分布约束优化问题的动态规划原理

因此，通过使用假设（和Portmanteau引理），wehavev（u）≥ Eγc（B）·∧T、 T型≥ lim支持→∞Eγnc类(（B）·∧T、 T型,（2.5）结合（2.4）得出所需的u.s.c。由于值函数是凹函数，当限制在概率测度集上，并支持有限个固定点时，即v是从Rnto R的函数（参见（3.7）），从建议n 2.1可以看出，v在其有限的域上是连续的。当问题允许barrie r型解时，值函数也是连续的；参见[5、12、19、23]。然而，一般来说，值函数的连续性并不是先验明确的。接下来，我们考虑一类pay-o-off函数，尽管如此，我们仍然可以为其建立值函数的某种“右连续性”。结果很重要，因为它确保了具有一般约束的问题的值可以作为近似原子问题序列的极限来获得，这更容易通过使用数值方法来解决。对于这个结果，我们考虑满足以下附加条件的支付函数：假设2.2。给定支持BM（Wt）t的概率空间≥0和停止时间τ，存在连续性模量ν，因此对于任何停止时间ρ≥ τ、 | E[c（W·∧τ、 τ）- c（W·∧ρ、 ρ）]|≤ Д（E[|τ- ρ|]）。（2.6）示例2.3。假设2.2适用于以下任一情况下的示例：oc（ω，t）=f（ωt），对于某些2-H连续函数f，则e[| f（Wτ）-f（Wρ）|]≤ cE[| Wτ- Wρ|]=cE[|τ- ρ|]；oc（ω，t）=f（ω*t） 对于一些2-H¨older连续函数f，其中ω*t=辅助·≤tω·，由于Doo b不等式，E[| f（W*τ）- f（W*ρ） |]≤ cE[| W*τ-W*ρ|]≤ 4cE[|τ- ρ|]；的确，让u，u∈ P、 ε>0，τ，τ对应ε-最佳停车时间。对于λ∈（0，1），定义τ=1{U≤λ} 对于一些独立的U，τ+1{U>λ}τ~ U[0，1]。

然后，τ∈ T（uλ）表示uλ=λu+（1- λ） u，并在扩大的空间上工作(Ohm, G、 （Gt），P）在命题2.4的证明中，我们得到v（x，μλ）≥E{U≤λ} c类W·，τ+ 1{U>λ}cW·，τ≥ λv（x，u）+（1- λ） v（x，u）- 2ε，由于ε是任意的，因此产生凹度。6 SIGRID K¨ALLBLADo当W被hM it的局部鞅替换时的上述两种情况s≤t（即进化“低于”布朗运动）；o当| c（ω，t）- c（ω，s）|≤ ^1（| t- s |）表示凹形连续模量Д。我们用R（ξ）表示P中的测度集，可以通过向右移动质量从ξ获得；更精确地说，如果ξ′∈ R（ξ）和m（·，dy）是关于ξa和ξ′之间wb的最佳耦合的第一个变量的分解，那么m（x，dy）只在[x，∞). 然后我们得到以下结果：；我们注意到它的证明与文献[9]中引理3.1的证明相似。2.4的提案。假设假设假设第2.2条成立。Letξn∈ R（ξ），n∈ N、 顺序为ξN→Wξ∈ P、 那么，v（ξ）=limn→∞v（ξn）。命题2.4的证明。固定ε>0，取τ∈ T（ξ），使得E[c（W，τ）]≥v（ξ）- ε。反过来，让Γ确保W（ξ，ξn）=RR | x- y | n（dx，dy）和letmn（x，dy）分解核族，其中n（dx，dy）=ξ（dx）mn（x，dy）。让U~ U[0，1]独立于G。用Mn表示(-1） （x，·）Mn（x，·）：=R·xmn（x，ds）的右连续逆，然后定义τn：=Mn(-1） （τ，U）。因为τ是Fτ-可测且ξn∈ R（ξ），在扩大的空间上(Ohm, G、 （Gt），P）=(Ohm×[0，1]，克B（[0，1]），GtB（[0，1]），P×L），我们就得到了τnis a（G·）-停止时间和τn~ ξn。

此外，E[|τ- τn |]=Ehτ- Mn(-1） （τ，U）i（2.7）=Z∞|s- t |ξ（ds）mn（s，dt）=W（ξ，ξn）。因此，我们可以选择N∈ N，使得Д（E[τN- τ] （）≤ ε、 适用于所有n≥ N，式中，ν是假设2.2中给出的c连续模量；应用后一种假设，我们得到v（ξn）≥ E[c（W·，τn）]≥ E[c（W·，τ）]- ε≥ v（ξ）- 2ε，对于n≥ N由于ε>0是任意选择的，我们得到了limn→∞v（ξn）≥ v（ξ），它与命题2.1相结合，给出了结果。3、测度值鞅与DPP3.1。测度值鞅与选择问题的表述。文献[9]中使用了测度值鞅的概念来解决一个鲁棒性定价问题，其中优化发生在满足给定边缘约束的一组鞅上。通过将该问题重新表述为度量值鞅，将约束转化为额外度量值状态过程的初始条件，从而将该问题作为随机控制问题来解决。本文的目的是将相同的方法应用于分布约束最优停止问题。为了证明这确实是自然的，请注意，对于给定的F-停止时间τ，定义ξt：=L（τ| Ft），我们得到了一个过程ξ·在R+上概率测度的se t中取其值，其中ξ=u和limt→∞ξt=τ；从某种意义上说，这也是一个需要精确的标记（参见下面的定义3.1）。此外，τ是停止时间这一事实意味着ξ·具有以下性质：用Ps={u表示∈ P：u=δy，y∈ R+}，我认为（3.1）inf{t≥ 0：ξt∈ Ps}≤ ξ∞;分布约束最优停止7的DPP，即ξt∈ Psor支持ξt [t，∞) a、 值得注意的是，停止时间τ族与此类测量值之间存在一对一的对应关系。前者的过程可通过τ=arg{t从后者恢复≥ 0：ξt=δt}。

原则上，分布约束最优停止问题可以等效地表示为一个在满足条件（3.1）和初始条件ξ=u的条件下，测量值分割ξ的优化问题。然而，对于我们的分布约束停止问题（2.1），我们需要考虑比上面讨论的更大的停止时间类别。我们选择的形式化方法是，我们将分解的随机停止时间的条件分布作为控制变量。从（2.1）中问题公式的角度来看，在最简单的情况下，G是由一个独立的均匀分布随机变量最初放大的布朗运动生成的，该cor响应于识别G停止时间，该过程产生其条件定律，仅给出布朗过滤；但另一种方法见下文第3.5条。更准确地说，回想一下（2.3）中关于spa ce的工作(Ohm = C（R+，F，W），我们可以选择将我们的问题视为核（γω）ω上的优化问题∈C（R+）对应于W和u之间（适应的）耦合的分解。将每个这样的核视为一个P值的可测量随机变量，满足在W下平均为u的条件，并旨在将后一个约束作为初始条件，我们将用产生其条件分布的过程来识别每个这样的核。这使得我们可以将该问题视为一个优化问题，该问题是一个满足约束ξ=u和适当的适应性条件的测度值鞅问题。具体而言，我们定义了以下一类优化对象：定义3.1。

给定支持自适应过程（ξt）t的过滤概率空间≥0带ξt∈ P、 我们说，如果ξ·（a）是鞅，则过程ξ是测度值鞅（MVM），对于任何a∈ B（R+）；-如果t 7，则MVM是连续的→ ξtin在由w诱导的拓扑中连续，第一个Wassers-tein度量，对于几乎所有ω∈ Ohm;- 如果ξt（[0，s]）=ξu（[0，s]）a.s.，对于所有s，采用MVM≤ t型≤ u、 对于任何A∈ B（R+），ξ·（A）是一个平凡的一致可积鞅，其极限ξ为完全定义的∞（A） ；更确切地说，ξ∞定义了一个概率度量，请参见【14】中的位置2.1。此外，注意ξ·（A）是任意A的鞅的条件∈ B（R+），等价于ξ（f）是任意f的鞅∈ Cb；参见【9】中的备注2。特别是，任何MVM因此在测度弱收敛到极限（随机）测度ξ的意义上收敛于s a.s∞.我们用MVM（u）表示ξ=u的连续自适应MVMξ集。因此，我们的第一个主张是，我们的原始问题确实承认以下等效公式：问题3.2。在给定空间上(Ohm = C（R+，F，F，W），考虑最大化（3.2）E的问题Z∞c（B·∧s、 s）dAξsAξt：=ξt（[0，t]），超过ξ∈ MVM（u）。引理3.3。问题3.2和（2.1）中介绍的问题是等效的。证据【4】中的引理3.11和【10】中的定理VI 65（参见【4】中的Theo-rem 3.6）结合在一起，意味着问题（2.1）等价于优化ER∞c（B·∧s、 s）dAγs,对于γt（ω）：=γω（[0，t]），在核（γω）ω上∈C（R+）对应于测量值γ的第一个变量中的崩解∈ RST（u）；参见（2.3）。将每个这样的kernel（γω）视为P值F-可测随机变量，我们定义了相关的8 SIGRID K¨ALLBLADprocess（ξt）t≥0byξt（A）：=E[γ·（A）| Ft]，对于A∈ B（R+）；自u起∈ P Thusdefined过程ξ在P中，它是一个度量值鞅，参见文献[9]中的Lemma2.12或文献[14]中的定理1.3。

值得注意的是，极限ξ∞:= 限制→∞ξ纺织师和ξ∞（dt；ω）=γω（dt），对于W-a.a。ω∈ Ohm. 因此，（2.3）和（3.2）中分别计算的关于（γω）和ξ的目标函数是一致的。接下来，请注意，由于γ∈ RST（u），或者，等效地，核γω在W下平均为u，并且由于fi是平凡的，我们得到ξ=u。此外，根据文献[9]中的Remark4，由于过滤满足通常的条件，因此P中的任何MVM都是正确连续的，即ξ·（F）对于任何1-Lips chitz函数F都是正确连续的；w、 l.o.g.，我们选择这个版本。此外，由于过滤F由BM生成，因此根据鞅表示定理，每个过程ξ·（F）实际上是连续的，因此ξ在定义3.1的意义上是连续的。因为对于任何γ∈ RST（u），γ·（[0，t]）是Ft可测量的，并且由于ξ∞（ω；[0，t]）=γω（[0，t]）a.s.，我们还得出ξ在定义3.1的意义上适用。因此，这样定义的过程ξ确实是一个连续的、使用自适应的MVM，ξ=u。相反，对于任何ξ∈ MVM（u），存在测量γ∈ RST（u），使其分解核（γω）等于γω（dt）=ξ∞（dt；ω）a.s。；我们很容易得出结论。备注3.4。我们在问题3.2中选择处理固定spa ce(Ohm, F、 F，W）但请注意，这种选择实际上是任意的，我们可以选择任何过滤概率空间(Ohm, G、 G，P）（满足通常条件）并支持BM W。实际上，表示为(Ohm, G、 G，P）通过一个独立的均匀分布随机变量（参见命题2.4）最初将该空间扩大而获得的概率空间。对于任何给定的自适应MVM，我们可以在后一个spa c e中构造一个停止时间τ，以使相应目标函数的值在[c（W，τ）]=e[Rc（W，s）dAξs]中重合。

相反，给定停止时间τin(Ohm, G、 G，P），通过使用引理3.3证明中使用的相同参数，我们认为定义ξt：=L（τ| Gt）会产生一个适应的MVMin(Ohm, G、 G，P），对应的目标函数相吻合；无表ξ·允许c\'adl\'ag版本，且满足ξ=u，因为Gis微不足道。因此，问题的MVM公式也继承了问题概率空间（2.1）具体选择的独立性（参见第2.1.1节）。特别地，用K（u）表示所有项κ=(Ohmκ、 Fκ，Fκ，Pκ，Wκ，ξκ），使得(Ohmκ、 Fκ，Fκ，Pκ）是一个过滤概率空间，Gκ微不足道，其中Wκ是BM，ξκ是一个适应性MVM，ξκ=u，我们有v（u）=supK（u）EκZc（Wκ·∧s、 s）dAξκs.（3.3）备注3.5。从问题（2.1）的角度来看，对于最简单的情况，其中G是由一个初始由独立均匀分布随机变量放大的布朗运动生成的过滤，问题3.2中考虑的MVM与ξt=L（τ| Ft），其中（Ft）表示仅由布朗运动生成的过滤；从本质上来说，可以考虑形式为ηt：=L（τ| Gt）的对象。后者还定义了MVM，此外，MVM在η中以单方度量终止∞（ω） =Δτ（ω）∈ Psa。s、 然而，通常我们没有η=u。然而，在不考虑鞅性质的情况下，可以将η推广到(-ε，∞) 通过定义ηt=u表示t∈ (-ε、 0）；在实现G-可测随机变量后，η通常会在时间t=0时跳跃。自然，这里的结果也可以用这种MVM来表示；然而，我们认为预先发送的配方对于我们的目的来说是最自然的，并且不再进一步探讨这些细节；然而，见下文推论3.9。分布约束最优停止的DPP 93.2。动态规划原理。

本节的目的是以其等价形式（3.2）建立分布约束最优停止图m的动态规划原理。为此，我们引入了相关的值函数。我们继续在太空中工作(Ohm = C（R+，F，F，W），尽管根据备注3.4，我们注意到这是一个有点任意的选择。具体而言，我们定义v：R+×c（R+）×P→ R byv（t，w，ξ）：=supξ·∈MVMt（ξ）EZ∞tc公司重量，w·∧u、 u型dAξu,（3.4）其中，MVMt（ξ）表示ξt=ξa.s.的连续适应MVM集，WT，w·表示SDE dWt的解，ws=dBs，对于∈ [t，∞), 使用initialcondition Wt，ws=wsa。s、 ，对于s∈ [0，t]。我们的主要结果如下：；我们使用约定E[Ξ]=E[Ξ+]- E[Ξ-]具有∞ - ∞ = -∞, 对于任何随机变量：定理3.6（动态规划原理）。对于所有（t，w，ξ）∈ R+×C（R+）×P，以及任何F-停止时间θ，其值为（t，∞), 它认为v（t，w，ξ）=supξ·∈MVMt（ξ）E“Zθtc重量，w·∧u、 u型dAξu+vθ、 重量，w·∧θ、 ξθ#.（3.5）备注3.7。关于dAξ·的积分自然可以理解为Lebesgue–Stieltjes积分。因此，如果ξ∈ P在时间t上有一个原子，它不会贡献给值函数v（t，x，ξ）。同样，在DPP（3.5）的公式中，如果给定的MVMξ·∈ MVM（ξ）在时间θ处有一个原子，原子将通过从t到θ的积分而不是通过t时间θ计算的值函数对目标函数作出贡献。更具体地说，值函数只在时间t之前的w上结束，ξ在（t，∞) 在v（t，w，ξ）=v（t，w）的意义上·∧t、 ξt），式中￠ξt（A）=ξ（A∩ （t，∞)), A.∈ B（R+）。

为此，我们引入了符号ξ| t，用于ξ到（t）的（重新加权）限制，∞): ξ| t（A）：=ξ（A∩（t，∞))ξ（（t，∞)), A.∈ B（R+）。根据v的定义，v（t，w，ξ）=ξ（（t，∞))v（t，x，ξ| t）；nc e还可以获得以下版本的DPP：v（t，w，ξ）=supξ·∈MVMt（ξ）E“Zθtc重量，w·∧u、 u型dAξu+ξθ（θ，∞)vθ、 重量，w·∧θ、 ξ|θθ#.在给出定理3.6的证明之前（在下面的第3.3节中），我们对两种特殊情况进行了评论。首先，尽管我们认为本文研究的（弱）问题公式是自然的（尤其是因为它总是允许一个解），但我们注意到，每当问题（2.1）允许一个“强”解时（这里意味着与布朗运动单独产生的过滤相适应的一个最佳停止时间），定理3.6意味着一个更强的结果。为了明确这种情况下的DPP，回顾定义3.1和子部分讨论，存在营养（随机）测量ξ∞∈ P a.s.使ξt→ ξ∞a、 s.as t→ ∞, 其中，收敛是指测度的弱收敛；此外，回忆一下旋转Ps={u∈ P：u=δy，y∈ R+}。然后，我们定义如下：定义3.8。如果ξ，则MVM（ξt）终止∞∈ Psa。s如果τξ：=inf{t，则为完全终止≥ 0：ξt∈ Ps}几乎可以肯定是有限的。值得注意的是，终止MVM满足适应性属性，当且仅当条件（3.1）成立；因此，例如，当（2.1）允许势垒解时，任何自适应终止MVM实际上都是这种情况，根据[5]，每当c（ω，t）=f时，就会发生势垒解o ω（t），对于某些f:R→ f′大于0的R。值得注意的是，对于存在障碍解决方案的特殊情况，DPP原则是其直接后果。10 SIGRID K¨ALLBLAD完全终止，我们有τξ=arg{t≥ 0：ξt=δt}。

我们用MVMterm表示连续自适应和完全终止的MVM集合，并类似于上述定义VMTTERM（ξ）。推论3.9（DPP：强公式）。假设问题（2.1）中的剩余定价到仅由布朗运动产生的过滤可测量的停止时间，不会影响问题的价值。然后，对于值为（t）的任何f停止时间θ，∞),v（t，w，ξ）=supξ·∈MVMtterm（ξ）Ehc重量，w·∧τξ，τξ{τξ≤θ} +vθ、 重量，w·∧θ、 ξθ{τξ>θ}i.（3.6）其次，我们考虑u在有限个（固定）原子上有支撑0<t<…<k的tr∈ {1，…，r}和t∈ [tr-k、 tr公司-k+1），让vt：C（R+）×k→ R由（3.7）vt（w，y（R）给出-k+1）：r）：=v（t，w，ξ），其中ξ=rXi=r-k+1yiδti，其中我们使用符号y（r-k+1）：R矢量（yr）-k+1。。。，对于向量值随机过程e s，我们有以下推论：推论3.10（DPP：原子约束）。假设u支持原子数0<t<…<tr.那么，对于k∈ {1，…，r}，带M(k） 表示取值的鞅集k、 我们有那个录像机-k-1.w、 y（r-k） ：r= 苏比∈M级(k+1）年初至今-k-1=y（r-k） ：rE“年-ktr公司-kc公司重量，w·∧tr公司-k、 tr公司-k（3.8）+1.- 年-ktr公司-k录像机-kWt，w·∧tr公司-k、 Y（r-k+1）：rtr-k1级- 年-ktr公司-k！#。备注3.11（与Bayraktar和Miller的关系【3】）。在[3]中，作者考虑了c型（ω）的代价函数·∧s、 s）=foω（s）与f:R→ R Lipschitz和restrictto原子边际约束。此外，他们考虑了强公式，其中过滤是由布朗运动单独产生的过滤。Theirmain结果（定理1）然后为其值函数v建立blishs（3.8）；值得注意的是，他们首先导出了带有附加条件Yr的强版本-ktr公司-k∈ {0，1}a.s.（参见（3.6）），然后放松这个条件。