量纲分析的惊人力量：量化市场影响

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英文标题：
《The amazing power of dimensional analysis: Quantifying market impact》
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作者：
Mathias Pohl, Alexander Ristig, Walter Schachermayer and Ludovic
  Tangpi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This note complements the inspiring work on dimensional analysis and market microstructure by Kyle and Obizhaeva [18]. Following closely these authors, our main result shows by a similar argument as usually applied in physics the following remarkable fact. If the market impact of a meta-order only depends on four well-defined and financially meaningful variables, then -- up to a constant -- there is only one possible form of this dependence. In particular, the market impact is proportional to the square-root of the size of the meta-order.   This theorem can be regarded as a special case of a more general result of Kyle and Obizhaeva. These authors consider five variables which might have an influence on the size of the market impact. In this case one finds a richer variety of possible functional relations which we precisely characterize. We also discuss the analogies to classical arguments from physics, such as the period of a pendulum.
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中文摘要：
本说明补充了Kyle和Obizhaeva在维度分析和市场微观结构方面的鼓舞人心的工作【18】。紧跟着这些作者，我们的主要结果通过一个与物理学中通常应用的论点相似的论点，表明了以下显著的事实。如果一个元订单的市场影响只取决于四个定义明确且在财务上有意义的变量，那么——直到一个常数——这种依赖性只有一种可能的形式。特别是，市场影响与元订单大小的平方根成正比。这个定理可以看作是Kyle和Obizhaeva更一般结果的特例。这些作者考虑了可能影响市场影响大小的五个变量。在这种情况下，我们可以找到更丰富的函数关系，我们可以精确地描述这些关系。我们还讨论了与经典物理参数的类比，例如钟摆的周期。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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关键词：proportional Quantitative Dimensional QUANTITATIV complements

维度分析的惊人力量：量化市场影响*Mathias Pohl+Alexander RistigWalter Schachermayer§Ludovic TangpiP2017年9月28日摘要。本说明补充了Kyle和Obizhaeva在维度分析和市场微观结构方面的鼓舞人心的工作【18】。继这些作者之后，我们的主要结果通过一个通常应用于物理学的类似论点表明了以下显著事实。如果元订单的市场影响只取决于四个定义明确且具有财务意义的变量，那么，这种依赖性只有一种可能的形式。特别是，市场影响与元秩序大小的平方根成正比。这个定理可以看作是fKyle和Obizhaeva更一般结果的特例。这些作者考虑了可能影响市场影响大小的五个变量。在这种情况下，我们可以找到我们精确描述的丰富的可能函数关系。我们还将其与物理学中的经典论点进行类比，例如钟摆的周期。关键词：量纲分析；市场影响；利用中立性。简介量纲分析是物理学中一个众所周知的论点。考虑一个经典的例子：钟摆的周期，可以最好地解释这个想法。基本假设是，期限仅取决于以下质量：*所有作者都感谢维也纳科技基金会（WWTF）通过项目MA14-008提供的支持。W

Schachermayer还得到WWTF项目MA16-021和奥地利科学基金（FWF）的资助，资助项目为P25815和P28861。+维耶纳大学数学系和商业、经济与统计系，奥斯卡莫尔根斯坦广场1号，1090维也纳，奥地利，马蒂亚斯。pohl@univie.ac.at奥地利亚历山大维也纳1090 OskarMorgenstern Platz 1，维耶纳大学数学系和商业、经济与统计系。ristig@univie.ac.at§维也纳大学数学系，Oskar Morgenstern Platz 1，1090 Vienna，Austria，walter。schachermayer@univie.ac.atP维也纳大学数学系，Oskar Morgenstern Platz 11990 Vi enna，Austria，ludovic。tangpi@univie.ac.ato摆锤的长度l，单位为米，o摆锤的质量m，单位为g rams，o重力引起的加速度g，单位为米/秒/平方。基本假设相当于公式，周期=f（l，m，g），（1），其中周期以秒为单位，f是一个先验的任意函数。当然，关系式（1）不应该取决于我们是用米还是英寸来测量长度，是用秒还是分钟来测量时间，是用克还是磅来测量质量。将这三个要求与ansatzf（l，m，g）=常数·lymygy相结合，（2）这些要求转化为变量y，y，y中的三个线性方程。唯一解产生了众所周知的关系（详情见【15】和下面的附录A）period=常数·slg。（3） 这个结果可以追溯到Ga lileo。在十九世纪，boveargument中使用的初等线性代数已在适当的通用性中正式化，并且不以“Pi定理”的名称命名（见下文第3节）。

值得一提的是，在本案中，ansatz（2）没有对解决方案（3）的一般性进行重新限制（见下文附录A）。凯尔（Kyle）和奥比扎耶娃（Obizhaeva）在[18]中运用了这一论点来分析元订单的市场影响：想想一个投资者想要在有限的时间（例如两天）内购买（或出售）相当数量的基础股票。当然，在下这个元订单时，她会把它分成更小的部分，即实际订单，以某种（希望）更聪明的方式。尽管如此，我们预计报价将对代理商不利。我们将这种价格变动的预计规模（以价格百分比衡量）称为市场影响，见【6】。我们首先确定我们认为对市场影响大小有影响的变量（及其维度[·]）：oQ元顺序的s iz e，以份额为单位【Q】=s，oP股票价格，以每股货币为单位【P】=U/s，oV股票交易量，以每股s股为单位【V】=s/T，oσ——股票波动率的平方，以股票价格在时间单位内的百分比衡量【σ】=T-这4个变量是以时间T、货币U和股票S这3个基本维度的单位来衡量的。现在我们来计算以下基本假设。假设1。市场影响G仅取决于上述4个变量，即G=G（Q，P，V，σ），（4），其中函数G:R+→ R+和数量G在测量“尺寸”T、U、S所选择的单位变化下是不变的。我们注意到，G是股票报价的百分比；因此，它是一个“无量纲”量，即在测量T、U和S的单位发生变化时不变。因此，我们遇到了摆锤示例中的类似情况。

然而，与上述情况有很大不同：我们现在有4个变量，即Q、P、V和σ，但只有3个方程是由基本维度T、U、S的标度不变性产生的。我们还需要一个方程来获得上述（3）中的清晰结果。凯尔和奥比扎耶娃找到了补救办法；另一个“无套利”类型的论点，可以从将莫迪利安尼-米勒不变性原理转移到市场微观结构中推导出来。要确定想法，请考虑一只股票，它是一家公司的股份。假设公司通过支付股息或通过筹集新资本来改变其资本结构。Modigliani-Miller定理精确地告诉我们，当根据公司债务和股权之间的关系改变杠杆率时，哪些数量保持不变。这一见解应提供一个以上等式，以满足（4）的要求。有关详细信息，请参阅下文第4节。随后的假设暗示了这种额外的限制，Kyle和Obizhaeva称之为“杠杆中立”，并引用了Modigliani和Miller的开创性论文中的第1点（参见下面的假设5了解更正式的定义）。假设2（杠杆中立）。任何公司的市值都独立于其资本结构。事实证明，这种不变性确实提供了一个类似于通过上述标度参数得到的方程的线性方程。因此，我们发现自己处于与钟摆完全相似的情况，并且拥有与未知数相同的等式，即四个。定理1。

在假设1和2下，对于某些常数cons t>0，市场影响的形式为g=const·σrQV，（5）。特别是，我们根据一些理论和经验发现，发现市场影响对订单规模eQ的平方根依赖性（见下文文献综述）。事实上，上述论点与Kyle a ndObizhaeva在[18]中所做的并不完全一致（也可与[17]进行比较）。他们考虑了另一个可能影响市场影响的变量。这些作者假设代理在准备放置元订单时会面临成本C，作者称之为“赌注成本”。这种“下注成本”C可能独立于订单规模Q以及2017年7月发布的[18]版本而变化，C被定义为执行下注的无条件预期美元成本，即元订单。上述数量P、V和σ。因此，他们考虑了可能影响市场影响的第五个数量：oC“b et成本”，以货币单位衡量【C】=U。换句话说，Kyle和Obizhaeva只使用了比上述假设1更弱的后续假设。假设3。市场影响G仅取决于上述5个变量，即G=G（Q，P，V，σ，C），（6），其中函数G:R+→ R+以及数量G在测量“维度”T、U和S所选择的单位变化下是不变的。从这一较弱的假设出发，Kyle和Obizhaeva应用了与上述类似的推理，尤其是杠杆中性的论证。这导致了一个由五个未知量组成的四线性方程组。这个解不再是唯一的，而是留给我们一个自由度，这个自由度由下面的函数f表示。定理2（Kyle和Obizhaeva）。

在假设2和3下，市场影响的形式为g=Lf（Z），其中f:R+→ R+是一个函数，量L和Z由L给出=P VσC1/3和Z=QPσV C1/3。（7） 先验地，函数f:R的一般性+→ R+不受假设3的限制。进一步细化如ansatz（2）中所述，对于某些p，可以假设f的形式为f（z）=常数·zp≥ 这意味着G=const·Zp/L。特别是，p=1/2的选择精确地导致了上述定理1中的关系式（5）。p的其他选择导致不同的关系，其中一些已经在文献中考虑过。此外，我们想强调的是，从衡量流动性和元订单规模的角度来看，数量L和Z具有财务意义的解释（见[18]）。本说明的路线图如下所示。在第2节中，我们简要回顾了现有文献。第3节介绍了一些符号以及从量纲分析得到的所谓Pi-T定理，这是严格证明第4节中定理1和定理2的关键。第5节结束。附录A更详细地讨论了导言中提到的示例，即钟摆的周期，同时将一些证明移至附录B.2。文献综述正如最近的综述[7、12]所指出的，市场影响可能来自不同的来源。例如，凯尔在他的开创性论文【16】中，从一个基于代理的模型中得出了一个结论，即市场影响应该是按顺序线性的，并且在时间上是永久的。然而，大多数研究并不支持凯尔模型的这一结论。相反，大量文献发现，订单规模的市场影响是非线性的，并且会随着时间的推移而减弱，例如[7]。

特别是，市场影响经常被发现在元顺序的大小上是凹的，特别是接近平方根函数，这导致了市场影响的平方根定律，参见【2、4、8、11、14、19、21、23】。在其他结果中，有利于平方根定律的市场微观结构基础见【13】。平方根定律的广泛证据依赖于来自不同地点、成熟度、历史时期和地理区域的数据研究，从而为平方根定律提供了普遍性。另一方面，值得一提的是，一些研究从经验上揭示了与平方根定律的偏差，例如[1，24]。让我们通过再次暗示与钟摆周期的类比，来阐述n维分析与一般理论之间的关系。作为对介绍性示例的补充，物理关系（3）当然也可以从求解微分方程中推导出来。显然，市场影响的平方根定律可以通过求解偏微分方程得到，见【10】。这些作者根据最小模型要求下的部分微分方程，描述了潜在订单簿的平均买卖量密度的动力学。虽然潜在订单簿是一个记录市场参与者交易意图的理论概念，但交易者通常不会显示其真实的供需情况，因此，实际的、非公开的潜在订单簿不同于观察到的限额订单簿。当我们通过量纲分析得出市场影响的平方根定律时，定理1补充了现有文献。3、一些线性代数复习量纲分析的基本结果，我们遵循Bluman和Kumei的书的第1章[5]。

此外，感兴趣的读者可以参考[22]了解历史观点，也可以参考[9]了解量纲分析的纯数学处理。我们以适当的概括性将量纲分析背后的假设形式化。然而，为了本论文的目的，我们只需要以下推论4和5所涵盖的一般性定义。假设4（量纲分析）。（i） 让感兴趣的数量U∈ R+取决于n个量W，西尼罗河∈ R+，即U=H（W，W，…，Wn），（8）对于某些函数H:Rn+→ R+。（ii）数量U、W、，Wn根据m基本尺寸L，Lm，其中m≤ n、 对于任何正数X，其维数【X】满足【X】=Lx···lxmm对于某些X，xm公司∈ R、 如果[X]=1，则数量X称为无量纲。数量U、W、W……的尺寸，Wn已知并以向量a和b（i）的形式给出∈ Rm，i=1，n、 满足【U】=La···Lammand【Wi】=Lb1i··Lbmim，i=1，n、 表示为B=（B（1），B（2），b（n））具有列向量b（i）=（b1i，…，bmi）的m×n矩阵, i=1，n、 （iii）对于给定的基本尺寸L，Lm，一种单位制，用于测量一个量的值。从一个单位系统到另一个单位系统的变化相当于重新调整所有考虑的数量。特别是，无量纲平方保持不变，公式（8）在基本量纲的任意缩放下保持不变。我们现在可以陈述量纲分析的主要结果（见[5]）。定理3（Pi定理）。在假设4下，设x（i）：=（x1i，…，xni）, i=1，k：=n- 秩（B）是齐次系统Bx=0和y的解的基础：=（y，…，yn）非均匀系统的解分别为=a。

然后，有一个函数F:Rk+→ R+此类t hatU·W-y···W-ynn=F（π，…，πk），其中πi：=Wx1i···wxnin是无量纲量，对于i=1，k、 我们只需要特殊情况k=0和k=1，这在随后的两个推论中有详细说明。推论4。在假设4下，假设秩（B）=n，让y：=（y，…，yn）B线性系统的唯一解为By=a。然后有一个常数>0，例如常数=Wy··Wynn。推论5。在假设4下，假设秩（B）=n-1，设x：=（x，…，xn）和y：=（y，…，yn）分别是齐次和非齐次系统Bx=0和By=a的非平凡解。然后有一个函数F:R+→ R+suchthatU=F（Wx···Wxnn）Wy··Wynn。4、市场影响本节的目的是通过应用推论4和5，对引言中所述的定理1和定理2进行恶意化和证明。为了从这些推论中得出市场影响函数，我们需要在第3节的框架内将假设2形式化。因此，我们对这一假设进行了更深入的研究，因此，在改变下文定义的公司杠杆率的情况下，数量G、Q、P、V、σ和C的行为也进行了更深入的研究。从概念的角度来看，杠杆中立的假设对他们的行为产生了额外的约束。在我们的分析中，这一约束可以理解为一个额外的合成维度，我们称之为Modigliani-Miller“维度”M。公司股份的Modigliani-Miller维度M可以用杠杆L来衡量，即数量L=总资产权益。将L乘以系数a>1等于支付（1- A.-1） 股票的现金股利。