作为鞅的选举预测：一种套利方法

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英文标题：
《Election Predictions as Martingales: An Arbitrage Approach》
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作者：
Nassim Nicholas Taleb
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider the estimation of binary election outcomes as martingales and propose an arbitrage pricing when one continuously updates estimates. We argue that the estimator needs to be priced as a binary option as the arbitrage valuation minimizes the conventionally used Brier score for tracking the accuracy of probability assessors.   We create a dual martingale process $Y$, in $[L,H]$ from the standard arithmetic Brownian motion, $X$ in $(-\\infty, \\infty)$ and price elections accordingly. The dual process $Y$ can represent the numerical votes needed for success.   We show the relationship between the volatility of the estimator in relation to that of the underlying variable. When there is a high uncertainty about the final outcome, 1) the arbitrage value of the binary gets closer to 50\\%, 2) the estimate should not undergo large changes even if polls or other bases show significant variations.   There are arbitrage relationships between 1) the binary value, 2) the estimation of $Y$, 3) the volatility of the estimation of $Y$ over the remaining time to expiration. We note that these arbitrage relationships were often violated by the various forecasting groups in the U.S. presidential elections of 2016, as well as the notion that all intermediate assessments of the success of a candidate need to be considered, not just the final one.
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中文摘要：
我们将二元选举结果的估计视为鞅，并提出了一种当连续更新估计时的套利定价。我们认为，估值器需要作为二元期权定价，因为套利估值最小化了传统上用于跟踪概率评估师准确性的Brier分数。我们从标准的算术布朗运动中创建了一个双鞅过程$Y$，单位为$[L，H]$，$X$（-\\infty，infty）$，并相应地进行了价格选择。双过程$Y$可以代表成功所需的数字投票。我们展示了估计量的波动率与基础变量的波动率之间的关系。当最终结果存在高度不确定性时，1）二进制的套利价值接近50%，2）即使民意调查或其他基础显示出显著变化，估计也不应发生大的变化。1）二元价值，2）Y$美元估值，3）Y$估值在剩余到期时间内的波动性之间存在套利关系。我们注意到，在2016年美国总统选举中，各种预测小组经常违反这些套利关系，以及需要考虑对候选人成功的所有中间评估，而不仅仅是最终评估的概念。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Election_Predictions_as_Martingales:_An_Arbitrage_Approach.pdf (410.86 KB)

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关键词：relationship Quantitative intermediate presidential Conventional

尾部风险研究项目选举预测为鞅：一种套利方法纽约大学工程学院Nicholas TalebTandon第三版，2017年10月即将出版，定量金融I。引言定量融资的一个标准结果是，当基础证券的波动性增加时，套利压力推动相应的二元期权接近50%，并在剩余到期时间内变小。与直觉相反，基础证券的不确定性越高，二进制期权的波动性越低。这种影响应该在产生二元价格的所有领域都存在——然而，我们观察到，在作出二元预测的许多领域，尤其是与2016年美国总统选举有关的领域，严重违反了这些原则。我们观察到政治科学家和预测家之间存在着明显的错误，例如，评估员给候选人的答案。特朗普成功的几率在0.1%到3%之间，2）预测的修正率从48%跳到了15%，这两个都是在援引不确定性的同时做出的。传统上，选举预测的质量是通过De Finetti的方法静态评估的，该方法考虑最小化Brier得分，这是一种与最终结果（从选举到其他领域跟踪概率评估员准确性的标准）的差异度量。在定量金融实践和文献之外，没有对估值变化进行跨期评估。然而，德费内蒂自己的原则是，概率应被视为双向“选择”价格，这因此被传统做法所违背。0.420.440.460.480.50.04 0.06 0.08 0.10 0.12s0.20.30.40.5估计值图。1.

不同预期比例投票Y下的选举套利“估计”（即估值）∈ [0，1]，s表示当前和选举结果之间的预期波动率Y。我们可以看到，在不确定性较高的情况下，结果的估计值接近0.5，并且对估计的要素边际不敏感。Bt0∈ [0,1]年∈ [L，H]X∈ (-∞,∞)B=P（XT>l）B=P（YT>S（l））Y=S（X）图2。X是R，Y上的一个开放的不可观测随机变量（分数的阴影变量），它通过sigmoidal函数S（.）映射为“选票”或“选举人票”，它将一对一映射，并使用适当的相应分布将二进制作为期望值。在本文中，我们采用了基于定量融资原则的动态连续时间方法，并认为给定“评估者”对选举结果的概率估计需要被视为可交易价格，也就是说，作为受套利边界约束的二元期权价值（特别是因为二元期权实际上用于bettingmarkets）。未来修订的估值需要与鞅定价兼容，否则会通过评估师的“买入”和“卖出”创建跨期套利。当我们转向连续时间并应用标准鞅方法时，出现了一个数学上的复杂性：即作为概率预测，潜在的安全性存在于[0，1]。我们的方法是在算术布朗运动的区间[L，H]内，X in，创建一个对偶（或“影子”）鞅过程Y(-∞, ∞) 以及相应的价格选择。例如，双重过程Y可以代表成功所需的数字投票。

一个复杂的情况是，由于X到Y的变换，如果Y是阿马丁格尔，X就不能是鞅（反之亦然）。Y的过程允许我们在概率估计的波动性和基础变量（例如投票数）的波动性之间建立套利关系。因此，我们能够表明，当最终结果存在高度不确定性时，1）事实上，预测的套利价值（作为二元期权）接近50%，2）即使民意调查或其他基础发生变化，估计也不应发生大的变化。N、 Taleb 1铁路风险研究计划显示出显著的变化。定价链接介于1）二元期权价值（即预测概率）、2）Y估计和3）剩余到期时间内Y估计的波动性之间（见图1和图2）。A、 主要结果为了方便起见，我们从符号开始。注：t时观察到的以[0，1]表示的选票估计比例。这些选票可以是普通票或选举人票，只要对它们进行一致性处理。不可撤销的最终选举结果显示的期限，或到期。T当前评估期，因此T-这是最终选举之前的时间，以年为单位。s年化波动率为Y，或不确定因素影响Y在剩余时间内的结果，直至出现偏差。

我们假设s是常数，没有任何通用性的损失，但它可能与时间有关。B（.）“预测概率”，或选举结果的估计连续时间套利评估，建立B（.）之间的套利界限，主要结果：B（Y，σ，t，t）=erfcl- erf公司-1（2年- 1） eσ（T-t）√e2σ（T-t）- 1.（1） 其中σ≈qlog2πse2erf-1（2年-1） +1个√√T- t、 （2）l是所需的阈值（默认为0.5），erfc（.）是标准互补误差函数，1-erf（.），带erf（z）=√πRze-tdt。我们认为，在这里回答统计学家和数学金融以外人士的常见评论是合适的：“为什么不简单地使用贝塔式分布呢？”。答案是：1）本文的主要目的是在二元预测中建立（无套利）时间一致性，2）我们不知道有一个连续时间随机过程，它适应贝塔分布或类似有界的常规分布。B、 论文的其余部分组织如下。首先，我们展示了Y的过程以及特定布朗运动所需的变换。其次，我们推导出我们模型的一个中心性质是它阻止了B（.）从变化超过估计的Y：在两名候选人的比赛中，如果低于（高于）Y，则将限制在Y。在实践中，我们可以从47%对53%的估计票数的较窄差距中观察到98%对02%的获胜概率；我们的方法可以防止在高度不确定性的情况下，概率偏离估计投票数。但它仍然很保守，不能给出更高的比例。用于获得方程式（1）的套利关系。

最后，我们讨论了德费内蒂的方法，并展示了鞅估值如何与预测行业中的传统标准（即Brier分数）最小化相关。关于σ缺少闭式解的评论：注意，对于Y，我们缺少反映总变化的积分的闭式解：RTtσ√πe-erf公司-1（2年）-1） ds，虽然X的对应值是可计算的。因此，我们依赖不确定性传播方法来获得Y概率密度的闭合形式解，尽管它的矩不明确，因为logistic正规积分本身不适合简单展开式[1]。X和Y的时间片分布：时间片分布是从时间t开始的Y的概率密度函数，即单周期表示，从twith Y=+erf（X）开始。相反，对于给定的X y，对应的X，X可以被发现为周期T的正态分布- twithE（X，T）=Xeσ（T-t） ，V（X，t）=e2σ（t-t）- 1峰度为3。通过概率变换，我们得到了Y的相应分布，初始值为（3）ν（Y；Y，T）=√e2σ（t-t）- 1experf公司-1（2年- （1）-科思σt- 1.erf公司-1（2年- （1）- erf公司-1（2年- 1） eσ（t-t）我们有E（Yt）=Y。至于方差，如上所述，E（Y）不适用于从φ（.）导出的闭式解，norfrom随机积分；但是，可以使用前两个矩的不确定性传播方法（deltamethod），从X的闭合形式分布中轻松估计出它。由于有限动量随机变量X的函数f的方差可以近似为V（f（X））=f（E（X））V（X）：S-1（y）yy=y≈e2σ（T-t）- 1秒≈se公司-2个RF-1（2年-（1）e2σ（T-t）- 1.2π。

（4） 同样，对于相反方向的计算，我们发现σ≈qlog2πse2erf-1（2年-1） +1个√√T- t、 这就是（2）主要结果的表述。请注意，包括更高力矩在内的膨胀不会带来精度的实质性提高，尽管s很高。N、 Taleb 2铁路风险研究计划选择日538严格更新20 40 60 80 1000.50.60.70.80.91.0图。3.显示了估计过程不能与（选举或其他）选票估计的波动性同步，因为它违反了围绕中心的套利边界非线性，总波动率的值范围，或者说，选举团太低，除了sigmoid风格变换的有界性外，无法显著影响高阶项。C、 关于风险中性的讨论由于缺乏对另一种方式的信念，我们将风险中性估值作为默认选项。虽然Y可能不一定是可交易的，但在确定套利估值的过程中增加风险溢价必然意味着其他候选人的风险溢价为负值，这很难证明。此外，期权价值或二元押注需要满足一个非荷兰式的论点（无套利的De Finetti形式）（见[4]），即合理定价的二元期权被解释为概率预测，在所有结果中都不会产生任何下注“优势”，而不会产生损失。最后，任何偏离风险中性的行为都会降低Brier得分（关于Brier得分，见下文），因为这将偏离最终预测。还请注意，财务讨论中通常没有对融资率进行假设。二、学士式估值let F（.）是变量X的函数，满足dxt=σXtdt+σdWt。（5） 我们希望证明X有一个简单的学士选项Price B（.）。

无套利的概念是，持续做出的预测本身必须是鞅。将It^o引理应用于满足（5）yieldsdF的X的F，B=σXFX+σFX个+Ft型dt+σFXdWso自Ft、 0，F必须满足偏微分方程σFX+σXFX个+Ft=0，（6），这是使B成为鞅的无漂移条件。XY200 400 600 800 1000t-1.5-1.0-0.50.5X，YFig。进程和双进程对于二进制（调用）选项，我们有终端条件b（X，t），F，FT=θ（X-l） ，其中θ（.）是Heaviside thetafunction，l是阈值：θ（x）：=（1，x≥ l0，x<l初始条件为xat时间，终端条件为：erfcxeσt- l√e2σt- 1.简单地说，就是在X的过程中参数化的正态分布的生存函数。同样，我们从前面的1对1参数（可以使用Borel集参数）中注意到θ（y）：=（1，y≥ S（l）0，y<S（l），因此我们可以对替代过程B（y，t）=P（y>）进行定价（或任何其他类似获得的阈值l，通过pricingB（y，t）=P（x>S-1（l））。投票比例的定价由以下公式得出：B（Y，σ，t，t）=erfcl- erf公司-1（2年- 1） eσ（T-t）√e2σ（T-t）- 1.主方程（1），也可以不太方便地表示为asB（y，σ，t，t）=√e2σt- 1Zlexperf公司-1（2年- （1）-科思σt- 1.erf公司-1（2年- （1）- erf公司-1（2年- 1） eσtdyIII。有界对偶鞅过程是选举日过程的终值。它在[0，1]中存在，但可以推广到更广泛的[L，H]，L，H∈ [0，∞). 给定候选人获胜的门槛可以对应于原始票、选举人票或任何其他指标。我们假设Ytis是中间产物。N

Taleb 3铁路风险研究计划t阶段流程的实现，可以是从民意调查（修正估计）或其他此类系统综合产生的。接下来，我们使用Sigmoidal变换为一个无界算术随机过程创建一个有界“对偶”随机过程。将丰富的选举过程等过程映射到布朗运动，或将丰富的回报映射到无界的回报，都会很有帮助，见图2。提案1。在S形样式转换下：x 7→ y、 R→ 形式a的[0，1）+erf（x），或b）1+exp(-x） ，如果x是鞅，则Y仅为Y=的鞅，如果Y是鞅，则x仅为x=0的鞅。证据证据概述如下。根据它的引理，dXtbecomes的位移项为1）σX（t），或2）σTanhX（t）,式中，σ表示波动率，分别是x的形式a）和x的形式b）在鞅forY下的变换。动态生态漂移：1）σe-erf公司-1（2年-1） erf公司-1（2年-（1）√π或2）σY（Y- 1） （2年）- 1） 在X的鞅下。因此，我们选择Y是鞅的情况，并给出变换a）的细节。Carr开发了该工艺的性能【2】。设X为算术布朗运动（5），具有X相关漂移和常数标度σ：dXt=σXtdt+σdWt，0<t<t<+∞.我们注意到，这与通常写入dXt=θ（u）的OrnsteinUhlenbeck过程有相似之处- Xt）dt+σdW，但我们的u=0，并且通过使用负平均回归系数违反规则，更确切地说是“平均排斥”，θ=-σ。我们从X映射∈ (-∞, ∞) 其双重过程Y如下所示。

带S:R→ [0，1]，Y=S（x），S（x）=+erf（x）对偶过程（通过唯一变换，因为S是一个toone，对于Y，S（x））使用Ito引理（因为S（.）istwice可微且S/t=0）：dS=σSx+xσSx个dt+σS对于所有t>τ，具有零漂移的xdww可以写成一个过程dyt=s（Y）dWt，E（Yt | Yτ）=Yτ。和刻度（Y）=σ√πe-erf公司-1（2年-1） 如图5所示，s（y）可以用二次函数y（1）来近似- y） 乘以常数。我们可以通过反转来恢复方程（5），即S-1（y）=erf-1（2年- 1） ，然后再次应用它的引理。由于规范不变性，期权价格在X或Y上都是相同的，即使一个过程有漂移，而另一个过程是鞅。换言之，可以将一个人的估计应用于选举阈值，或应用于更复杂的X，结果相同。而且，总结一下我们的方法，对X上的期权定价是很熟悉的，因为这正是一种阿切利尔式的期权价格。e-erf-1（-1+2 y）2π8π23y（1-y）0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Yt0.050.100.150.200.25sFig。对于X的两种不同变换方法，Y的瞬时波动率作为yf水平的函数，似乎没有本质上的不同。我们将其与二次型y进行比较- yscaledby a constantr8π。当我们远离并在边缘崩塌时，波动率下降，从而将Y保持在（0，1）中。为简单起见，我们假定σ=t=1。四、 与DE FINETTI概率评估的关系本节简要介绍了概率评估的传统方法。