矩阵值因子模型的长期最优投资

如果两者都发生，则无需附加参数限制。然而，如果均值回归失败，我们要求A（x）在x方向上具有一致的椭圆度。如果γ<0，则在5-ii）在A的增长和简并之间，需要b的平均反射和V的增长。最后，假设3.5第B）部分和第C）部分是“X”的行列式较小时的限制条件。这两个假设有助于从上到下限制值函数v，确保v在边界{x附近是有限的∈ Sd++：状态空间的det（x）=0}。从技术角度来看，假设3.5有助于构建解决方案to（2.17）的上限。如【43，第3节】所示，（2.17）的适定性是在由φ（x）从上方（直到一个加性常数）限定的解之间建立的：=-clog（det（x））+c kxkη（kxk）+c，14矩阵值因子模型中的长期最优投资，其中选择c，c>0和c>0，以便φ对Sd++非负。这里，η∈ C∞（0，∞) acuto OFF函数是否满足0≤ η≤ 1，当x>n+2时，η（x）=1，对于给定的n，当x<n+1时，η（x）=0。假设3.5有助于验证第2.3节中的启发式论证：[43，命题2.5，2.7和定理3.9]证明命题3.7。假设2.3、2.5、2.6和3.5成立。然后存在唯一的解决方案v∈ C1,2（（0，∞) ×Sd++）∩ C（[0，∞) ×Sd++）到（2.17），这样SUP（t，x）∈[0，T]×Sd++（v（T，x）- φ（x））<∞, 对于每个T≥ 0.结合以下验证结果（其证明推迟到附录A），我们得出（2.12）中的优化问题对于任何水平T>0都是适定的。提案3.8。假设2.3、2.5、2.6和3.5成立。

那么对于命题3.7中的v和任何T>0，（2.12）成立，πTfrom（2.21）是（2.12）的最佳策略。上述参数假设也确保了（2.22）的适定性：[43，命题2.3和引理5.3]证明了命题3.9。假设2.3、2.5、2.6和3.5成立。存在（^λ，^v）解（2.22），使得^v是唯一的（直到加性常数），并且^λ是最小的λ，使得存在相应的v解（2.22）。我们现在准备陈述我们的第一个主要结果，其证明见附录C定理3.10。假设2.3、2.5、2.6和3.5成立。然后，长期结果稳定在2.7倍。为了说明投资组合收费公路的结果，我们需要做一个额外的假设，这是假设2.6：假设3.11的一部分。对于假设2.6中的ρ和C，对于所有x，ρ′ρCC′（x）<1m∈ Sd++。在前面的假设下，对于所有T>0的情况，不仅可以构造超级鞅定义（参见下面的（A.1）），还可以构造等价的局部鞅度量QT；i、 e.QTi等于F和e上的P-R·R（Xu）duS是[0，T]上的QTlocal鞅。这需要利用[34]中的双重结果来确定（2.11）的最优策略的存在性，以获得一般效用。我们现在准备陈述以下收费公路结果：定理3.12。假设2.1、2.3、2.5、3.5和3.11成立。然后收费公路定理2.10成立。附录A.命题证明3.8对于任何T>0，我们首先在[0，T]上定义了一类超可分解因子。

给定Md值处理η与RTKηukdu<∞ a、 s.，定义Mηvia（注：对于Sd++的函数g，我们将在矩阵值因子模型中为g（Xu）编写古龙术语最优投资15）：Mηt：=e-RtruduE公司Z-ν′uσuCudBuρu+TrηudB′u- ρ′uη′uC′uΘuCudBuρut×E-Zν′uσuDu+ρ′uη′uC′uΘuDudWu公司t、 =e-RtruduE公司ZdXk，l=1dBklu-（C′σ′ν）kρl+ηkl- （C′ΘCηρ）kρlut×E-ZdXk=1dWku（D′σ′ν）k+（D′Cηρ）kut、 t型≤ T、 （A.1）如果随机指数确实是鞅，当η=0时，eR·ruduMη定义了最小鞅测度，请参见[19]。因此，我们称η为风险溢价。对于任何可容许策略π，MηWπ都是正超鞅。事实上，使用（2.9），（2.10）和（A.1），零件随机积分公式表明，MηWπ的漂移具有以下被积函数（忽略函数参数和时间下标）：MηWπ′∑ν+σC-C′σ′νρ′+η- C′ΘCηρ′ρ- σDD′σ′ν+D′ΘCηρ=MηWππ′∑ν- σCC′ρ′ρ+DD′σ′ν+σCηρ- σCC′ρ′ρ+DD′ΘCηρ,=MηWππ′[σCηρ- σΘCηρ]，=0，其中第二个恒等式来自（CC′ρ′ρ+DD′）（x）=1，第三个恒等式适用于σΘ=σ。因此MηWπ是正局部鞅，因此是超鞅。在证明命题3.8之前，我们必须引入一些符号。对于固定φ∈ C（1,2），γ（（0，∞)（2.4）中系数的正则性假设和椭圆性假设确保了（A.2）Lφ，T-t： =dXi，j，k，l=1A（ij），（kl）D（ij），（kl）+dXi，j=1bij+dXk，l=1 A（ij），（kl）D（kl）φ（T- t、 ·）D（ij），t≤ T、 有独特的解决方案Pφ，T，xx个∈Sd++参考文献[41]。当φ不依赖于t时，我们将写出Lφ，并将解表示为Pφ，xx个∈Sd++。Lφ，T的鞅问题-·如果坐标过程X没有到达任何X的T之前的边界Sd++，Pφ，T，X-a.s.，则是适定的∈ Sd++。

类似地，如果φ不依赖于时间，那么如果坐标过程在有限时间Pφ，x-a.s.内没有到达边界，则适定性就随之而来∈ Sd++。16矩阵值因子模型的长期最优投资对于给定φ，定义随机指数zφ，Tt：=eZ·dXk，l=1dBklu-q（C′σ′ν）kρl+dXi，j=1aijkl公司- q（C′ΘCaijρ）kρlD（ij）φ（T- u、 徐）t×EZ·mXk=1dWku-q（D′σ′ν）k- qdXi，j=1（D′ΘCaijρ）kD（ij）φ（T- u、 徐）t、 t型≤ T、 （A.3）对于φ不取决于时间的情况，请将Zφ写为Zφ，并注意Zφ是为所有T定义的≥ 从第2.1节中重新调用，假设2.1确保了（2.1）的适定性。因此，（2.13）中L的鞅问题是适定的。现在如果Lφ，T的鞅问题-·也是适定的，从（[9，备注2.6]）可以看出，（A.3）右侧的第一个随机指数是[0，T]上的Px鞅。另一方面，由于X和W是Px独立的，因此从[33，引理4.8]可以看出，Zφ也是[0，T]上的Px鞅。因此，我们可以通过dPφ，T，x/dPx | FT=Zφ，TT来确定一个新的测量值Pφ，T，xon-FT。此外，Girsanov定理得出X hasgenerator Lφ，T-·在Pφ，T，x下，当φ没有时间变元且Lφ的鞅问题适定时，与上述相同的变元得出Zφ是[0]上的Px鞅，∞).因此，通过dPφ，x/dPx | FT=ZφT，T定义了新的测量值Pφ，xis≥ 注意，Pφ，xis一致定义为∨T≥0英尺。最后，我们回顾，如果X在Pφ下重复，并且存在不变概率测度，则Pφ是遍历的。备注A.1。从命题3.9中设置φ=^v，如果P^v，xis定义良好，则Girsanov定理与（2.8）和（A.3）一起得出P^v，x下s的以下动力学：dSitSit=r（Xt）+1- p∑ν+dXk，l=1σCaklρD（kl）^v（T- t、 Xt）dt+mXj=1σij（Xt）d^Zjt，i=1，n、 式中，^Z是P^v，xBrownian运动。

将前面的动力学与（2.23）中的^π进行比较，得出^π是对数投资者在P^v，x下的最优策略。因此，其相关的财富过程^W具有num'eraire性质，即，对于任何可容许财富过程W，W/W是P^v，x-超鞅。为了证明命题3.8，我们准备了以下两个引理，证明推迟到命题3.8的证明之后。引理A.2。假设2.3、2.5和2.6成立。设A和A如（2.19）所示。设定（A.4）κ=（1，0<p<11- q、 p<0，κ=（1- q、 0＜p＜11，p＜0。那么，对于所有x∈ Sd++和θ∈ Sd：（A.5）κdXi，j，k，l=1θijA（ij），（kl）（x）θkl≤dXi，j，k，l=1θijA（ij），（kl）（x）θkl≤ κdXi，j，k，l=1θijA（ij），（kl）（x）θkl。η的矩阵值因子模型17的长期最优投资∈ C（1,2），γ（（0，∞) ×Sd++，R），定义函数η：Sd++→ Mdvia（A.6）ηkl（t，x；φ）：=dXi，j=1aijklD（ij）φ（t，x），k，l=1。。。，d、 t型≥ 0，x∈ Sd++。定义ηTt：=η（T-t、 Xt；φ） ，t∈ [0，T]。当φ是命题3.7中的v（分别是命题3.9中的^v），则η（T- ·, X·；v） （分别为η（X·；^v））预计将是（2.12）双重问题（分别为其长期模拟）的最佳风险溢价。以下结果是证明命题3.8的关键。引理A.3。Letφ∈ C（1,2），γ（（0，∞)×Sd++，R）在（0，∞)×Sd+，其中F i定义为（2.18）。对于任何T≥ 0，设πt=π（t-t、 Xt；φ） ，ηt=η（t-t、 Xt；φ） ，对于t∈ [0，T]，设Wπ和mη分别为相关财富过程和超鞅deflicator。那么，以下恒等式成立：p log（WπT）- p log（Wπt）+φ（0，XT）- φ（T- t、 Xt）=日志Zφ，TT- 日志Zφ，Tt,q日志MηT- q log（Mηt）+（1- q） （φ（0，XT）- φ（T- t、 Xt））=日志Zφ，TT- 日志Zφ，Tt,（A.7）式中，Zφ，t在（A.3）中给出。利用引理A.2和A.3，现在给出命题3.8的证明。命题3.8的证明。注意，在（A.4）中，0<κ<κ对0<p<1和p<0都适用。

因此，[43，假设3.4]由假设2.3和引理A.2保证。此外，[43，假设3.5和3.6]正是此处的假设3.5。当[43，引理4.1]的假设得到验证时，Lv，T的鞅问题的适定性-·参见[43，L emma 4.1]。由于L的鞅问题也是适定的，因此在（A.3）之后的讨论中得出，zv是Px鞅。将引理A.3应用于v，则从（A.7）和v（0，x）=0得出（A.8）EWπTWπtp英尺= ev（T-t、 Xt）=EMηTMηtq英尺1/（1）-q） ，对于所有t≤ T、 因此，π的最优性来自于[23，引理5]，并且（2.12）在之前的恒等式中得到了验证。引理A.2的证明。从（2.18）：dXi，j，k，l=1θijA（ij），（kl）（x）θkl=dXi，j，k，l=1θijTraij（akl）\'（x） θkl- qdXi，j，k，l=1θijρ′（aij）′C′Caklρθkl。通过Ykl确定矩阵Y：=Pdi，j=1aijklθij，对于k，l=1。。。，d、 然后得出dxi，j，k，l=1θijρ′（aij）′C′Caklρθkl=ρ′Y′C′CYρ。我们声称（A.9）0≤ ρ′Y′C′CYρ≤ Tr公司Y Y′.18矩阵值因子模型中的长期最优投资考虑到这一f行为，再插入Y收益率（A.10）0≤dXi，j，k，l=1θijρ′（aij）′C′Caklρθkl≤dXi，j，k，l=1θijTraij（akl）\'（x） θkl。如果p<0，则q>0且（A.5）适用于κ=1- q和κ=1。如果0<p<1，则q<0，因此（A.5）适用于κ=1和κ=1- q、 它仍有待显示（A.9）。当ρ（x）=0d，即所有元素均为0的d维向量时，很明显ρ′Y′C′CYρ=0和（A.9）成立。当ρ（x）6=0d时，从Θ开始≥ 0表示ρ′Y′C′CYρ≥ 0、另一方面，自施工以来≤ 1（见（2.16）），我们有ρ′Y′C′CYρ≤ ρ′Y′C′CYρ≤ρ′ρ′Y′Yρ=ρ′ρTrYρρ′Y′,其中第二个不等式通过假设2.6成立，并且C′C和CC′具有相同的特征值。注意，（1/ρ′ρ）ρρ′的特征值是1和0，Tr（NMN′）≤任意n的λ+，MTr（NN′）∈ MDA和M∈ 当eλ+，Mis为M的最大特征值时。

因此，（1/ρ′ρ）Tr（Yρρ′Y）≤ Tr（Y Y′）和（A.9）被确认，完成了证明。引理A.3的证明。证明类似于[24，引理B.3]。然而，由于我们在此处理半线性方程和矩阵值状态变量，因此计算中的符号差异非常明显，为清楚起见，我们将给出详细的证明。首先，setA：=p log（WπT）- p log（Wπt）+φ（0，XT）- φ（T- t、 Xt），B：=q日志MηT- q log（Mηt）+（1- q） （φ（0，XT）- φ（T- t、 Xt））。（A.11）（A.7）中的身份通过以下四个步骤进行验证。1） 使用Wπin（2.10）、Mηin（A.1）的定义以及π、ηin（2.15）和（A.6）的定义来编写A=ZTtA1udu+dXk，l=1ZTtA2kludBklu+mXk=1ztta3kudu，B=ZTtB1udu+dXk，l=1ZTtB2kludBklu+mXk=1zttb3kudu，（A.12），其中A1，B1：[，T]×Sd++→ R、 A2，B2：[0，T]×Sd++→ Md和A3、B3：[0，T]×Sd++→ Rm。这些函数随时间变化，例如，A1u=A1（T- u、 徐）。2） Ad d和减法DXK，l=1ZTtA2kludu+mXk=1ZTtA3kudu，dXk，l=1ZTtB2kludu+mXk=1ZTtB3kudu，（A.13）矩阵值因子模型19中的长期最优投资，分别位于A和B的右侧，以获得A=ZTtA1u+dXk，l=1A2klu+mXk=1A3kudu+对数（ZT）- 对数（Zt），B=ZTtB1u+dXk，l=1B2klu+mXk=1B3kudu+对数（~ZT）- 对数（▄Zt），其中z=EZdXk，l=1A2kludBklu+ZmXk=1A3kudWlu,Z=EZdXk，l=1B2kludBklu+ZmXk=1B3kudWku.（A.14）3）显示f或u≤ T和x∈ Sd++：A1+dXk，l=1A2kl+mXk=1A3k飞机（T- u、 x）=(-φt+F[φ]（t- u、 x）=0，B1+dXk，l=1B2kl公司+mXk=1B3k型（T- u、 x）=(-φt+F[φ]（t- u、 x）=0.4）表明Z=~Z=Zφ，T。然后结合上述四个步骤（A.7）进行验证。备注A.4。

为了便于记法，使用了以下约定：1）我们将从所有积分中省略积分器du和积分器du；2） 我们将抑制争论（T-u、 Xu）来自所有功能；3） 我们还将删除所有时间下标。因此，例如，我们将writef+g′dBρ+h′dW=ZTtf（T- u、 徐）杜+ZTtg（T- u、 Xu）′dBuρ（Xu）+ZTth（T- u、 徐）dWu。现在显示（A.7）中的第一个标识。利用ρ′ρCC′+DD′=1和Wπ在（2.10）中的动力学，It^o的公式给出（A.12），其中1=pr+pπ′∑ν-pπ′∑π- φt+Lφ，A2kl=p（C′σ′π）kρL+dXi，j=1aijklD（ij）φ，A3k=p（D′σ′π）k.（A.15）20矩阵值因子模型的长期最优投资当第二步从Z和▄Z的定义开始后，我们进入第三步。福鲁≤ T和x∈ Sd++，其结果如下：a1+dXk，l=1（A2kl）+mXk=1（A3k）=pr+pπ′∑ν-pπ′∑π- φt+Lφ+pπ′σCC′σ′πρ′ρ+pπ′dXi，j1σCaijρD（ij）φ+dXi，j，k，l=1D（ij）φTraij（akl）\'D（kl）φ+pπ′σDD′σ′π，=p（p- 1） π′∑π+pπ′∑ν+pπ′dXij=1σCaijρD（ij）φ+ 公关部- φt+Lφ+dXi，j，k，L=1D（ij）φTraij（akl）\'D（kl）φ。（A.16）上述包含πarep（p- 1） π′∑π+pπ′∑ν+dXi，j=1σCaijρD（ij）φ.使用（2.15），我们得到上一行中二次函数的以下表达式：-qν′∑ν- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）φ-qdXi，j，k，l=1D（ij）φρ′（aij）′C′CaklρD（kl）φ，对于这两种情况，m≥ n或m<n。因此，将前面的表达式替换为（A.16），使用表达式A，V in（2.19）和F in（2.20）给出sa1+dXk，l=1（A2kl）+mXk=1（A3k）=pr-qν′∑ν- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）φ-dXi，j，k，l=1D（ij）φρ′（aij）′C′CaklρD（kl）φ- φt+Lφ+dXi，j，k，L=1D（ij）φTraij（akl）\'D（kl）φ=- φt+Lφ- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）φ+dXi，j，k，l=1D（ij）φ′A（ij），（kl）D（kl）φ+V=- φt+F[φ]=0，（A.17）矩阵值因子模型21的长期最优投资，完成第三步。最后一步，回顾（A.3）中Zφ，t的定义。

与（A.14）中Z的定义相比，有必要表明A2KL=-q（C′σ′ν）kρl+dXi，j=1aijkl公司- q（C′ΘCaijρ）kρlD（ij）φ，A3k=-q（D′σ′ν）k- qdXi，j=1D′ΘCaijρkD（ij）φ。（A.18）使用（2.15）表示m≥ n由此得出（回忆Θ=σ′∑）-m时为1σ≥ n） p（σ′π）=-qσ′∑-1.∑ν+dXi，j=1σCaijρD（ij）φ= -qσ′ν- qdXi，j=1ΘCaijρD（ij）φ。类似地，对于m<n使用（2.15）给出（对于m<n，r ecallΘ=1）：p（σ′π）=-qσ′σ（σ′σ）-1.σ′ν+dXi，j=1CaijρD（ij）φ= -qσ′ν- qdXi，j=1ΘCaijρD（ij）φ。因此，在这两种情况下，m≥ n、 m<n我们有，使用（A.15）中A2，A3的定义，a2kl=p（C′σ′π）kρl+dXi，j=1aijklD（ij）φ=-q（C′σ′ν）kρl+dXi，j=1aijkl公司- q（C′ΘCaijρ）kρlD（ij）φ，A3k=p（D′σ′π）k=-q（D′σ′ν）k- qdXi，j=1（D′ΘCaijρ）kD（ij）φ，验证（A.18）。（A.7）中第二个身份的证明类似。