具有交易费用的欧式期权的混合定价

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英文标题：
《The valuation of European option with transaction costs by mixed
  fractional Merton model》
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作者：
Foad Shokrollahi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper deals with the problem of discrete-time option pricing by the mixed fractional version of Merton model with transaction costs. By a mean-self-financing delta hedging argument in a discrete-time setting, a European call option pricing formula is obtained. We also investigate the effect of the time-step $\\delta t$ and the Hurst parameter $H$ on our pricing option model, which reveals that these parameters have high impact on option pricing. The properties of this model are also explained.
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中文摘要：
本文利用具有交易费用的Merton模型的混合分数形式研究离散时间期权定价问题。通过离散时间条件下的平均自筹资金增量套期保值论证，得到了欧式看涨期权定价公式。我们还研究了时间步长$\\Δt$和赫斯特参数$\\ H$对我们的期权定价模型的影响，这表明这些参数对期权定价有很大影响。还解释了该模型的性质。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> The_valuation_of_European_option_with_transaction_costs_by_mixed_fractional_Mert.pdf (258.93 KB)

2022-5-31 18:37:52 上传

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关键词：欧式期权 交易费用 交易费 Quantitative Applications

Vaasa大学数学与统计系MERTONMODELFOAD SHOKROLLAHIDepartment OF Mathematics and Statistics，P.O.Box 700，FIN-65101 Vaasa，FINLANDAbstract对具有交易成本的欧式期权进行估值。本文利用具有交易费用的Merton模型的混合分数形式研究离散时间期权定价问题。通过离散时间条件下的平均自融资增量套期保值论证，得出了欧式看涨期权定价公式。我们还研究了时间步长δt和赫斯特参数H对我们的期权定价模型的影响，这表明这些参数对期权定价有很大影响。还解释了该模型的性质。1、导言在过去几年中，金融市场一直被视为复杂的非线性动态系统。一系列研究发现，许多金融市场时间序列显示出标度律和长期依赖性。因此，有人提出，经典Black-Scholes（BS）模型[2]中的布朗运动应该被一个具有长程依赖性的过程所取代。如今，BS模型是分析财务数据最常用的模型，一些学者提出了BS模型的修改形式，这对期权定价有着重要影响。然而，它们仍然是理论上的适应，不一定与金融回报率的经验特征一致，如非正态性、长期依赖性等。例如，一些学者[29、18、13、24、25]表明回报率具有长期（或短期）依赖性，这表明在不同的时间尺度下，不同事件之间存在着很强的时间相关性【4、3、11】。

为了寻找更好的模型来描述金融收益序列的长期依赖性，提出了一种混合分馏布朗（MF BM）模型，作为经典BS模型的改进【5、17、16、20、21、19、23、30、6】。使用MFBMI的优势在于市场没有套利。此外，Cheridito[5]已经证明∈ （，1），MF BM与布朗运动等价，因此，在没有交易成本的完整金融市场中，时间步长和长期依赖性对期权定价没有影响。此外，aE邮件地址：foad。shokrollahi@uva.fi.Date：2017年2月2日。2010年数学学科分类。91G20；91G80；关键词和短语。交易费用；混合分数布朗运动；欧式期权；默顿模型。2 Shokrollahin大量的实证研究表明，无论是在股票市场还是在外汇市场，资产价格的路径都是不连续的，并且资产价格都是跳跃的【11、15、8、1、22】。上述实证结果对期权定价具有重要意义。默顿（Merton）[14]开创了期权定价的一场革命，当时标的资产由一个分化过程管理。基于这一理论，Kou【9】、Cont和Tankov【7】也在更大的背景下考虑了跳跃差异环境下的期权定价问题。在本文中，为了捕捉不连续性或不连续性，并考虑金融市场的长记忆特性，引入了混合分数形式的默顿模型，该模型基于泊松跳跃和MF BM的组合。混合分数默顿（MF M）模型基于以下假设，即汇率回报是由两部分组成的随机过程产生的：（1）MF BM产生小的、连续的价格波动；（2）泊松过程产生大的、不频繁的价格跳跃。

这两部分的过程在直觉上很有吸引力，因为它与主要信息不经常随机到达的压力市场一致。这一过程可以为经验观察到的汇率变化分布提供描述，这些分布是倾斜的、轻薄的、比可比较的正态分布和明显的非平稳方差具有长记忆和胖尾巴。此外，我们将展示回报序列中的时间步长和长期依赖性对期权定价的影响，无论是否在iscr ete时间设置中考虑比例交易成本。Leland【10】是一位先驱学者，他研究了交易成本在离散时间内存在的期权复制。在这种观点下，Black和Scholes[2]提出的无套利论点不适用于交易成本在股票或债券交易的所有时刻都发生的模型。问题是，由于几何布朗运动中存在的有限变化，完美复制包括有限数量的交易成本。就这一点而言，三角洲对冲策略是根据交易次数构建的。

交易成本导致无套利原则和一般连续时间交易的失败：对冲定价原则（根据该原则，期权的价格被定义为对冲期权所需的最低初始财富水平）开始生效，而不是无套利。根据之前获得的实证结果以及行为金融学和经济物理学的观点，我们有动机研究操作定价中存在的问题，而价格动态遵循交易成本下的混合分数波动过程，我们假设，满足度t=Seut+σB（t）+σHBH（t）+Ntln j.（1.1），其中S、u、σ和σ是固定的，B（t）是布朗运动，BH（t）是带有赫斯特参数H的分馏布朗运动∈ （，1），Nti是一个泊松过程，强度λ>0，J是一个正随机变量。假设B（t）、BH（t）、NTA和J是独立的。本文分为几个部分。在第二节中，我们将应用delta套期保值策略研究具有交易成本的期权定价问题。此外，当股票价格仍然满足方程式（1.1）时，获得了欧洲期权定价的新框架。第3节致力于经验混合分数MERTON模型3研究和模拟，以展示MFM模型的性能。第4.2节给出了结论。交易成本为{B（t）}t的混合分数型Merton模型期权定价≥0be标准布朗运动与{BH（t）}t≥0be是具有赫斯特参数H的分数布朗运动∈ （，1），定义在完全概率空间上(Ohm, F，Ft，P），绝对价格跳跃大小J是从对数正态分布得出的非负随机变量，即ln（J）=N（uJ，σJ），这意味着J~ 对数正态分布euJ+σJ，e2uJ+σJ（eσJ- 1)泊松过程N=（Nt）t≥0，速率λ。

此外，processesB、BH、N和J是独立的，P是真实世界的概率度量，而（Ft）t∈[0，T]表示P-由（B（τ），BH（τ）），τ生成的过滤增强≤ t、 本节的目的是推导离散时间环境下交易成本下的股票定价公式。考虑（D，S）-债券市场dt和astock St，其中dt=Dert。（2.1）andSt=Seut+σB（t）+σHBH（t）+Ntln Ju，σ，σH∈ R、 D、S、t∈ R+。（2.2）Leland【10】完成了交易成本影响建模的基础工作。他提出了在每个时间步δt重新调整的对冲策略。也就是说，随着每个δt，投资组合都会重新平衡，无论这是否是最优的空洞意义。在以下比例交易成本期权定价模型中，我们遵循Black-Scholes模型中的其他常见假设，但以下例外情况除外：（i）时间t的标的股票价格满足方程（2.2）。（ii）投资组合每δt修订一次，其中δt是一个固定的小时间步长。（iii）交易成本与基础交易的价值成比例。设k表示交易单位美元的往返交易成本。假设U>0的股票以St的价格买入（U>0）或卖出（U<0），那么交易成本由k | U | Stin在买入或卖出中给出，其中k是一个常数。k的价值取决于个人投资者。在MF M模型中，每次交易股票或债券都会产生交易成本，Black和Scholes使用的n-o套利定价不再适用。

问题是，由于MF BM的有限变化，完美复制会产生有限的交易成本。（iv）对冲组合的预期收益等于期权的预期收益。这与之前的离散hedging完全相同，没有交易成本。4 SHOKROLLAHI（v）传统经济学认为，交易是理性的，并使其效用最大化。然而，如果假设他们的行为是有限理性的，那么根据社会心理学的常见证据，交易者的决定既可以通过他们对过去股价的反应来解释，也可以通过模仿其他交易者过去的决定来解释。众所周知，delta套期保值策略在期权定价理论中起着核心作用，并且在交易平台上被广泛使用。根据Tversky和Kahneman[26]提出的可用性启发式，假设交易员遵循、锚定并模仿Black-Scholes delta对冲策略来为期权定价。设欧式看涨期权的价格用到期时间T表示，罢工价格K用边界条件C（T，St）=（St）表示- K） +，C（t，0）=0，C（t，St）→ 斯塔斯街→ ∞.（2.3）然后，C（t，St）由以下定理导出。定理2.1。

每t的价格∈ 在T时到期的带罢工价格K的欧式看涨期权的[0，T]由c（T，St）给出=∞Xn=0e-λ′（T-t） （λ′（t- t） ）nn！hStφ（d）- Ke公司-r（T-t） φ（d）i.（2.4）此外，C（t，St）满足以下等式Ct+rStCSt+StbσCSt公司- rC+λE[C（t，JSt）- C（t，St）]- λE[J- 1] St公司CSt=0，（2.5），其中d=lnStK公司+ rn（T- t） +σn（t- t） σn√T- t、 d=d- σn√T- t、 （2.6）λ′=λE（J）=λEuJ+σJ，σn=bσ+nσJT- t、 （2.7）rn=r- λE（J- 1） +n ln E（J）T- t=r- λ（euJ+σJ- 1） +n（uJ+σJ）T- t、 （2.8）bσ=σ+σH（δt）2H-1+krπσδt+σH（δt）2H-2.符号（Γ），（2.9）符号（Γ）是CSt，n是价格跳跃的次数，δt是最小的固定时间步长，k是交易成本，φ（.）是累积非线性分布。此外，使用看跌-看涨平价，我们可以很容易地获得看跌货币期权的估值模型，该模型由以下推论提供。混合分数MERTON模型5冠状动脉2.1。具有交易费用的欧式看跌期权的v值是给定的yp（t，St）=∞Xn=0e-λ′（T-t） （λ′（t- t） ）nn！香港交易所-r（T-t） φ(-d）- Stφ(-d） i.3。定价公式的性质在本节中，我们介绍了MF M的对数收益密度的性质。在离散时间和连续时间的情况下，还讨论了赫斯特参数和时间步长对我们的模型波动率（σn）的影响。然后，我们证明了这些参数在离散时间环境中起着重要作用，无论有无交易成本。3.1。记录返回密度。

在MF M的情况下，假设日志返回跳转大小为（Yi）=（ln Ji）~ N（uJ，σJ）和log returnxt=ln（St/S）的概率密度作为以下形式的快速收敛序列实现：P（xt∈ （A）=∞Xn=0P（Nt=n）P（Xn∈ A） | Nt=n）P（xt）=∞Xn=0e-λt（λt）nn！N（xt；ut+NuJ，σt+σHt2H+NσJ），（3.1），其中N（xt；ut+NuJ，σt+σHt2H+NσJ）=q2π（σt+σHt2H+NσJ）exph-（xt）- （ut+nuJ））2（σt+σHt2H+nσJ）i（3.2）项P（Nt=n）=e-λt（λt）nn！是资产价格j umpsn在长度t和P（xn）的时间间隔内的概率∈ A） | Nt=n）=n（xt；ut+nuJ，σt+σHt2H+nσJ）是对数回归的混合分数正态密度。结果表明，资产价格在一定的时间间隔内上涨了1倍。因此，在MF M模型中，对数收益密度可以描述为资产价格跳跃n次的概率的混合分数正态密度的加权平均值。对数回归密度P（xt）的显著特性在M F M中观察到。首先，uJsign表示预期的日志返回跳转大小，E（Y）=E（ln J）=uJ，这表示偏度符号。如果uJ<0，则对数返回密度（xt）显示负偏斜，如果uJ=0，则其对称，如图1.6 SHOKROLLAHI右侧所示-2.-1.5-1.-0.5 0.5 1 1.5 200.20.40.60.811.21.41.61.8对数-返回（xt=ln（St/S0））密度函数λ=1λ=10λ=20-2.-1.5-1.-0.5 0.5 1 1.5 200.20.40.60.811.21.41.6Log-返回（xt=ln（St/S0））密度函数uJ=-0.4uJ=0uJ=0.4图1。M F M的对数回归密度。固定参数为σ=0.25、σH=0.25、H=0.76、σJ=0.1、λ=3、uJ=0、u=0.009和t=0.5。其次，如图1左侧所示，强度λ的值越大（即，对跳跃频繁发生的期望值）会导致尾密度越大。

很明显，λ=20的情况比λ=1或λ=10的情况小得多，因为过量峰度被确定为标准化度量（通过标准偏差）。表1和表2分别显示了图1右侧和左侧MFM’sLog回报密度的年化矩。表1：。M F M的对数返回密度矩模型平均标准偏差偏度超额峰度uJ=-0.4-1.1910 0.6161-0.5082 0.2806uJ=0.0090 0.1361 0 0.706uJ=0.4 1.2090 0.6161 0.5082 0.2806表2。M F M的对数回归密度矩模型平均标准偏差s kewness过剩峰度λ=1 0.0040 0.1161 0 0.0223λ=10-0.0411 0.2061 0 0.706λ=20-0.0913 0.3061 0 0.06403.2。参数的影响。Mantegna和Stanley【12】作为先驱学者，从经济系统的复杂科学中提出了标度不变性方法，这导致了对金融标度定律的大量研究。经济学中的主要问题是，在期权定价中，标度律和长期相关性对价格的影响是否显著。这个问题的答案是肯定的。例如，与高频数据建模相关的财务重大问题之一与分析不同时间尺度的波动性有关。混合分数默顿模型7备注3.1。在没有交易成本的连续时间设置（δt=0，λ6=0）中，隐含波动率为bσn=σ+nσJT-t、 因此，Option值与Merton跳跃扩散模型相似【15】。此外，如果在没有交易成本和跳跃情况下δt=0，则MF M模型将简化为BS模型Ct+rStCSt+StσCSt公司- rC=0，（3.3），这表明在连续时间设置下（δt=0），Hur st参数H和时间步长δt对期权定价模型没有影响。备注3.2。