多因素CIR模型中的非退火随机波动率

为了了解未

，bm线性独立。证据Letζ∈ Rmbe，使得对于所有τ，f（τ）=Pmi=1ζiBi（τ）=0∈ [0，∞).通过解析延拓，对于所有τ，f（τ）=0∈ C类\\∪mi=1Si。另一方面，f（τ）在τ处有一个极点∈ Siif且仅当ζi6=0时。因此ζ=0。综合以上，我们得出了我们的主要结果。定理5.2。具有diagon alβ的CIR模型不能显示USV。证据设{1，…，d}=I∪ ··· ∪嵌入分区，使所有i的Bi=bk∈ Ik，k=1，m、 我们声称u={ξ| Pi∈对于所有k=1，…，Ikξi=0，m} 。确实，ξ∈ U如果且仅当ifPmk=1（Pi∈Ikξi）Bk=0，因此引理5.1使该主张成立。因此，线性映射S:Rd→ 如果i，则Ski=1给出Rmwith kers=U∈否则为I和0。相应的期限结构系数Zt=SXtaregiven乘以Zkt=Pi∈IkXitand形成一个m维马尔可夫过程。事实上，这源于X的独立性，Xdand，因为σi=σj=√对于所有i，j，βi=βj∈ Ik，见【2，推论10.4】。根据引理2.2，模型因此不显示USV。A辅助LemmaLemma A.1。设f是E和S上的C-函数：Rd→ Rmbe a满秩线性映射，f或som e 0≤ m级≤ d、 以下是等效的：（i）f（x）∈ SRMA适用于所有x∈ E（ii）ker S 克尔f（x）对于所有x∈ E（iii）S（E）上存在一个C函数▄f，使得对于allx，f（x）=▄f（Sx）∈ E、 无论哪种情况，对于任何z=Sx∈ S（E）我们有▄f（z）=f（x+Q（z- z） ）适用于所有z∈ rm使x+Q（z- z）∈ E、 当Q=S时（SS)-1.证明。（一）<=>（二）琐碎。（三）=>（i） ：来自标识f（x）=Sf（Sx）。（二）=>（iii）：我们首先声明，对于所有x，y，f（x）=f（y）∈ E使得sx=Sy。实际上，通过E的凸性，我们得到x（λ）=λx+（1-λ） y型∈ 对于所有λ∈ [0，1]，因此dλf（x（λ））=（x-y）f（x（λ））=0，因为x- y∈ 这证明了这一说法。因此，对于任何z∈ S（E），我们可以定义任意x的f（z）=f（x）∈ E，Sx=z。

引理的最后一个陈述如下，因为S（x+Q（z- z） ）=z，这也表明▄fis Con S（E）。参考文献[1]Pierre Collin Dufresne和Robert S Goldstein。债券是否跨越了预期收益市场？非计划随机波动率的理论和证据。《金融杂志》，57（4）：168 5–17302002。[2] D.Du ffe、D.Filipovi\'c和W.Schachermayer。财务流程和应用。安。应用程序。概率。，13（3）：984–10532003年。[3] Darrell D u ffe和Rui Kan。利率的收益率模型。《数学金融》，6（4）：379–4061996。[4] Damir Filipovi\'c.期限结构模型。斯普林格金融公司。柏林SpringServerLag，2009年。研究生课程。[5] 达米尔·菲利波维奇、马丁·拉尔森和安德斯·特罗尔。线性rationalterm结构模型。《金融杂志》，72（2）：655–7042017。[6] 斯科特·乔·斯林。非计划随机波动率模型能解释债券波动率的横截面吗？《管理科学》，即将出版。[7] 安德斯·特罗尔和爱德华多·施瓦茨。非计划随机波动与商品衍生品定价。《金融研究回顾》，22（11）：4423–44612009。