一类含流形的多状态模型的保费估值

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英文标题：
《Premium valuation for a multiple state model containing manifold
  premium-paid states》
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作者：
Joanna D\\k{e}bicka, Beata Zmy\\\'slona
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The aim of this contribution is to derive a general matrix formula for the net period premium paid in more than one state. For this purpose we propose to combine actuarial technics with the graph optimization methodology. The obtained result is useful for example to more advanced models of dread disease insurances allowing period premiums paid by both healthy and ill person (e.g. not terminally yet). As an application, we provide analysis of dread disease insurances against the risk of lung cancer based on the actual data for the Lower Silesian Voivodship in Poland.
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中文摘要：
这一贡献的目的是推导出在多个州支付的净期保费的通用矩阵公式。为此，我们建议将精算技术与图优化方法相结合。所获得的结果对于更先进的可怕疾病保险模型非常有用，例如，允许健康人和患者支付期限保费（例如，尚未终止）。作为一个应用，我们根据波兰下西里西亚Voivodship的实际数据，提供可怕疾病保险对肺癌风险的分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Premium_valuation_for_a_multiple_state_model_containing_manifold_premium-paid_states.pdf (597.22 KB)

2022-5-31 18:32:56 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Contribution Applications Optimization

包含多个保费支付州的多州模型的保费估值Joanna D,ebicka*弗罗茨瓦夫经济大学统计系和弗罗茨瓦夫经济大学Beata Zmy\'slonaDepartment of Statistics，弗罗茨瓦夫大学2021年6月22日摘要本次贡献的目的是推导一个通用矩阵公式，用于计算在多个州支付的净周期保费。为此，我们建议将精算技术与图优化方法相结合。所获得的结果对于更高级的可怕疾病保险模型非常有用，该模型允许健康人和病人同时支付期限保费（例如，尚未达到最终期限）。作为一个应用，我们根据波兰下西里西亚Voivodship的实际数据，提供针对肺癌风险的疾病保险分析。关键词：修正的多状态模型；Dijkstra算法；净保费；随机利率；重大疾病保险；加速死亡福利。1简介保险市场在不断扩大。保险公司提供更灵活的合同，考虑到生活中可能出现的各种情况。例如，严重疾病，在这种情况下，被保险人的优先顺序可能会发生很大变化。特别是，死亡利益变得不那么重要，而生命利益变得最重要。在保险市场上，存在着不同的解决方案，可以在这种困难的情况下保护被保险人的财务问题。其中一人表示，保险期内发生意外情况的保险人可能会向人寿保险投保人购买一项名为加速死亡福利（ADB）的额外期权，该期权可在被保险人死亡前加速其全部或部分基本死亡福利。

另一种选择是，被保险人可以购买可怕疾病保险（或重大疾病保险），该保险为投保人提供一笔总额，以防可怕疾病包括在保单条件规定的一组疾病中，如心脏病发作、癌症或中风（见【2】、【9】、【13】、【14】）。这意味着可怕的疾病政策不能满足任何特定需求，也不能保护投保人免受收入损失或医疗费用报销等财务损失。在这两种情况下，本保险产品的条件都表明，受益于特定条件的诊断，而非残疾。这是可以理解的，*通讯作者。电子邮件：joanna。debicka@ue.wroc.pl.这项工作得到了波兰国家科学中心2013/09/B/HS4/00490号拨款的部分支持，因为这类保险对医学的发展很敏感，并非所有可怕的疾病都像几年前那么致命。因此，保险公司对获得与严重疾病相关福利的权利提出了严格的条件。一个普遍的情况是，受益不仅体现在诊断上，还体现在直接取决于患者未来预期寿命的疾病阶段上。然后，保险人必须考虑可怕疾病患者的死亡概率取决于疾病的持续时间。根据具体情况，保险费可由以下人员以各种形式支付：健康或患病（但不是最终）人员、活着的人员或健康人员。本文重点关注此类保险产品的准确估价。多状态建模是设计和实施保险产品的随机工具。多州方法通常用于计算不同类型人寿和健康保险的精算值。

计算各州保险合同产生的未来支付流（包括福利、年金和保费）的现金价值时刻的一般方法可在例如[5]中找到。该方法是为离散时间模型（在时间间隔结束时进行保险支付）开发的，基于修改后的多状态模型（或扩展的多状态模型），可以推导出精算值的矩阵公式。这种合同成本计算方法不仅简化了规模计算，而且使我们能够分解保险风险和利率演变的随机性，这可以在导出的公式中观察到。这一贡献的目的是推导出一个多个州净期保费的通用矩阵公式，该公式可应用于由多州模型建模的任何类型的保险。在特殊情况下，当被保险人在健康（或活跃）的情况下提前支付单一保费或定期保费时，可使用【5】中得出的结果对合同进行估价。更先进的可怕疾病保险模式（如ADB的形式）允许健康人和非健康人（如尚未终止）支付期间保费，超出了【5】中分析的模式范围，需要不同的方法。本文主要通过使用graphoptimization方法来寻找模型特定状态之间的最短路径来解决此问题。请注意，文[5]中得到的公式是本文推导公式的特例。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了修改后的多状态模型及其概率结构。这种修改允许我们使用矩阵形式的方法来计算保险合同的成本。

在第3节中，我们推导了在多个州支付的净周期保费的一般矩阵表达式。第四节研究可怕疾病保险与肺癌风险。第4.1节介绍了可怕疾病保险的修正多状态模型。分析模型的概率结构是在以下条件下建立的：可怕疾病患者的死亡概率取决于疾病的持续时间，而与严重疾病相关的福利的支付取决于【6】中所述的诊断和疾病阶段（第4.2节）。在第4.3节中，根据波兰下西里西亚Voivodship的实际数据，将第3节中获得的结果应用于不同类型的重大疾病政策的成本计算。第5.2节“多状态模型”（Multiple state Model）中提出了进一步可能应用所获得结果的建议。根据Haberman&Pitacco【9】，在给定的保险合同中，我们指定了一个多状态模型。也就是说，在任何时候，被保险的风险处于标有1、2、…、。。。，N或简单地用字母表示。设为状态空间。每个州对应一个决定现金流（保费和福利）的事件。此外，通过T，我们表示状态空间状态之间的一组直接转换。因此，T是对集合（i，j）的子集，即T {（i，j）| i 6=j；i，j∈ S} 。这对（S，T）被称为多状态模型，它描述了所有可能的保险风险事件，就其演变而言（通常直到保险结束）。该模型的结构使其能够将保险合同产生的任何现金流分配给其中一个州（年金、保费），或两者之间的转换（一次性付款）。

由于可以使用矩阵公式计算精算值，因此必须构建多状态模型，以便每个现金流必须保持到其中一个状态。请注意，对于包干价，在k时刻保险风险处于特定状态的信息不足以确定k时刻的收益，因为我们需要关于前一时刻k的保险风险在何处的额外信息- 1、矩阵是二维结构，因此不可能使用上述三条信息来确定实现一次性总收益的确切时刻。似乎每个（S，T）模型都可以很容易地（通过[5]中提出的递归过程）扩展到修改后的多资产模型*, T*) 其中，一次性福利与特定州有关，而不是州与州之间的直接过渡。在本文中，我们考虑在时间0（定义为保险合同签发时间）签发的保险合同，并根据计划在稍后的时间n（n是保单期限）终止。此外，x是保单问题中被保险人的年龄。我们关注离散时间模型。让X*（k） 表示个人（保单）在时间k（k）的状态∈ T={0，1，2，…，n}）。因此，保险风险的演化由一个离散时间随机过程{X给出*（k） ；k∈ T} ，值位于有限集S中*= {1，2，…，N*}.为了描述{X的概率结构*（k） }，随时k∈ {0，1，2，…，n}，我们引入IP*j（k）=IP（X*（k） =j）和矢量p（k）=（IP*（k） ，IP*（k） ，IP*（k） ，IP*N*（k） ）T∈ IRN公司*.注意P（0）∈ IRN公司*是初始分布的向量（通常假设状态1是初始状态，即P（0）=（1，0，0，…，0）T∈ IRN公司*).假设{X*（k） }是非齐次马尔可夫链（参见，例如。

[5] ，我们有PT（t）=PT（0）Qt-1k=0Q*（k） ，其中Q*（k） =（q*ij（k））N*i、 j=1，带q*ij（k）=IP（X*（k+1）=j | X*（k） =i）为转移概率。可以使用多增量-减量表（或多状态寿命表）确定上述转移概率。3净保费矩阵公式在给出净期保费矩阵公式之前，我们需要引入一些符号（参见[5]）。为了描述{X的概率结构*（k） }我们介绍matrixD=P（0）TP（1）T。P（n）T∈ IR（n+1）×（n*). （1） 。个人在特定状态下的存在可能会产生一些财务影响。对于第k个时间单位（表示周期[k- 1，k）），我们区分以下类型的现金流：在k时提前支付的现金流- 1如果X*（k）- 1） =i（到期保费和人寿年金）和在时间k（如果X）从下方支付的现金流*（k） =j（一次性和直接终身年金）。请注意，保险单会产生两个付款流。首先，一系列保费从被保险人流向保险人。其次，在相反的方向上，一系列精算支付函数，其中年金产品下的固定金额和一次性总付福利被视为一系列确定的未来现金流。其中一个重要数量是保险合同的总损失L，定义为未来福利现值与未来保费现值之间的差异。特别是，精算支付函数流是代表收入toL的流入，取正值，而保费支付流是代表L的流出，取负值。让cf*j（k）是k时的未来应付现金流，如果X*（k） =j（k=0，1，…，n）和C=查阅*（0）cf*（0）···cf*N*（0）cf*（1） cf公司*（1） ···cf*N*（1） cf公司*（2） cf公司*（2） ···cf*N*(2). . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .查阅*（n） cf公司*（n） ···cf*N*（n）表示（n+1）×n*现金流矩阵。从财务角度来看，现金流*i（k）是代表特定基金收入的流入和代表特定基金支出的流出之和。HenceC=Cin+Cout，（2）其中Cin仅包括特定基金的收入，而Cout仅包括特定基金的支出。我们注意到，对于L，Cin包括收益，Coutin包括Premiums。设Y（t）表示时间间隔[0，t]内的利率。那么贴现函数v（t）的形式为ν（t）=e-Y（t）。引入以下符号很有用=（e-Y（0），e-Y（1）。。。，e-Y（n））T∈ IRn+1和（Y）=M=（M，M，…，mn）T∈ IRn+1，mk=IE（e-Y（k））。当Y（t）由Ornstein-Uhlenbeck过程或Wiener过程建模时，矩阵M的精确形式参见文献[4]。让我们注意到，对于常数利率，我们有ν（0，k）=νkand M=（1，ν，ν，…，νn）T。此外，Let=（1，1，1，…，1）T∈ IRN公司*,Ik+1=（0，0，…，1 |{z}k+1，…，0）T∈ IRn+1，Jj=（0，0，…，1 |{z}j，…，0）T∈ IRN公司*,对于每个j=1，2。。。，N*k=0，1，2。。。，n、 此外，对于任何矩阵A=（aij）n+1i，j=1let Diag（A）是对角矩阵Diag（A）=a0···00 a。0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0。an+1n+1.如果满足等价原则，即（L）=0，则保险费称为净保费。为了研究L的第一时刻，我们做出以下标准假设（另见[5]、[8]或[12]）：假设A1随机变量X*（t） 与Y（t）无关。假设A2随机贴现函数e的一阶矩-Y（t）是有限的。预付的净单笔保费（在时间0时，当X*（0）=1）对于由（S）建模的保险*, T*) 等于（参见[5]）π=π（0）=MTDiag辛德S

（3） 此外，根据【5】，在前m个单位（m≤ n） 如果X*（t） =1个等式P=MTDiag辛德SMThI公司-Pn+1k=m+1IkITkiDJ，（4），其中（4）中的分母等于临时（m年）终身年金合同的精算值–a（0，m- 1） 。对于每种类型的保险，可使用公式（3）计算单笔净保费。重要的是，必须修改净期保费的公式，因为保费可能不仅在X*（k） =1，但当X*（k） 在其他州（当然是那些被保险人还活着的州）。我们在定理1中导出了周期溢价的公式。设¨a1（i）（k，k）表示在[k，k]期间应付的终身年金到期合同产生的单位福利流的精算值，如果X*（k） =i代表k∈ [k，k）。精算值是在保险期开始时计算的（k=0）。我们默认假设X*（0）=1。引理1假设A1-A2成立，X*(0) = 1. 然后用于*, T*) 我们有¨a1（i）（k，k）=MTk-1Xt=套件+1ITt+1！DJi。（5） 证明。让我们观察一下，在假设A1-A2下，我们有¨A1（i）（k，k）=k-1Xt=kIEe-Y（t）· IP（X*（t） =i | X*(0) = 1). （6） 自X起*（0）=1，然后IP（X*（t） =i | X*（0）=1）=IP*j（t）。莫雷奥维e-Y（t）= MTIt+1，（7）IP*i（t）=ITt+1DJi。（8） 将（7）和（8）应用于（6），我们得到了¨a1（i）（k，k）=k-1Xt=kMTIt+1ITt+1DJi=MTk-1Xt=套件+1ITt+1！DJi，完成了（5）的证明。为了确定当流程{X*（k） }在时间间隔[k，k]中处于状态iin，有必要指定在时间段[0，k]从状态1到状态i的最短可能的转换序列。请注意，多状态模型提醒directedgraph，其中状态对应于图的顶点（节点），directtransitions对应于节点之间的边。

因此，为了找到各州之间的最短路径，我们使用图优化方法。设w=（（i，i），（i，i）。。。，（ik-1，ik）），其中i，i。。。ik∈ S*, 在模型中表示从状态到状态i的路径*, T*). 由d（w）表示w i.e.d（w）=X（i，j）的路径长度∈T*1I{（i，j）w} 。（9） 此外，设δ（i，ik）=minwd（w）是从ito ik开始的最短路径的长度，其中最小值贯穿从ito ik开始的所有路径。观察最短路径（如果存在）必须是直路径，即路径的所有节点都不同。这个最短路径可以通过Dijkstra算法确定【7】。让Sp S*使X*（k）∈ SPK=0，1。。。，m级- 1意味着支付了期间溢价。定理1给出了此类溢价的公式。定理1假设等价原理成立，并且满足假设A1-A2。此外，对于扩展的多状态模型*, T*) 为保险人的全损基金定义现金流矩阵，并为k=0、1、2、…、支付保险费，m级- 1如果X*（k） =土地i∈ Sp.那么在保险期的前m个单位内支付的净期保费PSP的公式为PSP=MTDiag辛德SPi公司∈Sp公司∧δ（1，i）<m¨a1（i）（δ（1，i），m），（10），其中¨a1（i）（δ（1，i），m）=MT项目经理-1k=δ（1，i）Ik+1ITk+1DJiandδ（1，i）是（S）中从状态1到状态i的最短路径*, T*).证据对于多州保险，等价原则IE（L）=0可写成以下形式（文献[5]中的定理2]）MTDiagCDT公司S=0，与（2）相结合，给出SMTDIAG-CoutDT公司S=MTDiag辛德S、 （11）设p=pSpbe为在第一个m个单位期间的单位时间开始时提前支付的净期保费，当X*（k） =我和我∈ Sp.自X起*（0）=1，则可在k=σ（1，i）时刻第一次支付保费，前提是σ（1，i）<m。