时间风险的价值

如果我们坚持这两个要求，我们需要放弃对称性（19）。3.2一维案例本小节分析和讨论了拟议方法在一维案例中的应用，其中一阶和二阶套期保值误差可以在分析闭合形式中推导出来。让我们考虑（时间齐次）一维情况：dXt=σ（Xt）dWt+u（Xt）dt，（22），其中σ>0和du是线性增长的光滑函数，而d=[K，∞), 当X>K时，Lamperti变换：s（X）=Zxσ（y）Dy将问题归结为漂移布朗运动：Yt=s（Xt）=s（X）+Wt+Ztu（s-1（Ys））σ（s-1（Ys））-σ′（s）-1（Ys））ds，FY：=Fo s-1替换F和τ=inf{s>0：Xs<K}=inf{s>0：Ys<s（K）}。定理3.5我们假设σ>0是Cband | |u/σ||∞< ∞. 设π为π⊥f（x）=f（2s（K）- x） 对于f∈ Cb（[s（K），∞)). 那么，pπ（t，x，y）=√2πtexp-2t（x-y）,带HPπ（t，x，y）=-u（s-1（x））σ（s-1（x））+σ′（s-1（x））（十）- y） tpπ（t，x，y）（23）满足假设2.8。因此，精确展开式（16）成立。证明：见附录A.6。d中的备注3.6≥ DXT=dXj=0Vj（X）的二维案例o dWjt，在约定dW=dt的情况下，如果平滑向量场V、······vd相互转换，则它与标准布朗运动模漂移“不同”，且REM 3.5的直接扩展成立。正如【14】所指出的，大多数随机波动率模型与双曲布朗运动模漂移“不同形态”。双曲情况需要不同的函数π，这不容易识别。有关相关讨论，请参见[15]。4套期保值误差为了说明拟议框架的应用，推导了一维情况下的分析结果，即i）一阶套期保值误差，ii）二阶套期保值误差，通过重新迭代定时风险识别和hed（半静态套期保值分解和敲入期权表示）获得。

让我们简要回顾第3.2小节中描述的数学设置，然后在下面的第4.2条和第4.3条陈述主要结果。通过显示通过从一阶传递到二阶并重新迭代套期保值程序得出的套期保值收益（即绝对值误差减少）的重要性，对一阶和二阶套期保值误差进行比较。假设4.1详细描述了描述一维情况的数学设置。假设4.1基本过程XT的动力学由以下SDE描述：dXt=σdWt+udt，（24），其中u=r-σ、 r，σ>0且u：=r时-σ；因此，其解为：Xt=X+σWt+ut。请注意，Xt是一个分布为Xt的随机变量~ N（X+ut，σt）。让我们考虑一个具有基本XT和以下期权相关数量的敲入障碍期权：o记录K敲入条件的障碍，oK′对冲期权的执行价格，oτ与时间风险相关的敲入时间。然后，让payoff函数beF（x）=（ex- K′）+，（25），其中0<K≤ K′，并考虑定义为θ（x）的函数θ（·）：=2log K- x、 因此，通过替换，我们可以写出：F（θ（x））=（e2log K-x个- K′）+。（26）一阶和二阶对冲误差的分析结果在以下小节中报告和讨论。

利用以下因素获得结果：识别广义时间风险；对冲误差定义（方程式（10））以及对冲误差和定时风险之间的等效性；按最小敲入期权数量进行半静态对冲分解；适用于每个敲入期权的半静态对冲策略。4.1一阶对冲及其误差让我们回顾一下对冲误差定义的方程式（10）：Heτt：=e-r（T-t） E[E[1{τ<t}（F（XT）1{XT∈D}-^F（XT））| Fτ]| Ft]，然后考虑投资组合特征，以确定一阶套期保值误差。注意，通过将方程（25）-（26）代入对冲误差定义，我们获得了一维情况下一阶对冲误差的积分表示。事实上，在假设4.1下，与停止时间τ相关的一阶套期保值误差可以写为：He（1）τ：=E[（eXT-τ- K′）+| X=对数K]- E[（e2对数K-XT公司-τ- K′）+| X=log K]（27），可以解释为两个期权价格之间的差异。如第4.2条所述，一阶hed可以用解析闭合形式表示。命题4.2在假设4.1下，与停止时间τ相关的时间t的一阶套期保值误差以闭合形式给出n：He（1）τ=K′[n（d）-N（d）]+Keσ（T-τ） heu（T-τ）Nd+σ√T- τ- e-u（T-τ）Nd+σ√T- τi（28），其中d=logKK′-u（T- τ） pσ（T- τ） ，d=对数kk′+u（T- τ） pσ（T- τ） ，N（·）表示标准正态随机变量的累积分布函数。证明：见附录A.7。方程（28）以解析闭合形式报告了一维情况下的一阶套期保值误差，作为模型所有参数的函数。图1通过强调其对两个驱动因素的依赖性，报告了Firstorder套期保值误差的价值：i）hedgingoption K′的走向，ii）基本动态的差异系数σ。

该图突出了这两个驱动因素对一阶套期保值误差大小的影响，可归纳如下：o当套期保值期权K′的行使减少（变得更接近K）时，一阶套期保值误差的绝对值增加；o当基础动力学的扩散系数σ增加时，一阶hedgingeror的绝对值增加。直觉是，随着σ的增加，设置具有更高的不确定性，将成为与风险相关的额外“成本组成部分”。00.10.20.30.480859095100-2.-1.5-1.-0.500.51σK′H e（1）τ图1：一阶套期保值误差。p批报告了给定不等式（28）作为两个变量函数的一阶套期保值误差：i）套期保值期权的行使，即K′∈ [80100]，ii）基本动力学的差异系数，即σ∈ [0.05，0.4]。该图基于以下基本情况参数值：K=80，r=0.03，T=1，τ=0.6.4.2二阶对冲及其误差二阶半静态对冲的存在在第2.3节中陈述和讨论。在这里，我们将一般结果应用于一维情况，以便在解析闭合形式下推导出相应的二阶套期保值误差。

一阶和二阶套期保值误差之间的比较还通过显示通过盈利程序获得的重大误差减少来提供。命题4.3在假设4.1下，与停止时间τ相关的时间t的二阶套期保值误差以闭合形式表示为：He（2）τ：=uKeσ（t-τ） p2πσ（s- τ） （29）×ZTτds（ZRsgn（u）eu（s-τ） Nd+上σ（T- s） ！+e-u（s-τ） Nd公司-上σ（T- s） ！！du）带d：=logKK′+σ（T- s） pσ（T- s） N（·）表示标准正态随机变量的累积分布函数。证明：见附录A.8。方程（29）以解析闭合形式报告了一维情况下的二阶对冲误差，表示为所有模型参数的函数，并通过简单的数学结构表示。通过利用拟议的方法，根据敲入期权重新迭代时间风险识别和半静态对冲分解，可以得出幅度递减的高阶对冲误差。图2通过突出二阶套期保值误差对两个驱动因素的依赖性，描述了二阶套期保值误差的示例：i）套期保值期权的行使K′，ii）基础动态的差异系数σ。该图突出显示了这两个驱动因素对二阶套期保值误差大小的影响，可总结如下：o当套期保值期权K′的行使减少（变得更接近K）时，二阶套期保值误差的绝对值增加；o当地下动态的扩散系数σ增加时，二阶套期保值误差的绝对值增加。00.10.20.30.480859095100-0.0500.050.10.15σK′H e（2）τ图2：二阶套期保值误差。该图报告了方程式（29）中给出的二阶对冲误差，作为两个变量的函数：i）h边期权的行使，即K′∈ [80100]，ii）基本动力学的扩散系数，即σ∈ [0.05, 0.4].

该图基于以下基本情况参数的值：K=80，r=0.03，T=1，τ=0.6.4.3一阶和二阶对冲误差比较通过分析两种对冲误差（一阶和二阶）的行为，可以研究它们的相对大小，从而通过从订单00.10.20.30.480859095100传递对冲收益的实质性-0.2-0.100.10.20.3σK′γ（1，2）τ图3：二阶和一阶套期保值误差之间的比率。该图报告了方程式（30）中给出的二阶（方程式（29））和一阶（方程式（28））混合误差之间的比率γ（1,2）τ，作为两个变量的函数：i）对冲期权的行使，即K′∈ [80100]，ii）基本动力学的扩散系数，即σ∈ [0.05，0.4]。该图基于以下基本情况参数值：K=80，r=0.03，T=1，τ=0.6。一对二。图3报告了二阶（方程（29））和一阶（方程（28））套期保值误差之间的比率γ（1,2）τ，定义为γ（1,2）τ：=He（2）τHe（1）τ（30）及其对两个主要驱动因素的依赖性：i）套期保值期权K′的行使，ii）基础动态的差异σ。从图中可以看出，二阶套期保值误差通过降低一阶套期保值误差80，大大降低了与时间风险τ相关的套期保值“成本”-大多数情况下为90%，即1-|γ(1,2)τ| ∈ [0.8, 1].从图中可以看出，根据期权的具体特征，hedgingbenet收益可以减少90%以上的误差：例如，由于一阶和二阶套期保值误差w.r.t.的不同非线性敏感性，差异系数的高值会出现这种情况。

σ参数。5结论本文通过多维差异环境下的静态和半静态套期保值策略，解决了美式期权套期保值头寸的问题。特别是，本文件侧重于障碍期权的半静态对冲：这意味着要处理时间风险，因为期权将支付的时间（即使在已知金额的情况下）事先未知。我们分析的起点是[9]的工作，作者指出，时间风险可以通过普通期权中的静态头寸进行对冲。本文扩展了[9]中提出的静态对冲公式，通过考虑相当大的一类马尔可夫基本动态，给出了将基因化的时间风险分解为多维市场模型中敲入期权积分的充分条件。然后，通过基于barr ier期权头寸制定相应策略，对半静态对冲进行了详细研究。然后构建并讨论了一个一阶半静态套期保值。然后，本文的数学贡献嵌入了一个构建高阶半静态套期保值的方法论建议，这可以解释为套期保值误差的不对称扩展。这是通过一个迭代过程完成的，并显示了这些高阶半静态对冲到精确对冲的收敛性。最后，本文对i）对称情况，ii）一维情况下的主要理论结果进行了说明。对于一维情形，一阶和二阶套期保值误差以解析闭合形式导出，数值结果支持套期保值误差从一阶传递到二阶（80%）的实质性减少的证据- 误差绝对值减少90%）。参考文献【1】Akahori，J.Barsotti，F.，和Imamura，Y。

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假设2.2和L的伴随性质*z、 我们可以写：ψ（t）q（t，x，y）- ψ（0）pF（t，x，y）=lim↓o{ψ（t-）ZRdq（t- ，x，z）pF（，z，y）dz- ψ（）ZRdq（，x，z）pF（t- ，z，y）dz}=lim↓o{ZRdZt-s{ψ（s）q（s，x，z）pF（t-s、 z，y）}dsdz}=lim↓o{ZRdZt-ψ′（s）q（s，x，z）pF（t-s、 z，y）+ψ（s）L*zq（s，x，z）pF（t- s、 z，y）-ψ（s）q（s，x，z）spF（t-s、 z，y）dsdz}=lim↓o{Zt-ZRdq（s，x，z）hpF（t- s、 z，y）dsdz}=ZtZRdq（s，x，z）hpF（t- s、 z，y）dsdz。由于hpF的可积性，最后的等价性成立。A、 2定理2.4的证明让我们考虑方程（7）的l.h.s.，注意期望的参数可以写成：{τ≤T}ψ（T- τ） E[F（XT）| Fτ]=1{τ≤T}ZRdψ（T- τ） q（T- τ、 Xτ，y）F（y）dy.（32）现在，通过利用方程（32）并将引理2.3应用于方程（32）的r.h.s.，我们可以写：{τ≤T}ψ（T- τ） E[F（XT）| Fτ]=1{τ≤T}ZRdψ（0）pF（T- τ、 Xτ，y）+ZT-τZRdq（T- τ- s、 Xτ，z）hpF（s，z，y）dz dsF（y）dy=1{τ≤T}cF+1{τ≤T}ZTτZRdq（s-τ、 Xτ，z）ZRdhpF（T- s、 z，y）F（y）dydz ds。（33）通过观察方程（33）最后一行中的第二项可以简化为：{τ≤T}ZTτZRdq（s-τ、 Xτ，z）ZRdhpF（T- s、 z，y）F（y）dydz ds=1{τ≤T}ZT{τ≤s} E[ZRdhpF（T- s、 Xs，y）F（y）dy | Fτ]ds=中兴通讯[1{τ]≤s、 τ≤ T}ZRdhpF（T- s、 Xs，y）F（y）dy | Fτ]ds=中兴通讯[1{τ]≤s} ZRdhpF（T- s、 Xs，y）F（y）dy | Fτ]ds，（34）我们得到了期望的结果。A、 3定理2.6Let us r ecall的证明X是一个微分离子过程，τ是域D的第一个退出时间 Rd；F是直流电上F=0时的可测函数，ψ≡ 1.