股票市场的q相关去趋势互相关分析

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英文标题：
《The q-dependent detrended cross-correlation analysis of stock market》
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作者：
Longfeng Zhao, Wei Li, Andrea Fenu, Boris Podobnik, Yougui Wang, H.
  Eugene Stanley
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The properties of q-dependent cross-correlation matrices of stock market have been analyzed by using the random matrix theory and complex network. The correlation structures of the fluctuations at different magnitudes have unique properties. The cross-correlations among small fluctuations are much stronger than those among large fluctuations. The large and small fluctuations are dominated by different groups of stocks. We use complex network representation to study these q-dependent matrices and discover some new identities. By utilizing those q-dependent correlation-based networks, we are able to construct some portfolio by those most independent stocks which consistently perform the best. The optimal multifractal order for portfolio optimization is approximately $q=2$. These results have deepened our understanding about the collective behaviors of the complex financial system.
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中文摘要：
利用随机矩阵理论和复杂网络分析了股票市场q相关互相关矩阵的性质。不同量级涨落的相关结构具有独特的性质。小涨落之间的相互关系比大涨落之间的相互关系强得多。大小波动由不同的股票组控制。我们使用复杂网络表示来研究这些q相关矩阵，并发现一些新的恒等式。通过利用这些基于q相关的网络，我们能够通过那些表现始终最好的最独立的股票构建一些投资组合。投资组合优化的最优多重分形顺序约为$q=2$。这些结果加深了我们对复杂金融系统集体行为的理解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> The_q-dependent_detrended_cross-correlation_analysis_of_stock_market.pdf (1.33 MB)

2022-5-31 11:26:44 上传

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关键词：股票市场 相关分析 互相关 股票市 去趋势

股票市场的q相关去趋势互相关分析，*, 魏丽亚，**, Andrea Fenub，f，Boris Podobnikb，c，d，e，Yougui Wangb，g，H.华中（华中）师范大学Eugene StanleybaComplexity科学中心和粒子物理研究所，武汉430079，中国聚合物研究中心和波士顿大学物理系，波士顿，马萨诸塞州02215，美国土木工程学院，里耶卡大学，里耶卡，HR 51000，萨格勒布克罗地亚经济与管理学院，人力资源10000，卢森堡大公国克罗地亚卢森堡商学院，卢森堡卡利亚里大学经济与管理系，北京师范大学系统科学学院，北京100875，本文利用随机矩阵理论和复杂网络分析了股票市场q相关互相关矩阵的性质。不同震级地震的相关结构具有独特的性质。小流量之间的相互关系比大流量之间的相互关系强得多。大小波动由不同的股票组主导。我们使用复杂网络表示来研究这些q相关矩阵，并发现一些新的恒等式。通过利用这些基于q相关的网络，我们能够通过那些表现始终最好的最独立的股票构建一些投资组合。投资组合优化的最优多重分形顺序约为q=2。这些结果加深了对复杂金融系统集体行为的理解。关键词：q相关去趋势互相关、股市、随机矩阵理论、基于相关性的网络、投资组合优化1。

自从研究人员开始报告违反有效市场假说（EMH）以来，对不同金融资产之间相互关系的分析变得非常有吸引力。从一开始，互相关分析就依赖于皮尔逊相关等线性工具，这要求数据是平稳的，但现实世界的金融数据集很少是平稳的。为了考虑真实世界数据中的非线性和非平稳性，人们提出了基于去趋势化的新方法，其中最流行的是去趋势波动分析（DFA）[3]。受应用于单个时间序列的DFA的启发，提出了一种称为去趋势互相关函数分析（DCCA）的泛化方法，以量化一对非平稳信号之间的长范围互相关[4]。DFA和DCCA随后被其多重分形版本扩展：分别为MFDFA和MFDCCA【5–7】。DFA、DCCA及其多重分形对策已应用于广泛的系统，包括生物、金融和物理系统【8–10】。最近，参考文献【11】中引入了与皮尔逊系数类似的去趋势互相关系数ρ（s）。应用于非平稳信号的该系数量化了给定去趋势标度s下去趋势非平稳信号之间的显著相关性水平【12】。最近，DCCA系数ρ（s）被广泛用于研究金融时间序列之间的非线性互相关[8，13–16]。尽管ρ（s）系数取得了成功，但当互相关在不同量级的函数之间进行量化时，它仍有一些局限性。

ρ（s）的最新扩展，q依赖的去趋势互相关系数ρ（q，s），q∈ R*通讯作者**相应的authorEmail地址：zlfccnu@mails.ccnu.edu.cn（赵龙凤），zlfccnu@bu.edu（赵龙凤），liw@mail.ccnu.edu.cn（WeiLi）2017年6月13日提交给JSTAT的预印本基于MFDFA和MFDCCA的q依赖函数FQ【5、7、17】。Kwapien等人最近指出，该方法可用于分析此类自然复杂系统（非物理、生物、社会和金融系统）的经验数据。我们的重点是金融市场。在此，我们应用q相关互相关系数来量化标准普尔500指数401只成份股的回归时间序列之间的互相关。对于这些返回时间序列，我们生成q依赖的交叉相关矩阵C（q，s）。我们计算了不同多重分形顺序和不同时间尺度下矩阵的统计特性。在分析皮尔逊互相关矩阵时，我们分析了矩阵的特征值和投资动态，发现不同幅度的股市波动的互相关表现出独特的结构和动态。大公司总是由少数行业集团主导，但小公司表现出不同的行为。然后，我们将互相关矩阵表示为复杂网络，并使用平面最大滤波图（PMFG）方法构建基于相关的网络，并分析其基本拓扑特征。小流量的PMFG网络比大流量的PMFG网络更不均匀。利用中心度指标，我们根据股票的中心度排名将股票分为中心股票和外围股票。

将其应用于投资组合优化，我们发现外围股票投资组合的回报率始终高于中心股票和随机选择的股票。本文的组织结构如下。以秒计。2介绍了本文采用的方法。以秒计。3我们给出了数据和主要的实证结果。以秒计。4、给出了在投资组合优化中的应用。最后一节提供了我们的结论。2、方法学2.1。q相关互相关分析q相关互相关系数可以通过以下步骤获得：（i）我们考虑一对时间序列，i=1。l、 我们对这些时间序列进行了积分，得到了两个新的时间序列χx（k）=kXi=1xi- hxi，k=1。l、 （1）χy（k）=kXi=1yi- hyi，k=1。l、 （2）（ii）我们将χx（k）和χy（k）从两个积分时间序列的开始和结束分为2Ms=2×int（l/s）长度s的非重叠框。然后，我们计算每个v段的局部趋势（v=0，1，…，2Ms- 1） 通过最后一个平方英尺，并将其从χx（k）和χy（k）中减去，得出积分序列。然后，我们发现残差信号x，Y等于积分信号与这些信号的m阶多项式P（m）s之间的差值：Xv（s，i）=iXj=1χx（vs+j）- P（m）X，s，v（j），（3）Yv（s，i）=iXj=1χy（vs+j）- P（m）Y，s，v（j）。（4） 定义方框v中X和Y的协方差和方差：fXY（s，v）=ssXi=1Xv（s，i）Yv（s，i），（5）fZZ（s，v）=ssXi=1Zv（s，i），（6）其中Z表示X或Y。（iii）然后定义阶数q和标度sFqXY（s）=2Ms2Ms的函数-1Xv=0sgn[fXY（s，v）]| fXY（s，v）| q/2，（7）FqZZ（s）=2Ms2Ms-1Xv=0[fZZ（s，v）]q/2。（8） 定义了xind-yi之间的q相关互相关系数：ρ（q，s）=FqXY（s）qFqXX（s）FqYY（s），（9）当q=2时，我们恢复ρ（s）的去趋势互相关系数【11】。

q相关互相关系数的界为[-1，1]当q>=0时。当q<0时，系数可以有任意值。这里我们重点讨论q>0的情况。指数q用作过滤器。当q>2时，具有较大波动的盒子对ρ（q，s）的贡献最大，但当q<2时，具有相对较小值的盒子主导了波动函数，因此对ρ（q，s）的贡献最大。2.2。随机矩阵理论引入了q相关的互相关系数，我们现在在不同的多重分形阶数q和去趋势尺度s下构造互相关矩阵c（q，s）。如果我们假设相关矩阵是随机的，随机矩阵理论可以作为一个基准来量化q相关交叉相关矩阵的性质在多大程度上偏离了纯随机矩阵的预测。随机矩阵理论已广泛应用于研究金融市场中的集体现象[2、1、19-27]。参考文献[28]中提供了全面的审查。我们考虑由时间序列构造的随机相关矩阵，例如，返回时间序列ri，i=1。LC=LRRT，（10），其中R是一个N×L矩阵，包含长度为L的N个返回时间序列，平均值和单位方差为零，相互不相关。随机矩阵特征值的概率分布函数可以在极限N，L内解析地写-→ ∞ 固定Q=LN>1P（λ）=Q2π√（λ+- λ） （λ- λ-)λ、 （11）式中λ-λ+是C（q，s）的最小和最大特征值。λ-λ+由λ±=1+Q±2sQ给出。（12） 方程11对于高斯分布矩阵元素是精确的。如果特征值分布偏离预测值11，则表明时间序列中存在相互关联。我们分解了特征值为λk，k=1的q相关互相关矩阵。N和特征向量，k=1。

N提供有关股票市场集体行为的信息。这里，我们使用反向参与比率来量化显著贡献的特征向量分量数量的倒数。反向参与比（IPR）定义为ik=NXl=1[ulk]（13）这里ulkis是特征向量uk的第l个分量，对应于特征值λk。ik的含义可以通过两种极限情况来说明，（i）具有相同分量的向量ulk=1/√N具有Ik=1/N，而（ii）具有一个分量ulk=1且剩余值为零的向量具有Ik=1。我们还将参与比（PR）定义为1/Ik，几乎等于特征值λk的重要贡献者。在随机矩阵理论中，IPRishIki的期望值=N∞Z-∞[乌尔克语]√2πNexp(-【ulk】2N）dulk=N.（14）2.3。参考文献[17]中提出的平面最大滤波图，我们使用复杂网络方法分析q相关互相关矩阵。我们采用平面最大滤波图（PMFG）方法【18】构建基于相关矩阵C（q，s）的网络。该算法实现如下：（i）将所有ρi j（q，s）按降序排序，以获得有序列表lsort。（ii）仅当添加EdgeI后图形保持平面时，才根据LSORT中的顺序在节点i和j之间添加边。（iii）图G（q，s）由Ne=3（N）构成- 2） 平面度约束下的边。如参考文献[18]所述，PMFGs不仅保持最小生成树（MST）的层次结构，而且还生成派系。我们计算了基本拓扑参数，如聚类系数C、最短路径长度L和分类度A。我们还采用了异质性指数γ【29】来衡量MFG的异质性，其定义为γ=N- 2Pi j∈{e} （千焦）-1/2N- 2.√N- 1，（15）这里kiand kjare是由边{ei j}连接的节点i和j的度数。3、数据和结果3.1。

数据描述我们的数据集包括1999年1月4日至2014年12月31日期间的401只标准普尔500成分股，每只股票有4025份交易记录。我们使用对数返回定义为asri（t）=lnpi（t+1）- lnpi（t），（16），其中pi（t）是股票i在时间t的每日调整收盘价。然后，我们使用前面的方法计算任何一对回报时间序列ri（t）和rj（t）之间的q相关互相关系数，并获得N×Nmatrix C（q，s）。C（q，s）的矩阵项是所有股票对之间的相关系数ρi j（q，s）。Weset q公司∈ [0.2，5]，δq=0.2，去趋势标度s∈ [301000]个交易日，δs=40。我们还对回归时间序列和模拟随机时间序列进行了相同的计算，并将其用作参考模型。3.2。互相关矩阵分析利用一系列不同阶次q和去趋势标度s的互相关矩阵C（q，s），我们分析了互相关值的概率分布，即相关矩阵的上三角项。首先，我们在图1中显示了不同多重分形阶数q和去趋势标度s的矩阵图，将对角线项设置为零，以便更好地可视化。平均相关强度将随着尺度的增加而略有增加，但随着多重分形阶数q的增加而降低。我们根据标准普尔500指数的官方部门和子部门划分，对相关矩阵的行和列进行排序。请注意相关矩阵中不同的部门和子部门结构。当q<2时，部门结构更加明显。图2显示了六个不同值q和六个不同值s的矩阵元素P（ρ）的分布。

我们可以观察到矩阵的分布越来越向左倾斜，图1：（颜色在线）不同阶数q和尺度s的互相关矩阵。对角线元素已设置为零-0.5 0.50 5 15q=5.00，s=70P（ρ）-0.4 0.80 4 8 12q=3.00，s=70P（ρ）-0.2 0.40 2 4 6 8q=2.00，s=70P（ρ）-0.4 1.00 2 4 6 8q=1.40，s=70P（ρ）-0.4 0.2 0.80 2 4 6q=1.00，s=70P（ρ）-0.5 0.50 2 4q=0.40，s=70ρ-P 0.4 0.0 0.4 0.80 5 10q=5.00，s=110-0.2 0.6 1.00 4 8q=3.00，s=110-0.2 0.2 0.6 1.00 2 4 6 8q=2.00，s=110-0.4 0.0.4 0.80 2 4 6q=1.40，s=110-0.4 0.0.4 0.80 2 4q=1.00，s=110-0.5 0.0 0.5 1.00 2 4q=0.40，s=110ρ-0.5 0.0 0.5 1.00 4 8 12q=5.00，s=230-0.4 0.0 0 0.4 0.80 2 4 6q=3.00，s=230-0.4 0.0 0.4 0.80 2 4q=2.00，s=230-0.5 0.0.5 0.5 1.00 1 2 3 4q=1.40，s=230-0.5 0.0.5 0.5 1.00 1 2 3q=1.40 00，s=230-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.5q=0.40，s=230ρ-0.5 0.0 0.5 1.00 4 8 12q=5.00，s=430-0.5 0.0 0.5 1.00 2 4 6q=3.00，s=430-0.5 0.5 1.00 1 2 3 4q=2.00，s=430-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0 3.0q=1.40，s=430-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0q=1.00，s=430-1.0 0.0 0.5 1.00 1.5q=0.40，s=430ρ-0.5 0.0.0.5 1.00 4 8q=5.00，s=710-0.5 0.0.0.0.5 1.00 2 4q=3.00，s=710-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0 3.0q=2.00，s=710-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0q=1.40，s=710-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0q=1.00，s=710-1.0 0.0 0 0.5 1.00.0 1.5q=0.40，s=710ρ-0.0.0.0.0.5 1.00 4 8q=5.00，s=830-0.5 0.0 0.5 1.00 1 2 3 4q=3.00，s=830-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0 3.0q=2.00，s=830-0.5 0.0 0 0.5 1.00.0 1.0 2.0q=1.40，s=830-0.5 0.0 0 0.5 1.00 1.0 1.0 1.0 2.0q=1.00，s=830-1.0 0 0 0 0 0.5 1.00 1.0 1.5q=0 40，s=830ρ图2：（彩色在线）互相关矩阵的非对角线元素的分布。黑线是回归时间序列的Q相关互相关分布。

蓝线和绿线分别为模拟回归时间序列和模拟随机时间序列的相同分布。随着多重分形阶数q的增加，分布峰的宽度增加。回归时间序列的q依赖性互相关系数的概率分布与shu’ed分布有显著的偏差，这可能提供了关于不同量级波动之间互相关的真实信息。模拟分布和模拟分布相互吻合。因此，不同的互相关结构是不同波动幅度之间非线性相关的结果。此外，当q>2时，分布变得相对接近于shu’ed情况。我们计算相关矩阵的前四阶矩，以说明互相关分布的变化。图3显示了不同多重分形阶数SQ和衰减尺度s下相关系数分布的前四阶矩。平均互相关随着多重分形阶数的增加而减小，表明大波动之间的互相关相对较弱。从方差、偏度和峰度来看，分布有明显的转变。大小多重分形阶数的互相关系数相差很大，这表明不同量级的波动之间存在不同的相关结构。为了分析q相关互相关矩阵所携带的真实信息，我们对互相关矩阵进行分解，并对特征值λk，k=1进行排序。401以升序排列，其对应的特征向量Uk，k=1。图4和图5分别显示了整体特征值和偏差特征值的分布。图4仅给出了小于2的特征值。