多元几何期望值

利用范数和内积的基本性质，我们得到sα（cx，cy）=∧α（c（x- y） ）=kc（x- y） k（kc（x- y） k+hu，c（x- y） i）=ckx- yk（kx- yk+hu，x- yi）=c∧α（x- y） =cSα（x，y）。单变量期望值是有吸引力的风险度量，因为它们的一致性，次加性是其基石。对于单变量期望值，当α>0.5时，我们对任意随机变量X andY次加性eα（X+Y）6 eα（X）+eα（Y），而对于α6 0.5，我们有超加性eα（X+Y）>eα（X）+eα（Y）。重要的是要认识到e0.5（X）=E[X]，即有一个点将亚加性和超加性情况分开。虽然一元次可加性和超可加性的概念是基于序inR，但对于Rd，d>2，多元情况没有标准序。为了避免这个问题，我们利用在更高维度中仍然有效的集合包含。重新考虑单变量情况，我们可以看到，对于任何区间I （0，1）包括0.5，我们有{x∈ R:x=eα（x+Y），α∈ I} {x∈ R:x=eα（x）+eα（Y），α∈ 一} 。为了基于这一观察结果提出多变量一般化，我们在B.Definition 4.4（几何风险度量的多变量次加性）中将区间I替换为闭球。用X和二维随机向量表示，用ρα表示基于指数α的几何风险度量∈ B、 对于0<r<1，确定设置ar（X；ρ）={X∈ Rd：x=ρα（x），kαk6 r}，Ar（x，Y；ρ）={x∈ Rd:x=ρα（x）+ρα（Y），kαk6 r}。多元几何风险度量ρα是多元次加性，ifAr（X+Y；ρ） 所有0<r<1的Ar（X，Y；ρ）。我们使用第5节中讨论的数值技术进行二维演示。为此，我们引入了一个随机向量Z=（Z，…，Z），其中第一个边际分布Z跟随一个甘贝尔分布，Z~ t、 Z遵循标准物流配送和Z~ N（0，1）。

为了引入Z分量之间的依赖关系，我们通过一个参数θ=5的四维克莱顿copula Cθ连接边距。然后将二元随机向量表示为X=（Z，Z）和Y=（Z，Z）。在图2（左）中，我们显示了A0.2（X+Y；VaR）和A0.2（X，Y；VaR），其中很明显，几何VaR不是多元次加性，这与单变量情况一致。当关注α=0的情况时，可以解释这种行为，在这种情况下，geometricVaR是欧几里德距离Var（X）=argminc的最小值∈RdE[kX- ck]。没有理由认为得到的最优值是加性的，即VaR（X+Y）=VaR（X）+VaR（Y）。假设当α→ 0时，当rVenVar（X+Y）6=VaR（X）+VaR（Y）时，这些集合必然相交于某些r。此行为如图2左侧所示。在图2（右）中，我们显示了A0.2（X+Y；e）和A0.2（X，Y；e）。在这种情况下，我们观察到0.2（X+Y；e） A0.2（X，Y；e）。与几何变量相反，在几何期望值的情况下，我们有e（X）=e[X]，因此可加性e（X+Y）=e（X）+e（Y）。因此，排除了沿着forVaR的相同路线构建多元次加性反例的可能性。尽管对许多不同关节模型和r水平的数值检查表明几何期望值是多元次加的，但目前还没有正式的证据。4.3。渐近性和估计在第4节中，我们已经确定（6）中定义的几何期望值对于具有有限边缘二阶矩的随机向量是一个很好的定义函数。就实际应用而言，这提出了两个问题。首先，对于给定的随机向量X，可能无法计算eα（X）的闭式解，需要调用数值近似。

其次，在实际应用中，有必要确定eα（X）的样本版本是eα（X）的一致估计量。虽然eα（X）的隐式定义一开始似乎很有挑战性，但我们的函数属于成熟的M估计框架；有关介绍，请参见Huber和Ronchetti【2009年】。为了讨论一致性，我们用（Xi）表示∞i=1a具有与X相同分布的独立和同分布（iid）随机向量序列。虽然对RGODIC和（弱）平稳随机向量的推广是直接的，但为了便于呈现，我们将重点放在iid情况。对于有限样本，我们将（6）中的期望值替换为样本0.0 0.5 1.0-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6xyA0.2（X+Y；VaR）A0.2（X，Y；VaR）0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4xyA0.2（X+Y；e）A0.2（X，Y；e）图2：集合的边界A0.2（X+Y；VaR）（左侧，边界为绿色）、A0.2（X，Y；VaR）（左侧，边界为橙色）和A0.2（X+Y；e）（右侧，边界为绿色）、A0.2（X，Y；e）（右侧，边界为橙色）。X=（Z，Z）和Y=（Z，Z），其中Z遵循Gumbeldistribution，Z~ t、 Z遵循标准物流配送和Z~ N（0，1）。所有边距由一个参数θ=5的四维Clayton copula Cθ连接。计算基于20000个独立的复制。平均的通过φn（c）=nnXi=1∧α（Xi），这提供了（9）中定义的φ的有限样本版本或蒙特卡罗估计量- c） ，我们立即得到φn（c）a.s。-→ φ（c）（因此φn（c）p-→ φ（c））来自强大的数定律。为了保证极小值的收敛性，我们引用Hayashi[2000]的命题7.4。推论4.2（一致性）。如果（C）对d维随机向量X成立，则为argminc∈Rdφn（c）p-→ eα（X）。证据我们采用Hayashi[2000]的命题7.4，该命题保证了估计值的一致性。

根据定理4.8，φ（c）在Rdat eα（X）上唯一最小化，且φ（c）存在且对所有c是有限的∈ Rd.此外，∧α是凸的。虽然Hayashi[2000]中的极小命题7.4的存在性只是渐近的，但很明显，极小值存在于每一个n∈ N在我们的情况下。推论4.2还提出了一种在无法建立闭合形式解时计算eα（X）的简单方法。如果X的抽样方法可用，则用经验平均值替换期望值可得到有效的近似值。通过（xn）ni=1表示通过模拟或真实数据获得的随机向量序列（Xi）ni=1的实现，还需要注意φnis是严格凸的。推论4.3（φn的严格凸性）。用（xi）ni=1a表示Rd中的向量序列。函数φn:Rd→ R、 c 7→ φn（c）=nPni=1∧α（xi- c） 是严格凸的。证据假设φ是严格凸函数的凸组合，则从凸函数的基本性质出发进行证明。推论4.3的重要性在于最小化argminc∈Rdφn（c）在有限样本情况下也表现良好，根据推论4.2，函数存在唯一的极小值。然后，可以通过数值最小化技术获得最小值，即eα（X）的有限样本版本。5说明在本节中，我们讨论一种特殊情况，对于这种情况，可以获得多元几何期望的闭式表达式。此外，我们还为许多不同的随机向量提供了数值说明，以突出改变边缘和依赖结构的影响。5.1。均匀分布的解析解我们考虑二元均匀分布的情况，并用U=（U，U）表示密度为（b）的随机向量-a） （b）-a） 其中bj>aj和bj，aj∈ R表示j=1，2。

我们首先计算平方范数的期望值，即c=（c，c）asg（c，c）=E[kU- ck]=ZbaZba（u- c） +（u- c） （b）- a） （b）- a） dudu=（b- a） （b）- a） Zb公司-加利福尼亚州-cZb公司-加利福尼亚州-cu+ududu=（b- a） （（b）- c）- （a）- c） ）+（b- a） （（b）- c）- （a）- c） ）3（b）- a） （b）- a） 。定义实值函数hand hash（x，y）=ypx+y+xlogy+px+yandh（x，y）=-3x+20xypx+y+y3年+8像素+年+ 12xlogy+px+y,我们还有thatddxh（x，y）=xh（x，y）和thatddyh（x，y）=px+y。因此，ZbaxZbapx+ydydx=Zbax（h（x，b）- h（x，a））dx=Zbaxh（x，b）dx-Zbaxh（x，a）dx=h（b，b）- h（a、b）- h（b，a）+h（a，a）。这最终导致tog（c，c）=E[kU- ck（U- c） ]=ZbaZba（u- c） p（u- c） +（u- c） （b）- a） （b）- a） 嘟嘟，=（b- a） （b）- a） Zb公司-加利福尼亚州-库兹布-加利福尼亚州-cqu+ududu，=h（b- c、 b类- c）- h（a- c、 b类- c）- h（b- c、 a- c） +小时（a- c、 a- c） （b）- a） （b）- a） ，其中我们将Ganalogy定义为g（c，c）=E[kU- ck（U- c） 】。把前面的结果加在一起，我们得到α=（α，α），φ（c）=E[λα（U- c） ]=E[kU- ck+αkU- ck（U- c） +αkU- ck（U- c） ]=g（c，c）+αg（c，c）+αg（c，c）。几何期望值eα（U）现在为aseα（U）=argminc∈Rφ（c）。这个例子最突出的是，即使在最简单的情况下，找到一个封闭形式的解决方案也是一个挑战。从这个意义上讲，第4.3节中介绍的数值近似法发挥着更为突出的作用。使用此方法的完整示例可在以下章节中找到。5.2。数值说明在本节中，我们将可视化所选二元随机向量的几何期望值。为此，我们定义了四个随机向量X，X具有不同的边缘和从属结构；见表1。依赖结构以copulas的形式化，例如，教科书介绍见Nelsen【2006】或Joe【2014】。作为我们比较的基线，X=（X，X）遵循具有独立标准正态边际的二元正态分布。

考虑到x，我们保持组件之间的独立性，但我们改变了边距。Xnow遵循一个偏正态分布，见Azzalini【1985】，参数（ξ，ω，α）=(-1、1、2）和X遵循学生t分布，ν=4自由度。对于X，我们只改变了X的依赖结构，即向量Copula Xi1~ Xi2~X=（X，X）独立N（0，1）N（0，1）X=（X，X）独立SN(-1，1，2）tX=（X，X）Gumbel，θ=2 N（0，1）N（0，1）X=（X，X）Gumbel，θ=2 SN(-1，1，2）表1：随机向量X，十、 XA和Xstill均遵循标准正态分布，但依赖结构现在由参数θ=2的Gumbel copula给出。最后，Xdi不同于边缘和依赖结构的Xin项，其中我们使用了X的倾斜正态和学生t边缘以及X的Gumbel依赖结构。为了说明不同指数的影响，我们考虑了α的两个参数化。首先，我们根据α（Д）=0.98（cos（Д），sin（Д）），选择α∈ [0，2π），描述半径为0.98的圆圈。在单变量情况下，0.98的量级对应于0.99的置信水平。其次，我们根据α（Д）=（0.98 cos（Д），0.90 sin（Д）），选择α∈ [0，2π），它在B中描述了一个椭圆，其中在单变量情况下，0.90的量级对应于0.95的置信水平。图3中显示了两种指数选择。为了进一步参考，我们指出了结果指数αj（νk），j∈ {1，2}，对于Дk=k2π/8，k∈ {0，…，7}，通过k的相应值。

由于没有可用于计算eαj（Д）（X`）的闭式解，`∈ {1，2，3，4}，我们取而代之的是从X的各自分布中抽取一个大小为10000的iid样本，并使用第4.3节中概述的数值程序；i、 我们使用蒙特卡罗积分。图4显示了X（左上角）、X（右上角）、X（左下角）和X（右下角）的最终几何期望值和密度等高线。灰线表示潜在的二元分布函数的密度等值线。为了表示不同指数选择的影响，橙色实线表示产生的几何期望值α（Д）（X`），`∈ {1，…，4}，表示Д∈ [0，2π）。同样，绿色实线表示eα（Д）（X`），`∈ {1，…，4}，表示Д∈ [0，2π）。与图3一致，我们根据φk=k2π/8，k标记指数αj（φk）的最终几何期望值eαj（φk）（Xi）∈ {0，…，7}，通过k的相应值。从图4可以明显看出，几何期望值适应下面的分布。对于X的径向对称分布（左上面板），表示αj（Д）（X）的线表示所有可能的Д∈ [0，2π）类似于指数αj（Д）的形状。此外，我们还可以直观地观察到命题4.4中建立的对称性。然而，对于倾斜和较重的尾部边缘（右上图），几何期望值通过凸出来适应。这也会略微改变其中的方向，例如，eα（Д）（X）不再以y轴为中心。在X（底部leftpanel）的组件之间引入依赖关系会迫使几何预期变形。然而，与左上面板相比，变形并不像右上面板那样通过膨胀实现，而是通过压缩和旋转实现的。

最后，在X（右下面板）中组合这两种效果时，我们可以看到-1-0.5 0.0 0.5 1.0-1-0.5 0.0 0.5 1.0xy●0123456701234567图3：对于Д=3π/4（绿色箭头），双变量指数α（Д）=0.98（cos（Д），sin（Д）），对于Д=π/4，α（Д）=（0.98 cos（Д），0.90 sin（Д））（橙色箭头）。实线表示φ在[0，2π]内变化时可能的指数。数字表示αj（φk），j∈ {1，2}，对于Дk=k2π/8，其中k∈ {0，…，7}。灰色虚线表示开放单位球的边界B={x∈ R： kxk=1}。几何预期会根据先前观察到的效应叠加而变宽和变形。5.3。比较几何风险值和预期在继续第5.2节中的数值示例时，我们现在讨论计量VaR和几何预期之间的差异，以及它们的单变量对应项。对于固定α∈ （0，1）因此，我们考虑相应的指数α=（2α-1） （1，0），其中我们对第3.1节中讨论的指数的大小进行了必要的调整。然后，我们计算X=（X，X）的第一个成分在α水平的单变量VaRα（X）和期望值eα（X），见表1，以及基于α的几何VaRα（X）和几何期望值eα（X）。将单变量风险度量与图5中的多变量对应项的第一个组成部分进行比较，我们发现多变量风险度量更为保守，即绝对值更高。事实上，几何VaR为给定水平α提供了最保守的储量估计，而同一水平的单变量预期值是最保守的。我们进一步比较几何VaR和几何期望值，方法是计算一个给定方向的大小，该方向导致产生的多变量风险度量的每个分量的值相等。

因此，我们确定了一个元素u∈ B={x∈ R： kxk=1}和θ∈ [0，1）获得一个起始指数α=θu，我们计算eα（X）。对于m∈ [0，1）然后，我们的目标是找到一个最佳的m*这就产生了VaRm*u（X）=eα（X），在最小二乘意义上，ism*= 阿格明姆∈[0,1）Xi=1（VaRmu（X）i- eα（X）i）。-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3xy0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0123456701234567●01234567х0х1х2х3х4х5х6х7-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3xy0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0123456701234567●01234567х0х1х2х3х4х5х6х7-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3xy0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0123456701234567●01234567х0х1х2х3х4х5х6х7-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3xy0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0123456701234567●01234567х0х1х2х3х4х5х6х7图4：`=1（左上）、`=2（右上）、`=3（左下）和`=4（右下）的几何期望值eαj（X`）和j∈ {1，2}。给出了X′的密度等值线。绿色实线表示eα（Д）（X`），Д∈ [0，2π），对于α（Д）=0.98（cos（Д），sin（Д））。橙色实线表示eα（Д）（X`），Д∈ [0，2π），对于α（Д）=（0.98 cos（Д），0.90 sin（Д））。数字表示εk=k2π/8的eαj（Дk）（X`），其中k∈ {0，…，7}。平均向量（E[X`，1]，E[X`，2]）由黑点表示。计算基于10000个IID对每个`X`的换算∈ {1。

，4}。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.-1 0 1 2α1风险度量值VaRα（X1）VaRα1（X11）的第一个条目eα（X1）eα1（X11）的第一个条目图5：实线表示基于α=（2α）的几何VaR（绿色）和几何预期（橙色）的第一个分量- 1） （1，0）应用于X=（X，X），见表1。虚线表示应用toX的α水平的单变量VaR（绿色）和期望值（橙色）。在图6中，我们显示了θ值在[0，0.999]中的结果图，u=（1，1）/√根据图5，我们发现相关震级m*因为几何VaR低于几何期望值的相应幅值θ。也就是说，在这个例子中，几何VaR比几何期望值更保守。5.4。高维边际化虽然第5.3节比较了二元几何期望值与一元几何期望值，但比较适用于高维边际的几何期望值与适用于全联合分布的几何期望值很有意义。用X=（X，…，Xd）表示维数d的随机向量，用Y表示维数k<d的X的子向量。在不失去一般性的情况下，我们假设Y=（X，…，Xk）。比较eα（X）和eβ（Y）具有挑战性，因为各自指数α和β的维度以及产生的向量不同。忽略指数的选择，现在比较eα（X）toeβ（Y）的前k个条目似乎是明智的。然后，该比较将集中于（X，…，Xk）对（Xk+1，…，Xd）的依赖性所引入的差异，这在eβ（Y）中被忽略。关于指数α和β的选择，可能存在不同的情况：一种可能的选择是首先选择β∈ bk然后设置α=（β，0，…，0）。在这种情况下，kαk=kβk和α∈ Bd.或者，向量α可以用非零值的向量z填充，即α=（β，z）。