多元几何期望值

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英文标题：
《Multivariate Geometric Expectiles》
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作者：
Klaus Herrmann, Marius Hofert, Melina Mailhot
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  A generalization of expectiles for d-dimensional multivariate distribution functions is introduced. The resulting geometric expectiles are unique solutions to a convex risk minimization problem and are given by d-dimensional vectors. They are well behaved under common data transformations and the corresponding sample version is shown to be a consistent estimator. We exemplify their usage as risk measures in a number of multivariate settings, highlighting the influence of varying margins and dependence structures.
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中文摘要：
介绍了d维多元分布函数期望值的一种推广。由此产生的几何期望值是凸风险最小化问题的唯一解，由d维向量给出。它们在常见的数据转换下表现良好，相应的样本版本被证明是一致的估计量。我们举例说明了它们在多变量环境中作为风险度量的使用，强调了不同利润率和依赖结构的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：期望值 Multivariate Quantitative Minimization distribution

多元几何期望值*Marius Hofert+M'elina Mailhot'2018年1月19日摘要介绍了d维多元分布函数期望值的推广。由此产生的几何期望值是凸风险最小化问题的唯一解，由d维向量给出。它们在常见的数据转换下表现良好，相应的样本版本被证明是一致的估计量。我们举例说明了它们在多变量环境中作为风险度量的使用，强调了不同利润率和依赖结构的影响。关键词：期望值、几何分位数、可引出性、依赖性、最小化期望损失、多元风险度量1简介风险管理和应用精算学的一项基本任务是量化与给定头寸相关的风险。风险头寸的主要例子是投资组合持有或（再）保险合同。量化风险不仅对于金融机构、保险公司或个人投资者的内部决策过程是必要的，而且从监管角度来看也是必要的。例如，银行（OSFI、AMF、Basel II、2.5、III）和保险公司（CIA以及欧洲的Solvency II、Swiss Solvency Test）的监管框架不仅需要内部风险建模，而且还特别要求企业使用风险度量以特定方式量化和报告风险。这项任务本质上是多变量的，因为美国财产和意外伤害最低资本目标咨询委员会的一项关键原则是“风险应汇总”。在有证据表明在压力情况下分散风险将保持不变之前，不允许在风险类别之间进行分散”（见金融机构总监【2010年】）。

加拿大金融机构总监办公室声明：“总、让与和*康科迪亚大学数学和统计系，1400 de Maisonneuve Blvd。加拿大蒙特内尔（魁北克）西部H3G 1M8；电子邮件：klaus。herrmann@concordia.ca+加拿大安大略省滑铁卢市大学大道西200号滑铁卢大学统计和精算学系N2L 3G1；电子邮件：马吕斯。hofert@uwaterloo.ca康科迪亚大学数学与统计系，1400 de Maisonneuve Blvd。加拿大蒙特内尔（魁北克）西部H3G 1M8；电子邮件：melina。mailhot@concordia.ca.net索赔负债准备金必须由精算业务部门提供”（见金融机构监管局[2014]）。直到最近，监管经济资本都是基于单变量风险度量来计算的。在这种情况下，即当单独考虑风险时，风险度量的理论已经建立，参见McNeil等人【2015】第2章的概述。在这种情况下，最常见的两种风险度量是风险价值（VaR）和尾部风险价值（TVaR；有时也称为条件尾部预期或预期短缺）。然而，在处理投资组合时，必须重新调查资本分配，因为投资组合更适合同时为多个业务活动获取资本。在本文中，我们介绍了一种方法，该方法允许用户根据可能不同的信心水平将资本分配给每个风险，并考虑业务线之间的依赖性。在现实世界中，市场和资产相互关联，或容易出现系统性风险。在考虑依赖性可以发挥重要作用的保险合同时，情况也是如此。因此，在联合框架中考虑风险，而不是像自上而下的分配规则那样将其视为孤立的实体，这可能是有益的。

在过去十年中，加拿大银行（Bank of Canada）特别指出了这一考虑中的许多问题（参见Gauthier等人【2010年】）。为此，最近出现了一种多变量风险度量的一般理论，该理论特别考虑了潜在的依赖结构。基于多变量风险度量，Cherubini et al.（2004）使用双变量反分位数研究了两个股票指数之间的权衡。Di Bernardino等人【2013】使用多元风险值和尾部风险值研究了损失和调整损失分配费用（ALAE）。Gu’egan和Hassani【2014年】根据双变量分位数分配风险资本，其中操作风险和其他相关风险被视为独立的相关类别。大多数技术都使用一个接受集，如Jouini等人[2004]所述，并考虑到这些类别之间的依赖性，为每个风险类别计算一个度量。Balb\'as等人【2011年】提出了多变量风险函数的一般表示的若干性质。从精算的角度来看，Embrechts和Pucceti【2006年】、Cossette等人【2012年】、Councise和Di Bernardino【2013年】以及Torres等人【2015年】对概括VaR的多元风险度量进行了论述。Kosin andDi Bernardino【2014】和Cossette等人【2015】定义了TVaR的多变量版本。Maume Deschamps等人【2017年】也引入了期望值的多变量扩展。然而，这种方法与我们的方法不同，因为它是非几何的。同样，统计界已经将分位数（即VaR）的概念推广到更高的维度，例如，通过统计深度的概念，参见Mosler【2013】的概述，以及Abdous和Theodorescu【1992】、Chaudhuri【1996】或Chakraborty【2001】中基于优化的定义。

尽管这两种方法从不同的起点出发，但在某些情况下，互连是可能的，参见Hallin和Paindaveine【2010】的例子。Serfling【2002】对不同方法进行了全面概述，而McNeil和Smith【2012】建立了半空间深度与压力测试风险因素之间的联系。我们的工作是基于这样一个事实，即尽管其具有良好的性质和受欢迎程度，但在单变量情况下无法得出风险价值，参见Gneiting【2011年】。可激发性是Osband（1985年）研究的一种属性，目的是对风险的估计进行评分。因此，当使用TVaR，或者如Ziegel【2014】所示，使用预期以外的任何其他光谱风险度量时，不可能使用相同的标准进行基于预测的模型选择和风险评估。虽然单变量分位数是可引出的，因此可用于基于预测的模型选择，但它们不符合广泛接受的一致性框架，参见Artzner等人【1999年】，该框架以公理化的方式建立了风险度量的可参考属性。这是实际应用中的一个严重缺陷。正如齐格尔（Ziegel）[2014]所示，纽伊（Newey）和鲍威尔（Powell）[1987]提出的唯一可引出的、法律不变的和连贯的风险度量是期望值。期望值概括给定概率分布的平均值的方式与分位数概括中值的方式大致相同。此外，当考虑与给定头寸相关的损益比率时，它们有一个自然的解释，即预期收益与预期损失的比率，这是投资组合管理中一个流行的绩效衡量指标，见Bellini和Di Bernardino【2017】。

为了达到预先规定的且在实际应用中具有足够高的盈亏比，需要增加到给定职位的金额由一个预期值给出。因此，在单变量情况下，预期值结合了风险度量的有利特性，构成了对已建立的VaR和TVaR的重要补充。考虑到多变量风险度量的需要和单变量期望值的有利性质，因此，本研究的主要目标是确定期望值的多变量变化并研究其性质。此外，本文还引入了一个新概念，即为每种风险分配一个不同的置信水平，同时考虑它们之间的依赖结构。本文的结构如下。第2节简要总结了单变量分位数和期望值，而第3节介绍了多变量框架背后的主要思想。具体而言，第3.1节回顾了几何分位数，而第3.2节定义了几何期望值作为本文的主要贡献。我们在第4节讨论了新引入的统计泛函的总体和渐近性质，而在第5节讨论了示例。最后，第6节得出结论。选定的绘图可以使用最新版本的R包qrmtools进行复制；请参阅vignette geometric\\u risk\\u measures。2单变量分位数和期望值这是统计学中的一种标准方法，用以在给定损失函数下最小化随机变量的期望损失来表示总体特征。考虑到绝对值|·|，中值解出med X=argminc∈RE[| X- c |]，而在考虑平方损失E[X]=argminc时，得到的平均值∈RE[（X- c） 】。

在绝对值损失函数的情况下，很容易观察到，使用|·|的非对称推广，可以得到中值以外的分位数。对于α∈ （0，1）我们将支票损失定义为ρα：R→ [0，∞), t 7→α- 1个(-∞,0]（t）|t |，（1）其中我们看到α=0.5的情况与通常的绝对值直接相关。与中值相似，这导致F-1（α）=argminc∈RE[ρα（X- c） 】。在Koenker和Bassett【1978】中，这一观察结果是引入分位数回归框架的起点。作为替代品，Newey和Powell（1987）在相同的直线上引入了方形损耗的不对称版本。为此，我们设定λα：R→ [0，∞), t 7→α- 1个(-∞,0]（t）|t |，（2）其中α∈ （0，1）。极小值e（α）=argminc∈RE[λα（X-c） ]被称为期望值，类似于最小化支票损失的分位数。同样，情况α=0.5简化为众所周知的激励示例，即e（0.5）=e[X]。广义损失函数是其对称α=0.5对应项的对称版本。然而，与ρα相比，损失函数λα是连续可微的，从而在最小化的背景下产生了有利的分析性质。3多变量几何风险度量为了将单变量期望值推广到多变量环境，我们首先回顾了Chaudhuri（1996）提出的第3.1节框架。这允许对（1）中的损失函数进行适当的推广，从而得到多元几何分位数。在第3.2节中，我们应用Chaudhuri【1996】的基本思想，给出（2）的多元推广，并引入多元几何期望值，作为本文的主要贡献。3.1。RiskChaudhuri的多元几何值【1996】通过推广第2节中概述的方法，提供了多元分位数的定义。

得到的几何分位数是基于（1）中给出的广义ρα的多元损失函数，通过最小化预期损失得到的。对于x，y∈ Rdwe用kxk表示=√x> x和hx，yi=x>y分别是欧几里德范数和内积，由Bd={x∈ Rd:kxk<1} RDINRD是开放单位球，在明确的情况下，我们忽略了上标。对于固定指数u∈ BChaudhuri【1996】定义了损失函数ΦuasΦu:Rd→ [0，∞), t 7→ Φu（t）=（ktk+hu，ti）。（3） 而对于所有u，Φu（0）=0∈ B、 对于所有（u，t），Φu（t）>0∈ B×Rd使用Cauchy-Schwarz不等式。Φu的凸性直接来自范数和内积的性质。基于α级的Φuthe（多元）几何分位数或几何VaR∈ B对于随机向量X，则定义为varα（X）=argminc∈RdE[Φα（X- c） 】。（4） 如Chaudhuri【1996】所示，（4）的右侧始终是有限的，因此最小化是适定的。此外，得到的几何VaR是（4）的唯一极小值。在（4）中，向量α∈ B担任信任级别的角色。然而，由于多变量上下文的原因，VaR现在由d维向量而不是标量索引。与其他方法相比，这增加了额外的灵活性，如Cousin和Di Bernardino【2013年】、Ben Tahar【2006年】和Cossette等人【2015年】，其中，只能为多变量风险X设置一个标量置信水平。还需要注意的是，几何量α（X）本身由Rd中的向量表示。这使得得出的风险度量比Cousinand Di Bernardino【2014】、Cousinand Di Bernardino【2013】和Mailhot等人的方法更容易用于风险分析。

【2017年】当将（0，1）中的传统置信水平与我们设定的单变量情况进行比较时，如果得出的多变量数量是Rd中的子集，则必须小心调整指数。通过简单地根据f重新索引，两种设置是等效的：[0，1]→ [-1，1]，x 7→ f（x）=2x- 因此，传统设置中99%的指数与本文采用的惯例中98%的指数具有可比性。目标函数等高线的方向受指数u的方向影响，而指数的大小会改变等高线的形状。对于较小的Kukt值，等高线更像范数，即更圆，并且在极限kuk=0，即当且仅当u=（0，0）时，我们确实剩下范数的圆形等高线。3.2。多元几何期望根据Chaudhuri【1996】的方法，我们通过λα的多元推广引入期望的多元表示。为此，将（2）中给出的λα的原始定义改写为λα（t）=| t |（| t |+（2α- 1） t）。可以很容易地验证，所有t∈ R、 与（3）类似，这激发了我们对损失函数∧uas∧u:Rd的定义→ [0，∞), t 7→ ∧u（t）=ktk（ktk+hu，ti），（5），其中u∈ B是开放单元球的固定元素。假设所有（u，t）的Φu（t）>0∈B×Rdit很明显，我们也有∧u（t）>0表示所有（u，t）∈ B×Rd.对于Φuwe，所有u的∧u（0）=0∈ B、 对于给定的置信水平α∈ B我们现在将随机向量X的几何期望值定义为基于∧α的期望损失的最小值，即α（X）=argminc∈RdE[λα（X- c） 】。（6） 与几何VaR一样，几何预期值的定义基于指数α∈ B允许指定置信水平的方向和大小。

此外，几何期望值是Rd中的向量。这使得它们比作为Rd子集给出的多变量风险度量更容易解释。例如，对于α=0，很容易看到E（X）=（E[X]，…，E[Xd]）。因此，平均向量类似于单变量情况，是（6）中定义的几何期望值的特例。在第4节中，我们讨论了极小eα的存在性及其唯一性，以及eα的进一步性质。u1=0.9/2（1,1）t1t20.05 0.0711 0.1011 0.1437 0.2042 0.2904 0.4128 0.5869 0.8343 1.1861 1 1.6862 2.3972 3.408 4.845 6.8879 9.7923 13.9212 19.7912 19.7912 19.7912 28 28.1362 40-4.-2 0 2 4-4.-2 0 2 4●u2=0.9/2时∧u2（t1，t2）的等高线(-1,1）t1t20.05 0.0711 0.1011 0.1437 0.2042 0.2904 0.4128 0.5869 0.8343 1.1861 1 1.6862 2.3972 3.408 4.845 6.8879 9.7923 13.9212 19.7912 19.7912 19.7912 19.7912 28.1362 40-4.-2 0 2 4-4.-2 0 2 4●u3=0.5/2时∧u3（t1，t2）的等高线(-1,1）t1t20.05 0.0711 0.1011 0.1437 0.2042 0.2904 0.4128 0.5869 0.8343 1.1861 1 1.6862 2.3972 3.408 4.845 6.8879 9.7923 9.7923 13.9212 19.7912 19.7912 19.7912 19.7912 28.1362-4.-2 0 2 4-4.-2 0 2 4●证据对于t 6=0，很明显，每个变量的偏导数存在且是有限的。为了证明t=0的说法，我们首先考虑梯度的第k个元素，由tk∧u（t）=tk+tk2 ktkhu，ti+ktkuk。现在考虑一个序列（tn）∞n=1如此限制→∞tn=0，我们可以通过d维极坐标来表示每个元素tn，也就是说，我们考虑半径rnand角度φn，1，φn，d-1使tn可以用tn=rn表示cos（φn，1）sin（φn，1）cos（φn，2）sin（φn，1）sin（φn，2）cos（φn，3）。。。sin（φn，1）···sin（φn，d-2） cos（φn，d-1） sin（φn，1）···sin（φn，d-2） sin（φn，d-1） ，则，= rnξ（φn，1，…，φn，d-1） 其中rn→ 0作为n→ ∞. 写入ξ。