，Yt→Y+t对于t∈ [0，T]∩ Q和，通过[Yt+εRt]的R-次鞅性质-, t型∈ [0，T]，supnER[Yt+εRt]-≤ supnERh[钇+εT]-|Fti公司≤ wRt，我们得到▄Y+t+εRt，t∈ [0，T]∩ Q是每个R的R-超鞅∈ MaVandso是▄Y+t，t∈ [0，T]∩ Q、 特别是，这适用于R=Q∈ 百万电子伏。

因此，alsoYt：=lims∈Q∩[0，T]，s↓t+Y+s，t∈ [0，T），YT：=▄Y+T，（其中存在极限Q~ P-几乎可以肯定），是一个cádlág R-超鞅，使用+Y+t≥ -wRt公司-εRt，t∈ [0，T]。因为这个参数适用于每个R∈ MaV，这太愚蠢了∈ S（15） 注意，到目前为止，我们还没有使用假设3.2。函数Φ*属于班级按（4）。因此，根据（13）和备注2.1，EΦ*（supnZn）<∞ （16） 如下所示。注意（16），（14）以及U从上方有界的事实，支配收敛意味着U（YnT+E）→ L、n中的U（YT+E）→ ∞, （17） 通过序列yn的构造，我们得到了eu（YT+E）=supY∈AUEU（YnT+E）。同Y∈ AUholds by（17），我们可以设置Y+：=Y。正如我们所指出的，假设3.2是限制性的，最好放弃它。如果我们修改优化领域的假设，这是可能的。A序列Yn∈ S，n∈ N称为Fatou收敛，如果YnT→ Z、 n个→ ∞ a、 对于一些随机变量Z和每个R∈ MaVthere are a Rmartingale wRwith infnYnt≥ wRta。s、 ，对于所有t∈ [0，T]。A I类 对于每个Fatou收敛序列Yn，S是Fatou闭的∈ I，n∈ N、 存在Y∈ I物业YT≥ Z a.s.定理3.8。假设第3.1条和第3.3条成立，并让其生效；6=I S beconvex和Fatou关闭。然后是Y+∈ I使Eu（Y+T+E）=s upY∈IEU（YT+E）。证据如果上确界为-∞ 那就没什么可证明的了。否则，我们遵循定理3.6到（15）的证明步骤，但用A，AUboth替换为I。I的Fatou贴近度意味着有Y+∈ I带Y+T≥ YT.由Ynand和Fatou引理构造，EU（Y+T+E）≥ 欧盟（YT+E）≥ s upY公司∈IEU（YT+E），但这里必须有相等值，因为Y+∈ 我备注3.9。优化域的Fatou闭包性质在无摩擦市场的套利理论中很常见。然而，我们使用的概念与例如。

[12] 它更适合我们的目的。澳大利亚的定义强调了通过“可接受”策略的值过程（即A级策略）近似优化领域中每个元素的可能性。这是大型市场的一个关键特征，请参见第5节。我可以认为优化的领域可能“更大”，每个值过程只需要supermartingale属性。像我这样的思考领域遵循了文献流，如[4]和[21]。定理3.6、3.8的一个缺点是假设U从上方有界。人们可以以要求更多MeV为代价来放宽这一条件。假设3.10。乐土（x）≤ D[xα+1]，x≥ 0，（18）带som e 0≤ α<1，D>0。E是FT可测量的，ER | E |<∞ 每小时∈ MaV公司。我们规定了Q的存在性∈ E（dP/dQ）r<∞ 对于somer>α/（1）- α） 。备注3.11。我们用一个简单的效用函数例子来解释这个假设的意义。设0<α<1和β>1，setU（x）：=α[（1+x）α- 1] 对于x≥ 0，U（x）：=-β[（1- x） β- 1] 对于x<0。在这种情况下，可怕的ct计算表明Q∈ MeVimpliesE（dP/dQ）α/（1）-α） <∞,但高次r＞α/（1）的可积性-α） 不一定成立。因此，假设3.10所要求的是“dP/dQ的可积性略高于Q存在的标准假设所暗示的”∈ 百万电子伏。放弃后一个条件会很好，但我们不知道如何做到这一点。我们注意到，（18）略弱于“合理渐近弹性”的标准条件，见[26]和[18]的Le mma 6.5。定理3.12。假设3.1、3.2和3.10有效，并假设AU6=；。然后存在Y+∈ AUsuch thatEU（Y+T+E）=supY∈AUEU（YT+E）。证据我们仅指出需要对第3.6条的证明进行修改的内容。我们借鉴了[25]的观点。