具有非线性财富的连续时间均值-方差投资组合选择

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英文标题：
《Continuous time mean-variance portfolio selection with nonlinear wealth
  equations and random coefficients》
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作者：
Shaolin Ji, Hanqing Jin, Xiaomin Shi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper concerns the continuous time mean-variance portfolio selection problem with a special nonlinear wealth equation. This nonlinear wealth equation has nonsmooth random coefficients and the dual method developed in [7] does not work. To apply the completion of squares technique, we introduce two Riccati equations to cope with the positive and negative part of the wealth process separately. We obtain the efficient portfolio strategy and efficient frontier for this problem. Finally, we find the appropriate sub-derivative claimed in [7] using convex duality method.
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中文摘要：
本文研究了一类具有特殊非线性财富方程的连续时间均值-方差投资组合问题。这种非线性财富方程具有非光滑的随机系数，而文[7]中发展的对偶方法不起作用。为了应用平方完成技术，我们引入了两个Riccati方程来分别处理财富过程的正负部分。我们得到了该问题的有效投资组合策略和有效前沿。最后，我们使用凸对偶方法找到了文献[7]中声称的合适的次导数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

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PDF下载：
--> Mean-variance_portfolio_selection_with_nonlinear_wealth_equations_and_random_coe.pdf (326.35 KB)

2022-5-31 19:33:10 上传

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关键词：投资组合选择 连续时间 投资组合 非线性 Mathematical

具有非线性财富方程和随机系数的均值方差组合选择*金汉清+史晓敏2022年1月6日本文研究了一类非线性财富方程的连续时间均值-方差投资组合选择问题。这一问题是通过对线性二次型（LQ）控制技术的略微推广来解决的。通过引入两个新的广义随机Riccati方程，我们得到了封闭形式的最优投资组合和有效前沿。从我们的结果来看，与经典的线性市场相比，人们更有可能将资金投资于无风险资产。但当利率为随机过程时，g广义LQ方法失效。因此，我们探索了另一种技术，即凸对偶方法来研究相应的对偶问题。当利率确定时，我们得到方差最优鞅测度，从中我们发现非线性金融市场和经典线性市场之间的联系。当利率为随机时，凸对偶方法可以解决一个子问题，但who-le问题仍然是一个开放的问题。关键词。均值-方差组合选择；非线性财富方程；Riccati方程；随机利率；凸对偶；方差最优鞅测度数学主题分类（2010）60H10 93E201简介均值方差投资组合选择问题旨在找到最优投资组合策略，该策略在其预期最终财富等于规定水平的情况下，最小化其最终财富的方差。马科维茨（Markowitz）[26]、[27]首先在单周期背景下研究了这一pr问题。它的多周期和连续的时间部分在文献中得到了广泛的研究；参见Bielecki等人【1】、Jin等人【18】、Li等人【23】、Liet等人【24】、Zhou等人【30】及其参考文献。

大多数关于均值-方差组合选择的文献都停留在一个线性市场中，也就是说，由于像无摩擦交易这样的适当市场设置，财富方程是一个线性方程。然而在现实中，财富方程很少是线性的，因为交易中存在不同类型的摩擦，我们必须处理市场中的非线性。例如，一个大型*山东大学中泰证券金融研究所，济南250100；电子邮件：jsl@sdu.edu.cn.This国家自然科学基金（11971263）资助；受《中国大学学科人才引进计划》（第B12023号）支持。+牛津大学数学研究所和牛津人定量金融研究所，牛津伍德斯托克路，牛津OX2 6GG，英国；电子邮件：jinh@maths.ox.ac.uk通讯作者。山东财经大学数学与数量经济学院，济南250100；电子邮件：shixm@mail.sdu.edu.cn.本研究得到了国家自然科学基金（编号：11801315）的资助；在山东省自然科学基金（编号：ZR2018QA001）的支持下，投资者的投资组合可能会影响股票价格，从而导致非线性财富方程。当股票上的遗传算法必须缴纳一些税时，我们也会遇到财富方程中的非线性。对于具有非线性财富方程的连续时间均值-方差投资组合选择问题，Ji【14】获得了财富方程漂移可微时最优终端财富的一个必要条件。Fu等人[9]研究了具有较高借贷率的连续时间均值-方差投资组合选择问题，其中财富方程是非线性的，系数不是光滑的。

他们利用HJB方程的visc-osity解来描述最优投资组合策略。本文研究了一类非线性财富方程的连续时间均值-方差投资组合问题。这类非线性财富方程具有非光滑随机系数。当系数都是确定性连续函数时，Ji和Shi【15】通过c对应的HJB方程的粘度解解决了这个问题。但对于具有随机回报率和随机波动率等随机系数的非线性财富方程，HJB方程的方法不再适用。受Hu和Zhou[13]研究锥约束连续时间均值-方差投资组合问题的启发，发展了一种求解非线性财富方程均值-方差投资组合选择问题的广义LQ方法。我们发现，我们的问题可以通过研究过程的积极和消极部分来解决-当利率是确定的时，分别删除（见定理3.8）。这种方法导致了两个新的广义随机Riccati方程。通过经验变换，我们证明了这两个广义随机Riccative方程的全局可解性。此外，我们还证明了过程Xt的正或负-DERTTRSDS仅取决于其初始值的正负。因此，最优投资组合和有效前沿以闭合形式获得。当利率随机时，广义LQ方法根本不起作用。因此，我们利用凸对偶技术结合鞅方法研究了随机利率下的均值-方差问题。文献[3]建立了效用优化问题的凸对偶。

其思想是研究Corres-ponding对偶问题，然后证明原始问题和对偶问题之间没有间隙b。Harrison等人[10–12]提出的Martingale方法的思想是首先确定最优的最终财富，然后通过复制最优财富来获得最优投资组合。通过这个过程，Bielecki等人[1]研究了经典线性财富方程的破产禁止的连续时间均值-方差投资组合选择问题。Cz-ichowsky和Schweizer[5]研究了一般半鞅模型中的一个单约束均值-方差问题。Ji【14】利用终端摄动技术研究了具有非线性财富方程的连续时间均值-方差问题。他推导了一个描述最优终端财富的随机极大值原理。但Ji【14】中的末梢扰动方法在很大程度上依赖于漂移的差异性假设。对于我们的不可微情况，关键的一步是找到一个合适的次导数，以构建最优财富，这在[14]中没有涉及。首先，我们阐述了利率确定时的凸对偶方法，得到了广义LQ方法无法得到的一些尖锐结果。我们成功地获得了方差最优鞅测度，这是一个在[29]中首次引入的概念，从中我们发现了非线性金融市场和经典线性市场之间的联系。事实上，这两种市场通过等价的市场衡量指标联系在一起，也被称为风险中性衡量指标（参见[10–12]）。值得一提的是，在我们的环境中，金融市场是不完整的，这产生了许多等效的可干预措施。

基于方差最优鞅测度的显式特征，我们表明，从优化的角度来看，我们的非线性金融市场等价于具有适当的霍森平均收益率的线性金融市场。而这个平均超额收益率正是Ji的推论4.4中所声称的次导数【14】。其次，我们试图解决利率随机的问题。我们发现，在附加假设下，凸对偶方法可以解决第一个子问题，即二次套期保值问题（2.4）。然而，整个问题仍然悬而未决。请注意，广义LQ方法无法解决此子问题（2.4）。因此，凸对偶方法似乎更有效，并为将来完全解决随机利率的均值-方差问题提供了一种可能的方法。本文的组织结构如下。在第2节中，我们将模拟pr问题。在第3节中，我们使用了广义LQ方法来解决我们的问题。

在第4节中，我们阐述了当利息率既确定又随机时的凸对偶方法。2问题的公式W=（W，…，Wn）′是在过滤的完全概率空间上定义的标准n维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中{Ft}t≥0表示与n维布朗运动相关的自然过滤，并增强。我们引入以下空间：L(Ohm, 英尺；R） =nξ：Ohm → Rξ是FT可测量的，E |ξ|<∞o、 L（0，T；R）=nφ：[0，T]×Ohm → R（φt）0≤t型≤这是一个{Ft}t≥0-适应过程，ERT |φt | dt<∞o、 L∞（0，T；R）=nφ：[0，T]×Ohm → R（φt）0≤t型≤这是一个{Ft}t≥0-自适应本质有界过程。这些定义以明显的方式推广到φ为Rm、Rnor Rm×n值的情况。考虑一个由无风险资产（货币市场工具或债券）组成的金融市场，其价格为m（m≤ n）价格为S、…、的风险证券（股票）。。。，sm投资者决定何时∈ [0，T]他对tal wealth XT投资第i支股票的金额πi，i=1。。。，m。投资组合πt=（πt，…，πmt）′和πt：=Xt-Pmi=1πitare Ft adapted。在本文中，我们采用以下符号。对于任何x∈ Rm，x+=（x+，…，x+m）′，x-= （十）-, ..., x个-m） ′，其中x+i=xi，如果xi≥ 0；0，如果xi<0，并且x-i=(-xi）+，i=1。。。，m、 对于任意x，(R)x∈ Rm，我们写x≤ \'\'x如果xi≤ xi，i=1。。。，m、 考虑以下非线性财富方程：dXt=（rtXt+（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt+π′tσtdWt，X=X，t∈ [0，T]（2.1）其中RTI是利率，uT=（uT，…，umt）′，\'uT=（\'uT，…，\'umt）\'）是多头头寸和空头头寸的平均超额回报率，σT={σijt}1≤我≤m、 1个≤j≤nis风险资产的波动率。

注：财富方程（2.1）的位移是Lipschitz，但与π无关。假设1 r是一个确定性的可测有界标量值函数。假设2u，(R)u∈ L∞（0，T；Rm）和uT≤ ut，i=1。。。，m、 σ∈ L∞（0，T；Rm×n）和ε>0，ρ′σtσ′tρ≥ ε|ρ|，ρ∈ Rm。事实上，以下三个例子激励我们研究财富方程（2.1）。为了简单起见，我们认为这三个例子中的每一个都只有一种存货。示例2.1（卖空成本高昂）Jouini和Kallal【19，20】提出了以下模型。让“bt”≥ 英国电信≥ rt，a.s.当卖空是可能的但成本高昂时，股票的多头和空头头寸有不同的预期回报。在这种情况下，资产价格如下所示：dSt=Strtdt，S=S；dSt=某物btI{πt≥0}+(R)btI{πt<0}dt+σtdWti，S=S>0。然后财富过程X≡ 被赋予初始财富x>0的自融资投资者的Xx，π受以下随机微分方程控制，dXt=πtdStSt+（Xt- πt）dStSt=（rtXt+π+tut- π-t？ut）dt+πtσtdWt，X=X，其中ut=bt- rt，\'ut=\'bt- rt，t∈ [0，T]。例2.2（大型投资者的价格压力模型）Cuoco和Cvitanic给出了以下价格压力模型。设ε为小正数，使bt-rt公司≥ ε≥ 大型投资者的投资组合策略可能会影响股票的预期回报，且影响程度很小。

资产价格受dSt=Strtdt，S=S；dSt=某物英国电信- εsgn（πt）dt+σtdWti，S=S>0，其中sgn（x）=|x | x，如果x 6=0；0，否则。在这种特定的大型投资者模型中，购买风险证券会降低其预期回报，而做空风险证券则会增加其预期回报，如库科（Cuoco）和维坦尼克（Cvitanic）[2]所述。财富方程式可以写成dXt=（rtXt+（bt- rt）πt- ε|πt |）dt+πtσtdWt=（rtXt+π+tut- π-t？ut）dt+πtσtdWt，X=X，其中ut：=bt- rt公司- ε和ut：=bt- rt+ε，t∈ [0，T]。示例2.3（含税交易）El Karoui等人【8】研究了以下含税金融模型。Letα∈ [0，1）是一个常数。和bt≥ rt，a.s。。资产价格如下所示：dSt=Strtdt，S=S；dSt=St（btdt+σtdWt），S=S>0。此外，股票收益还必须缴纳一些税款。在这种情况下，财富等式满足dXt=（rtXt+（bt- rt）πt- απ+（bt- rt））dt+πtσtdWt=（（rtXt+π+tut- π-t？ut）dt+πtσtdWt，X=X，其中ut=（1-α） （英国电信- rt）和？ut=bt- rt，t∈ [0，T]。备注2.4当ut=(R)ut，t∈ [0，T]，a.s.，财富方程（2.1）退化为经典线性财富方程。定义2.5如果σ′π，则称投资组合π可接受∈ L（0，T；Rn）和（X，π）满意度（2.1）。注意σ是有界的，所以σ′π∈ L（0，T；Rn）等价于π∈ L（0，T；Rm）。用可容许投资组合π的（x）集表示。在假设1下，对于给定的期望水平K≥ xeRTrsds，考虑以下连续时间均值方差投资组合选择问题：最小化Var（XT）=E（XT- K） ，s.t。EXT=K，π∈ A（x）。（2.2）如果至少有一个投资组合同时满足这两个约束，则称问题（2.2）为可行的。最优策略π*to（2.2）被称为与K相对应的有效策略。用X表示最优终端值*T、 然后（Var（X*T） ，K）称为有效点。

所有有效点的集合{（Var（X*T） ，K）| K∈ [xeRTrsds+∞)} 被称为有效前沿。为了处理constraint EXT=K，我们引入了拉格朗日乘子-2λ ∈ 并得到如下无约束优化问题：最小化E（XT- K）- 2λ（外部- K） =E（XT- d）- （d）- K） =：^J（π，d），s.t.π∈ A（x），（2.3），其中d：=K+λ。然后，问题（2.2）和（2.3）之间的联系由Lagr ange dualitytheorem（见Luenberger[25]）minπ提供∈AEXT=千伏安r（XT）=最大值∈Rminπ∈A^J（π，d）。因此，我们可以将问题（2.2）分为以下两个子表。第一个子问题是解决未解决的d问题最小化E（XT- d） ，s.t.π∈ A（x），（2.4）对于任何固定的d∈ R、 第二个子问题是找到达到maxd的拉格朗日乘子∈Rminπ∈A（x）^J（π，d）。（2.5）3广义随机LQ方法让我们首先了解问题（2.2）的可行性。定理3.1在假设1和2下，均值-方差问题（2.2）对任何K都是可行的∈[xeRTrsds+∞) 当且仅当ifmXi=1E“ZT（uit）+dt#>0或ifmXi=1E”ZT（(R)uit）-dt#>0。（3.1）证明：（1）我们首先证明“if”部分定义i={（t，ω）：uit>0}，i=1，2。。。，m、 如果PMI=1 HRT（uit）+dti>0，则存在i∈ {1，2，…，m}使得Mi的乘积测度（根据P和L e besgue测度）非零。用σit=（σi，1t，···，σi，nt）表示σtb的第i行，用|σit |表示向量σit的长度。由于σ是可逆的，很明显σit＞0。设置πit=1/|σit |，如果i=iand（t，ω）∈ Mi；0，如果i 6=ior（t，ω）/∈ 密歇根州。对于任何非负实数β，我们构造了一个组合πβ，t：=β（πt，···，πmt）′。