块三角矩阵指数的增量计算

此外，观察到incexpm明显快于expm（矩阵尺寸较小除外），同时提供相同的精度水平。这两个incexpm的运行时间也接近于应用于最终矩阵τGn（4.64s）的Matlab expm的运行时间。表2：n=61的Jac obi模型的总运行时间和期权价格错误。算法时间相对值。价格误差表42.97 1.840e-03incexpm（自适应）5.84 1.840e-03incexpm（s=7）5.60 1.840e-03表2显示了不同算法对总体算法7、执行时间和准确性的影响。关于准确性，我们计算了与参考期权价格相对应的相对误差，参考期权价格通过考虑截断顺序n=100计算得出。可以观察到，三种算法的精度没有差异。备注4.1。在雅可比模型中，从生成器中啃出的块三角矩阵实际上表现出额外的结构。它们是非常稀疏的，对角线块实际上是置换三角矩阵（虽然这不适用于一般的多项式微分模型）。例如，对于n=2，雅可比模型中的矩阵由g显式给出=rκθ0-ρσvmaxvminS-σvmaxvminS0 0 2rκθ0--κ1 r+ρσ（vmax+vmin）S2κθ+σ（vmax+vmin）S0 0 0-1.-κ00--ρσS-2κ-σS,对于S：=(√vmax（最大值）-√vmin）。虽然在计算对角块的LU分解时，expm和InExpm会自动考虑对角块的特殊结构，但要从稀疏性中获益并非易事。从sparsematrix算法开始，矩阵在计算初始有理逼近时迅速变得稠密，在平方阶段尤为明显。

在我们所有的数值实验中，我们始终使用密集矩阵表示。我们对Heston而不是Jacobi模型重复了上述实验，也就是说，我们研究了在算法8中使用我们的算法计算矩阵Xp的影响。我们发现，在运行时间和精度方面，matrixexp onentials本身的计算结果与J acobi模型（图2）的结果非常相似，因此我们不提供进一步的细节。然而，两者之间存在着显著的差异。停止标准的评估需要两个SDP的解，这很快会带来计算上的挑战，最终完全控制计算矩阵xP单数所需的时间。总结和未来工作我们介绍了缩放和平方算法的技术，这些技术允许块三角矩阵指数的增量计算。我们将这些技术与自适应缩放策略相结合，该策略允许在此序列中快速且准确地计算每个矩阵指数（算法6）。对于我们在多项式扩散模型中的应用，可以通过使用固定的标度参数进一步减少运行时间，该参数是通过引理s 3.2和3.3中的估计技术确定的。我们在数值实验中观察到，即使对于非常小的固定标度参数，也可以获得这些矩阵指数的精确近似值。对于二乘二块三角矩阵的情况，Dieci和Papini[3,4]的结果支持这一发现，但将这些结果扩展到更一般的设置将是可观的。参考文献[1]达米恩·阿克勒、达米尔·菲利波维奇和塞尔吉奥·普利多。Jac-obi随机波动率模型。S wiss金融研究所研究论文（16-35），2016年。[2] D.A.Bini、S.Dendievel、G.L atouche和B.Meini。

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