粗糙Heston模型中的完美套期保值

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Perfect hedging in rough Heston models》
---
作者：
Omar El Euch and Mathieu Rosenbaum
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  Rough volatility models are known to reproduce the behavior of historical volatility data while at the same time fitting the volatility surface remarkably well, with very few parameters. However, managing the risks of derivatives under rough volatility can be intricate since the dynamics involve fractional Brownian motion. We show in this paper that surprisingly enough, explicit hedging strategies can be obtained in the case of rough Heston models. The replicating portfolios contain the underlying asset and the forward variance curve, and lead to perfect hedging (at least theoretically). From a probabilistic point of view, our study enables us to disentangle the infinite-dimensional Markovian structure associated to rough volatility models.
---
中文摘要：
众所周知，粗糙波动率模型可以再现历史波动率数据的行为，同时可以非常好地拟合波动率曲面，参数非常少。然而，由于动力学涉及分数布朗运动，在粗糙波动率下管理衍生品的风险可能很复杂。我们在本文中证明，令人惊讶的是，在粗糙Heston模型的情况下，可以得到明确的套期保值策略。复制投资组合包含基础资产和远期方差曲线，并导致完美的对冲（至少在理论上）。从概率的角度来看，我们的研究使我们能够解开与粗糙波动率模型相关的无限维马尔可夫结构。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--

---
PDF下载：
--> Perfect_hedging_in_rough_Heston_models.pdf (333.34 KB)

2022-5-31 06:19:55 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：套期保值 sto Est Quantitative Mathematical

粗糙赫斯顿模型中的完美对冲。埃尔-euch@polytechnique。eduMathieu Rosenbaum’Ecole Polytechniquemathieu。rosenbaum@polytechnique.eduMarch16，2017AbstractRough波动率模型已知可以再现历史波动率数据的行为，同时可以很好地拟合波动率表面，参数非常少。然而，由于动力学涉及分数布朗运动，在粗糙波动率下管理衍生品的风险可能非常复杂。我们在这篇论文中展示了，令人惊讶的是，在粗糙Hestonmodels的情况下，可以获得明确的对冲策略。复制的投资组合包含基础资产和远期方差曲线，并导致完美的对冲（至少在理论上）。从概率的角度来看，我们的研究使我们能够解开与粗糙波动率模型相关的有限维马尔可夫结构。关键词：粗糙波动率、粗糙赫斯顿模型、霍克斯过程、分数布朗运动、分数Riccati方程、极限定理、前向方差曲线。1简介【12】最近表明，粗略的分数过程使我们能够非常准确地再现历史波动性时间序列的行为。更准确地说，它们的对数的动力学与赫斯特参数为0.1阶的分数布朗运动的动力学非常相似。回想一下，带有赫斯特参数H的分数布朗运动∈ （0，1）可以从经典的双边布朗运动W通过Mandelbrot-vanness表示：WHt=Γ（H+1/2）Z构建-∞（t-s） H类--(-s） H类-dWs+Γ（H+1/2）Zt（t- s） H类-dWs。分数布朗运动具有H¨older正则性H-ε对于任何ε>0的情况。

因此，具有小赫斯特参数的分馏波动率模型被称为粗糙波动率模型。除了历史数据建模外，粗糙波动率模型为整个波动率表面提供了极好的拟合和动态，尤其是在货币倾斜时，几乎没有scalarparameters（通常为三个），请参见[4、11、12]。这种模型在实践中唯一的潜在缺点之一是很难对衍生品进行定价和对冲。事实上，尽管最近引入了一些有希望的方法，s ee【5】，但由于分数布朗运动的非马尔可夫性，在粗糙波动背景下运行有效的蒙特卡罗方法仍然是一项艰巨的任务，见【19】。然而，如【10】所示，在所谓的粗糙赫斯顿模型的特定情况下，可以获得衍生品的瞬时定价。【10】中的粗糙赫斯顿模型是对【15】中经典赫斯顿模型的粗糙框架的自然延伸。事实上，概率空间上的价格动态(Ohm, F、 F，P）定义如下：dSt=StpVtdWtVt=V+Γ（α）Zt（t-u） α-1λ（θ- Vu）du+Γ（α）Zt（t-u） α-1νpVudBu。（1） 此处参数λ、θ、V、Sandν为正，α∈ （1/2，1）和W=ρB+p1- ρB⊥带（B，B⊥) 二维F-布朗运动与ρ∈ [-1，1]。从[10]中，分数阶随机微分方程（1）允许一个唯一的弱解，该解h为具有h¨older正则性α的samp lepaths-1/2-ε几乎可以肯定，对于任何ε>0的情况。还请注意，在α=1的情况下，我们检索到经典的赫斯顿模型。令人惊讶的是，在[10]中证明了一个半封闭公式“a la Heston”也适用于粗糙Heston模型中原木价格的特征函数。

该公式与经典Hestoncase中得到的公式非常相似，只是Riccati方程中的经典时间导数必须用分数微分代替。需要，我们有ia日志（ST/S）] = 经验值g（a，t）+Vg（a，t）,式中，g（a，t）=θλZth（a，s）ds，g（a，t）=I1-αh（a，t），h是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαh（a，s）=(-一- ia）+（iaρν- λ） h（a，s）+νh（a，s），I1-αh（a，0）=0，带I1-α和Dα——附录A中定义的分数积分和导数运算符。当α=1时，这个结果与经典的Heston结果一致。此外，可以很容易地从中设计出普通期权的有效数字定价程序，参见【10】。因此，粗糙赫斯顿模型具有双重相关性：它同时具有粗糙波动率模型的冰建模特性和赫斯顿框架的计算优势。然而，如果定价程序不符合对冲策略，那么它的利益当然是有限的。能够建立对冲投资组合基本上意味着计算Ct=E[f（ST）| Ft]形式的条件预期，其中fis是一个确定性的支付函数。在经典的赫斯顿模型中，马尔可夫结构实际上对于粗糙的赫斯顿模型没有真正的标准定义，可以考虑其他版本，参见【13】。该模型非常有助于做到这一点。在粗略的情况下，这个任务要复杂得多，因为分数布朗运动既不是马尔可夫过程，也不是半鞅。为了解决这个问题，我们首先研究了粗糙Heston模型中的条件定律。我们实际上提供了一个非常好的稳定性。事实上，如果平均反转水平θ处的th被时间相关的θ所取代，那么在Ft的条件下，rough-Heston模型的定律仍然是rough-Heston模型的定律。

因此，我们概括了我们对拉夫赫斯顿模型的定义，考虑到平均回归水平取决于时间。然后，使用[10]中的霍克斯过程，我们能够计算广义粗糙赫斯顿模型中对数价格的扩展特征函数，即经验值zlog（圣/圣）（2） 对于z=a+ib，带b∈ R的某些子集中的R和a将在稍后定义。从（2）的显式表达式中，我们可以推导出Ct的半封闭公式，例如遵循[7]中的方法。我们最重要的结果是，我们能够在粗糙的Heston模型中识别相关的状态变量，即下卧和所谓的前向方差曲线：（E[Vs+t | Ft]）0≤s≤T-t、 实际上，我们证明了Ct可以写Ct=CT- t、 St，（E[Vs+t | Ft]）s≥0,C（）是一个合法的决定函数。上述公式严格地表明，粗略模型所需的对冲工具是现货价格和远期方差曲线，这一想法在[4]中已经得到了推广。根据[6]中提出的方法的精神，这样的结果是als o。更准确地说，我们表明期权价格的动态满足度dct=SC公司T- t、 St，（E[Vs+t | Ft]）s≥0dSt+VC公司T- t、 St，（E[Vs+t | Ft]）s≥0.dE[Vs+t | Ft]）s≥0,哪里SC是C的导数，与底层（所谓的delta）和Vc是根据向前方差曲线得出的C的Fr'echet导数。从这个表达式中，我们很容易得到基于基础和forwar d方差曲线的套期保值策略。当然，在实践中，人们无法真正交易整个远期方差曲线。然而，可以使用液体方差的WAP或普通选项建立近似值。还请注意，使用广义粗糙Heston模型可以通过时变均值回归参数完美拟合初始前向方差曲线。

因此，我们可以非常准确地再现历史数据的动态、整个波动率表面，包括货币倾斜和远期方差曲线，并且可以使用间接定价和对冲方法。本文的组织结构如下。在第二节中，我们研究了Rougheston模型的条件律，并引入了具有时变均值回归水平的广义rough-Heston模型。利用霍克斯过程，我们在第3节推导了广义粗糙赫斯顿模型中原木价格的特征函数，强调了前向方差曲线的作用。我们还讨论了基础价格有限时刻的有效条件。最后，我们在第4部分设计了我们的套期保值策略。一些证明被归入第5节，一些技术结果在附录中给出。2 rough-Heston模型的条件法则本文的目的是了解如何在rough-Heston框架（1）中对到期日t>0且付息（ST）的普通期权进行定价和对冲。因此，第一步是描述过程规律（Stt，Vtt）t≥0=（St+t，Vt+t）t≥0英尺条件，对于系数>0。事实上，为了推导期权价格动态并建立对冲组合，需要能够计算E[f（ST）| Ft]，0≤ t型≤ T为了说明我们关于粗糙Heston模型条件定律的结果，可以方便地引入模型（1）的广义版本，考虑到时变平均回归水平。定义2.1（广义粗糙赫斯顿模型）。关于滤波概率空间(Ohm, F、 F，P），我们定义了广义粗糙赫斯顿模型bydSt=StpVtdWtVt=V+Γ（α）Zt（t- u） α-1λ（θ（u）- Vu）du+Γ（α）Zt（t-u） α-1νpVudBu。（3） 此处参数λ、V、Sandν为正，α∈ （1/2，1）和W=ρB+p1- ρB⊥带（B，B⊥) 二维F-布朗运动与ρ∈ [-1，1]。

此外，θ是非终结函数，在R上连续*+令人满意u>0；θ（u）≥ -VλΓ（1- α） u型-α、 （4）和ε>0Kε>0；u∈ （0，1]；θ（u）≤ Kεu--ε。（5） 注意，在条件（4）和（5）下，分数阶随机微分方程（3）允许唯一的弱解，见定理3.1和相关参考文献。现在我们给出了广义粗糙Heston模型的条件律的结果（模型（1）是的一个特例）。Let（St，Vt）t≥0由（3）定义。我们有以下定理，在第5.1节中得到证明。定理2.1。过程定律（Stt，Vtt）t≥0是具有以下动态的广义粗糙Heston模型：dStt=SttqVttdWtt，St=StVtt=Vt+Γ（α）Zt（t-u） α-1λ（θt（u）- Vtu）du+Γ（α）Zt（t- u） α-1νqVtudBtu，带（Wtt，Btt）t≥0=（重量+t-Wt、Bt+t-Bt）t≥0a相关ρ与Ftandθt（u）=θ（t+u）+αλΓ（1）无关的二维布朗运动-α） Zt（t- v+u）-1.-α（Vv- Vt）dv+（u+t）-αλΓ（1- α） （五）- Vt），这是一个在R上连续的Ft可测量函数*+这样，条件（4）和（5）（其中指数0应替换为t）得到满足。因此，广义粗糙Heston模型类在条件方面是稳定的。粗糙赫斯顿模型的条件定律仍然是粗糙赫斯顿模型的条件定律。唯一的区别是平均回归水平函数的修正。特别是，当考虑到通常的粗糙Heston模型（1）时，常数参数θ在时间t采用条件律时成为一个可测量的函数。这一结果将对粗糙Heston fr amework中的套期保值策略至关重要，并且更一般地理解与粗糙Heston型动力学相关的状态变量。3广义粗糙赫斯顿模型的特征函数本节的目标是推导粗糙赫斯顿模型（3）中原木价格的扩展特征函数。

这与定理2.1一起将使我们能够推导条件特征函数，从而得出套期保值策略。实现这一目标的第一步是建立一个合适的流程序列，该序列收敛于广义粗糙赫斯顿定义模型2.1。然后，我们将能够对这些过程进行计算（不需要驱动特征函数），并将它们传递到极限，以获得广义的Drough Heston模型的结果。3.1广义粗糙赫斯顿模型作为几乎不稳定的霍克斯过程的极限在[10]中，建立了一个基于二维霍克斯过程的微观价格模型，以便在适当地重新调整到粗糙赫斯顿对数价格（具有恒定的均值回归）后，从长期来看收敛。然后，根据该结果得到特征函数。该方法可以很容易地推广到极限条件下的广义粗糙赫斯顿模型。然而，它只允许我们用a=0计算（2）。这还不足以使经典的傅立叶反演方法（如[7]中的方法）严格应用于计算价格和对冲投资组合。因此，我们在本节中使用了另一个应用程序roach，与[16]中的应用程序roach非常相似。我们考虑一维Hawkes过程（NTt）的序列≥0，指数为T>0到单位，强度由λTt=uT+ZtaTν（T- s） dNTs，其中uTand aTare为正常数，aT<1和dД：R*+→ R+是可积的，因此R∞^1=1。在[16]中，可以看出，提供了xαZ∞xх（s）ds-→x个→∞Γ（1- α） ，α∈ （1/2，1），（6）和Tα（1- aT）-→T→∞λ、 T1级-αuT-→T→∞λ/ν，对于某些正常数λ和ν，强度过程λtta的适当重标度版本在共向上表现为具有常数均值回复参数（如（1）且初始方差等于零）的粗糙Heston模型的方差过程。

为了获得与时间相关的平均回复水平和极限中的非零起始值，我们受到了[10]中的一个想法的启发，这里显示了一种与时间相关的ut方法，可以修改极限中的一些参数。更准确地说，我们考虑以下假设，其中fα，1表示附录A中定义的Mittag-Le-fluer密度函数。1、假设3.1。存在λ，ν>0，α∈ （1/2，1）和V>0，使得对于T>1/λ-1/α和t≥ 0，λTt=uTζT（T）+ZtДT（T- s） dNTs，其中t=1- λT-α、 uT=（λ/ν）Tα-1，ДT=aTД，其中Д=fα，1和ζT（T）=V1.- aT（1-ZtДT（T-s） ds）-ZtДT（T- u） 杜邦+ZtДT（T- u） θ（u/T）du，其中θ（）满足定义2.1的假设。请注意，我们正在所谓的Hawkes进程几乎不稳定的情况下工作，因为内核的形式转换为1。此外，请注意（6）已满足要求，请参见附录A。1、备注3.1。备注：ζTcan也可写为：ζT（T）=ZtДT（T- u） θ（u/T）du+VTαλZ∞tД（s）ds+λt-αZtД（s）ds.因此，使用该I1-ανT（T）=R∞tхt，见附录A。1，连同条件（4）wegetζT（T）≥ -VλΓ（1- α） TαZtИT（T- u） u型-αdu+VTαλZ∞tД（s）ds+λt-αZtД（s）ds= -VλTαZ∞tхt（s）ds+VTαλZ∞tД（s）ds+λt-αZtД（s）ds= VuT（Z∞tД（s）ds+λt-αZtД（s）ds.这表明ζ是一个正函数，因此强度过程λtti得到了很好的定义。我们确定MTt=NTt-RtλTsds和xtt=ν1- aTTαλNTtT，∧Tt=ν1- aTTαλZtTλTsds，ZtT=νr1- aTTαλMTtT。函数θ上的条件（4）和（5）允许我们以一种前瞻性的方式修改[10，16]中的证明，以获得以下结果。定理3.1。让t>0。

A s T→ ∞, 根据假设3.1，流程∧Tt、XTt、ZTtt型∈[0，t]将Skorokhod拓扑的i n定律收敛到（λ，X，Z），其中∧t=Xt=ZtVsdsZt=ztpvsdbs，这是一个连续鞅。oV是粗糙随机微分方程的唯一弱解vt=V+Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（θ（s）- Vs）ds+νΓ（α）Zt（t- s） α-1pVsdBs，其中B是布朗运动。此外，过程V是非负的，并且具有H¨olderregularityα- 1/2- ε对于任何ε>0的情况。定理3.1将是获得广义粗糙赫斯顿模型中原木价格扩展特征函数的关键结果之一。3.2广义粗糙赫斯顿模型中有限矩的条件我们的目标是计算（2）R （z） 6=0。实现这一点的一个初步步骤是推导出有效条件，以确定立杆经验矩的完整性RTVSD简陋的赫斯顿模型。为了得到这样的结果，我们使用定理3.1。让a∈ R.首先，请注意（St）a=（S）aexpaρZtpVsdBs-aZtVsds+ap1- ρZtpVsdB⊥s.因此，我们有[（St）a]=（S）aEexp（aρZtpVsdBs+(-a+a（1- ρ） ）ZTVSD）.现在定义=expaρZtpVsdBs-aρZtVsds.过程mt是一个正的局部鞅，实际上是通过命题b。1在附录中，一个真鞅。确定相应的概率度量Q:dQdPFt=Mt。根据Girsanov定理，在Q下，BQt=Bt- ρztpvsd是F-布朗运动。因此，在Q下，（3）中定义的V仍然是广义粗糙Heston模型的方差过程，但参数不同：Vt=V+Γ（α）Zt（t- u） α-1￠λ（￠θ（u）- Vu）du+Γ（α）Zt（t- u） α-1νpVudBQu，（7），其中∧=λ- ρνa，|θ（t）=λθ（t）λ-ρνa，提供λ- ρνa>0。因此，我们得出[（St）a]=（S）aEQ[经验((-a+a）ZtVsds）]。（8） 因此，forEQ上的一个有效条件((-a+a）ZtVsds）]<∞ （9） 将很容易为E[（St）a]的完整性提供充分的条件。现在我们来解释如何导出这样的条件。