衍生工具估值中的二元融资影响

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英文标题：
《Binary Funding Impacts in Derivative Valuation》
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作者：
Junbeom Lee, Chao Zhou
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We discuss the binary nature of funding impact in derivative valuation. Under some conditions, funding is either a cost or a benefit, i.e., one of the lending/borrowing rates does not play a role in pricing derivatives. When derivatives are priced, considering different lending/borrowing rates leads to semi-linear BSDEs and PDEs, and thus it is necessary to solve the equations numerically. However, once it can be guaranteed that only one of the rates affects pricing, linear equations can be recovered and analytical formulae can be derived. Moreover, as a byproduct, our results explain how debt value adjustment (DVA) and funding benefits are dissimilar. It is often believed that considering both DVA and funding benefits results in a double-counting issue but it will be shown that the two components are affected by different mathematical structures of derivative transactions. We find that funding benefit is related to the decreasing property of the payoff function, but this relationship decreases as the funding choices of underlying assets are transferred to repo markets.
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中文摘要：
我们讨论了衍生工具估值中融资影响的二元性质。在某些情况下，融资要么是一种成本，要么是一种收益，即借贷利率之一在衍生产品定价中不起作用。当衍生工具定价时，考虑不同的借贷利率会导致半线性BSDE和PDE，因此有必要对方程进行数值求解。然而，一旦能够保证只有一种利率影响定价，就可以恢复线性方程，并推导出分析公式。此外，作为一个副产品，我们的结果解释了债务价值调整（DVA）和融资收益是如何不同的。人们通常认为，同时考虑DVA和融资收益会导致重复计算问题，但这将表明，这两个组成部分受到衍生品交易不同数学结构的影响。我们发现，融资收益与收益函数的递减性质有关，但随着标的资产的融资选择转移到回购市场，这种关系会减弱。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Binary_Funding_Impacts_in_Derivative_Valuation.pdf (351.52 KB)

2022-5-31 05:16:26 上传

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关键词：衍生工具 Mathematical Quantitative Transactions relationship

衍生工具估值中的二元资金影响*Junbeom Lee+潮州摘要我们讨论了衍生工具估值中资金影响的二元性质。在某些情况下，融资要么是一种成本，要么是一种收益，即其中一种借贷利率在衍生品定价中不起作用。当衍生工具定价时，考虑到不同的借贷利率，会导致半线性BSDE和PDE，因此有必要对方程进行数值求解。然而，一旦能够保证只有一种利率影响定价，就可以恢复线性方程，并推导出分析公式。此外，作为一个副产品，我们的结果解释了债务价值调整（DVA）和融资收益是如何不同的。人们通常认为，同时考虑DVA和融资收益会导致重复计算问题，但可以看出，这两个组成部分受到不同的衍生交易数学结构的影响。我们发现，融资收益与支付功能的性质减少有关，但随着基础资产的融资选择转移到采购市场，这种关系会减弱。关键词：BSDEs；Malliavin微积分；双边合同；资金收益；非线性市场。AMS ubj e ct分类：H, G, G*致谢：作者感谢匿名联合编辑、副编辑和审稿人为改进本文所做的宝贵工作。作者还感谢斯特凡·克雷佩伊（StéphaneCrépey）发表的富有洞察力的评论。最后，作者感谢Dylan Possamai在研讨会上就风险度量、XVA分析、资本分配和中央对手进行的讨论().+韩国远大证券销售与交易部， 韩国首尔。电子邮件：junbeoml@通用汽车公司邮箱。com。这项工作大部分是在作者在新加坡国立大学时进行的。

本文中的观点是作者的观点，并不代表韩国远大证券的观点。本文作者由新加坡教育部AcRF资助R---- 和R----.新加坡国立大学运筹学与分析研究所数学系和苏州研究所, 新加坡。电子邮件：matzc@nus.edu.sg.本文作者由新加坡教育部AcRF资助R----, R---- 和R----. 对银行的交易台来说，信用价值调整（CVA）和债务价值调整（DVA）已经成为一种标准。年金融危机之后-, 由于伦敦银行同业拆放利率（LIBOR）和隔夜指数掉期（OIS）利率之间的差距扩大，银行开始考虑其融资利差。由于它们的借贷利率差异很大，非金融市场模型对于定价具有融资影响的衍生品是必要的。这些普遍做法迫使我们重新审视现有的理论。Bichuch等人介绍了实体特定参数（如违约风险和融资利差）下的公允价值定义(); Bielecki等人(); Bielecki&Rutkowski(); Kim等人(). 此外，还为集体调整制定了许多其他定价方法，例如，见Brigo等人(); 克雷佩伊(a、 b）；李和吴(); 皮特堡(); 吴().然而，调整中的某些难题仍然存在。其中一个难题是DVA do-uble是否会计算资金收益。融资收益减少了银行需要筹集的资金数量，但筹集资金的成本取决于银行的违约风险。

因此，包括DVA和融资收益可能会影响银行的报告利润，也可能会降低向交易对手收取的价格，如Cameron() 和章节 inGregory公司(). 此外，考虑银行自身的融资利率也是有争议的。根据Modigliani-Miller（MM）定理，定价时不应考虑资金的选择（Modigliani和Miller，; 斯蒂格利茨，). 在实践中，交易员认为在衍生品交易中可以观察到融资成本（见Andersen等人。，)). 正如Hull&White指出的(), 然而，如果融资利率真的是决定衍生价格的一个要素，那么国债的存在是一个谜，因为银行购买的国债回报率低于其融资利率。以上问题将与本文的主要结果一起讨论。我们的主要贡献是证明了融资影响的二元性，在这种二元性中，融资对于许多衍生产品合同来说要么是一种收益，要么是一种成本。例如，稍后将显示，根据我们的模型，在购买债券时，交易者永远不会进入借贷头寸，即没有有趣的成本，在这种情况下，融资总是一种好处。因此，如果我们假设贷款利率等于OIS利率（例如，inBurgard&Kjaer，), 不应考虑资金影响。这或许可以解释为什么银行在购买国债时不补偿融资成本，而在其他衍生品交易中可以观察到融资成本。此外，融资成本和资产之间的切换取决于衍生品支付函数的单调性。由于DVA发生在卖方有权支付的地方，即支付效果为正的地方，因此DVA和资金效益受到不同支付数学结构的影响。

这一结果支持Andersen等人的部分结论() 定价时应考虑DVA。我们的结果的另一个贡献是，我们可以恢复价格导数的线性方程组。由于不同的借贷利率使定价方程呈半线性，因此通常不存在解析解。因此，我们需要对方程进行数值求解。对于短期到期合同的近似融资调整，读者可能希望参考toGobet&Pagliarani(). 此外，在借贷利率相同的关键假设下，闭式解由（Bichuch等人。，;Brigo等人。，; Pi terbarg，). 然而，一旦我们能够保证融资利率e在衍生产品定价中不起任何作用，那么相同借贷利率的假设就过于夸张了。尽管这种二元性使我们能够找到一大类衍生品的分析公式，但根据收尾惯例，分析公式可能以闭合形式表示，也可能不以闭合形式表示。在本文中，我们讨论两种终止约定：清洁价格和重置成本。净价格（相应重置成本）是风险中性价格，不进行（相应）价值调整。在清洁价格下，由于定价措施不匹配，分析公式不能以闭合形式表示。实际上，为了避免这种不一致，Bichuch等人() 假设可以灵活选择定价措施来计算结算金额，andBrigo等人() 仅考虑违约时现金流为零的未抵押合同。在重置成本的情况下，这种不匹配不会出现，因为在我们的模型中，基金会默认嵌入重置成本中。

通过这种方式，我们可以以重置成本提供封闭式解决方案。在我们的模型中，我们包括CVA、DVA、增量资金影响和变化幅度。参考过滤由布朗运动生成。然后，我们逐步扩大双方的默认过滤时间。假定默认时间具有强度。由于我们不假设利率是确定性的，因此我们的结果可以应用于利率衍生品。在主要理论中，我们认为波动率和违约强度是确定的，以避免繁重的计算，但随机参数不一定会改变主要结果。我们在附录中报告了一个强度不确定的例子。本文的其余部分如下所述。在截面中, 我们介绍了有关过滤和意图的设置，并构建了增量对冲投资组合。在节中.,我们引入BSDE对扩大过滤的衍生产品进行定价。我们在第节中定义了调整流程，而不是处理eBSDE.. 调整过程简化为参考过滤，如inCrépey&Song(). 第节提供了我们的主要结果. 为了证明主要定理，需要对平差过程进行迭代变换，变换依赖于收尾约定。在节中, 给出了一个例子，并给出了具有重置成本的stock看涨期权的闭式解。 建模. 数学设置我们考虑双方签订一份双边明确的合同。我们将一方称为“套期保值者”，另一方称为“交易对手”。我们有时将套期保值者（代表交易对手）称为“她”（代表“他”）。指数H（分别为C）将用于代表套期保值者（分别为交易对手）。本文的论证是从套期保值者的角度进行的。

套期保值者是一家持有投资组合以对冲合同交换现金流的金融公司。对方可能是或不是非金融公司。请注意，当我们提到“交易方”或“银行”时，我们不一定指对冲方，因为交易对手也可以是银行。设Q为风险中性概率，其中OIS率的计算为数字。我们将在后面强加一个假设，以便风险中性概率是唯一的。然后我们考虑(Ohm,G、 Q）。设E表示Q下的期望。我们考虑随机时间τi，i∈ {H，C}，τi：(Ohm,G）→（R+，B（R+），代表套期保值者和交易对手的违约时间。对于i∈ {H，C}，我们假设Q（τi=0）=0且Q（τi>t）>0，t≥ 0。我们还表示τ τH∧τC，’τ τ∧T，其中T是双边合同的到期日。设W=（W，…，Wn）是Q下的标准n维布朗运动。设F=（Ft）t≥0为（Wt）t的常规自然过滤≥0.然后我们定义如下：G=（Gt）t≥0英尺∨σ{τi≤ u} ：u≤ t、 我∈{H，C}t型≥我们称F（分别为G）为参考过滤（分别为全过滤）。然后，我们考虑过滤概率s速度(Ohm,G、 G，Q）。注意τi，i∈ {H，C}，是Gstopping时间，但可能不是F-stopping时间。A s A约定，对于任意G-进度可测过程u，（G，Q）-半鞅u，和s≤ t、 RtsusdUs公司R（s，t）usdUs，其中积分为定义明确。此外，对于任何G-停止时间θ和过程（ξt）t≥0，表示ξθ· ξ·∧θ、 andwhenξθ-存在， ξθ ξθ-ξθ-. 在下面的g中，因为我∈ {H，C}，t≥ 0，我们拒绝Git Q（τi>t | Ft），和Gt Q（τ>t | Ft）。以下假设贯穿本文。假定..

（i） （Gt）t≥0对于Lebesguemeasure是非递增且绝对连续的。（ii）对于任何i∈{H，C}，存在一个过程hi，d定义为：hit 利木↓0uQ（t<τi≤ t+u，τ>t | Ft）Q（τ>t | Ft），以及麻省理工学院的过程Mi，giv en 1τi≤t型∧τ-Rt公司∧τhisds是（G，Q）-鞅。根据（i）假设., 存在一个F-逐步可测过程（ht）t≥0以便：ht=limu↓0uQ（t<τ≤t+u | Ft）Q（τ>t | Ft）和（Mt）t≥0 （1τ≤t型-Rt公司∧τhsds）t≥0也是（G，Q）-鞅。让我们表示h hH+hC。如果τHandτCare在F上独立调节，h=h。通常情况并非如此。此外，根据（i）作为假设., τ避免任何F-s打顶时间（参见Coculescu和Nikeghbali，, 推论.). 换句话说，对于任何F-停止时间τF:Q（τ=τF）=0。(.)我们使用附录a中定义的随机变量和随机过程的典型符号LpT、SpT、Hp、mT和Hp、mT、LOC。此外，我们让Dθ=（Dθ，…，Dnθ）表示θ处的Malliavin导数≥ 0和D1,2表示Malliavin可微分随机变量集。对于Aliavin微积分，读者可以参考Di Nunno等人() 和部分. El Karoui等人(). 为了符号的简单性，当n=1时，我们定义Dθ=Dθ，W=W，和HpT Hp、1T、HpT、loc Hp，1T，位置。在下一节中，我们将描述CVA、DVA、fundingimpacts和抵押品下的对冲组合。. 非线性市场下的BSDE.. 现金流我们考虑套期保值者和交易对手签订合同，交换承诺的股息。让dt表示承诺股息的累计金额，直至t≥ 0.我们假设这是一个F适应的cádág过程，该值由遵循Q下随机微分方程（SDE）的n维基础资产过程S=（S，…，Sn）确定：dSit=rtSitdt+σitSitdWt，Si>0，i∈ {1，。。。

，n}(.)对于某些F-逐步可测过程（σi）∈ Rnand r，表示OIS比率。我们假设如下：假设.. 套期保值者可以获得套期保值者和交易对手的可违约零息票债券。设SH（分别为SC）表示套期保值者（分别为交易对手）的可违约债券，其中，SCS紧随下一SDE：dSit=rtSitdt+σitSitdWt-坐-dMit，Si>0，i∈ {H，C}(.)式中（σi）∈ Rnare F—渐进可测量过程。SSnare用于对冲D，而SHAND SCare用于对冲违约造成的损失，稍后将用Θ表示。我们表示∑ [（σ）···（σn）]和σ [∑（σH）（σC）]. 在下文中，我们假设：假设.. ∑∈ Rn×nis可逆。根据这一假设，我们证明了一个风险中性概率测度的存在性，该测度在本文早期的第节中给出.. 此外，风险中性概率是唯一的。附录C中提供了测量变更的简要说明。评论.. 根据(.), 基础资产不依赖违约风险，这意味着我们不处理信用衍生品。对于强调传染风险的建模，读者可以参考Tobo等人(); Bo和Ceci(); Brigo、Capponi和Pallavicini(); Jiao等人().如果在合同到期之前发生违约，双方停止交换D，衍生合同按市价计价。结算金额的计算方法在合同开始之前确定，并记录在信贷支持附件（CSA）中.让Et表示t处的收尾金额≤ T在本文中，我们讨论了结算金额e的两个约定：清洁价格和重置成本。在确定套期保值者的套期保值组合后，我们将在后续部分解释惯例。作为惯例，滴滴涕≥ 0（分别<0）和et≥ 0（分别为。

<0）表示套期保值人向（或从）交易对手支付≤ T例如，如果套期保值者购买单位名义金额的零息票债券，则D=-1～T，∞~.由于违约，结算义务可能无法完全履行。为了防范这一风险，miti需要两方提供或接收抵押品（通常称为保证金）。在t过账的抵押物金额≥ 0用mt表示。我们假设（mt）t≥0是一个适应F的过程。根据假设., τi，i∈{H，C}完全不可访问，这意味着默认值意外到达。因为我们不知道有关违约的全部信息，所以公布了保证金，这就是为什么根据可观察信息F计算m。在引入e的约定后，将给出m的确切形式。我们假设在违约发生时立即结清结清款项，并连续发布m。作为惯例，如果mt≥ 0（分别<0），套期保值者在≤ T评论.. 实际上，违约日和实际结算之间存在差距，以验证违约是否真的发生，收集合同信息，并找到替代违约方的最佳候选人（Murphy，). 对于缺口风险，双方提供初始保证金。如果我们考虑初始利润，我们会遇到重置成本下的预期后向随机微分方程（ABSDEs）。对于本文的主要结果，将使用BSDE的Malliavin计算。然而，据我们所知，ABSDES的Malliavin差异性尚未被研究。变动保证金的连续过账也可以看作是一种简化。对于病情的缓解，读者可以参考toBrigo、Liu等().在违约情况下，不交换抵押品。