宏观金融的经济物理学：局部多流体模型和曲面

在本文中，为了简单起见，我们将（5.2.3）与势手G视为具有h和G常数的线性函数。             （5.4.3）式（5.4.1-3）将投资I（t，x，y）和利润P（t，x，y）表示为：      (5.5)     （5.6）i使用坐标（X，Y）在e空间上的宏观域的最危险点处，在稳态下，对投资和利润进行估值由于式（5.2.1；5.2.2）b>0，d<0，因此，在大域矩形上最危险点（X，Y）的投资I（t，X，Y）取最小值I。以及在宏观域上mostrisky点（X，Y）的利润P（t，X.Y）取最大值P。由于式（5.2.2；5.5），投资I（t，X，Y）从坐标为（0,0）的最无风险和安全点的最大值降至最小值最危险点（X，Y）的值。同时，根据公式（5.2.1；5.6），利润P（t，x，y）在最危险点（x，y）具有最大值，在最安全点（0,0）具有最小值。ThusEq。（5.5；5.6）给出宏观金融领域投资和利润在经济空间上的稳态分布的简单示例，并描述常见关系-“风险增加利润”。这些简化的线性关系意味着在坐标（0,0）等于的稳态大气中的投资和利润安全点：   假设边界y=y的小扰动y=ξ（t，x）不会改变边界y=y上的投资和利润值。

y=y时处于稳定状态    因此，在曲面y=ξ（t，x）上，我们得到            因此获得：  （5.7）式（5.7）确定hyand gy之间的关系式（4.1；5.7）给出：       （5.8）使用连续性方程（5.1.1；5.1.2）获得关于电势φ和.  让我们将公式（5.5；5.6）替换为连续性方程（5.1.1；5.1.2），并忽略具有电势和“金融加速度”的非线性项h=（hx，hy）和g=（gx，gy）。势φ和 采取形式：      （6.1）公式（6.1）的处理允许两种近似值。第一个也是最简单的近似是基于速度ν和u的发散等于零的假设，因此                  （6.2）如果是，等式（6.1）关于电势φ和 采取形式：       （6.3）第二近似值不使用公式（6.2），因此，关于电势的公式（6.1）形成：            （6.4）将潜力作为            （6.5）势（6.5）的等式（5.8）给出了函数f（y）的关系：                  （6.6）让我们研究等式（6.2；6.3）和等式（6.4）所描述的两种情况，以及电位（6.5；6.6）。4.1. “不可压缩”金融流体和类表面波一级近似基于方程式（6.2；6.3），描述速度零发散的情况。

在流体动力学中，速度散度为零的流体被称为“不可压缩”流体，我们对此近似使用相同的概念。对于电势（6.5），等式（6.3）给出了函数f（y）的方程式，并定义了对Iand P的约束：          （7.1）  （7.2）关系（5.1.1-5.2.2；5.8；6.6）给出            （7.3）根据公式（7.2）和公式（5.2.1；5.2.2）          （7.4）和函数f（y）as（7.2）在y<y的宏观域内消散。因此，“不可压缩”关系（6.2）定义了投资和利润点（X，y）的值（7.4），从而定义了函数（5.5；5.6）。“不可压缩”式（6.2）确定频率之间的关系 And波数k.根据公式（6.2；6.5；6.6）           （7.5）波群速度c等于              （7.6）这里l=2π/k是波长。因此，波长l<<X的短波沿宏观域的长边界y=y传播的速度比长波l慢≈十、 换句话说，风险边界上的长尺度扰动y=y沿着风险边界传播的速度快于短尺度扰动。由公式（4.1；5.7）定义的函数y=ξ（t，x）的宏观边界扰动给出：  现在，让我们研究第二种情况，根据公式（6.4）描述“可压缩”金融流体模型的类面波。4.2。“可压缩”金融流体和类表面波第二种情况为EQ描述的“可压缩”金融流体呈现类表面波。(6.4).

将电势as（6.5）代入式（6.4），得到函数f（y）的方程：         （8.1）式（8.1）为四阶常微分方程：                (8.2)  根据公式（5.1.1；5.1.2；5.2.1；5.2.2），Q可能为正或负，并且                 （8.2.1）式（8.2）有四个根s，。。计算其总和根sii=1，。。4由系数qi确定，i=0,1，。。4根Si和系数Qi之间的关系定义了频率之间的约束, 波数k和I，以及其他参数。这些约束定义了频率之间的依赖关系 波数k和它决定了波群速度，类似于公式（7.5；7.6）。式（8.2）的特征多项式：                 （8.3）式（8.3）的每个根s将式（8.1；8.2）的部分解定义为                   （8.4）解f（y）可以是（8.4）的线性组合，由（8.3）的根定义。由于特征多项式（8.3）[22]：1的根，等式（8.1）可能有三种解。所有根s，。。sof公式（8.3）是真实的。根据Vieta定理和等式（8.2.1），两个根应为正，两个根应为负。式（8.1）的溶液f（y）可能具有以下形式         (8.5)2. 公式（8.3）的两个根s1,2O为实数，两个根s3,4=r+/-iθ为复共轭。根据维耶塔定理和公式（8.2.1），如果实部r>0，则s1,2<0，反之亦然。q的实解f（y）。（8.1）可采用以下形式：                        (8.6)3.

式（8.3）的四根为复数s1-4=+/-r+/-i1,3                               （8.7）公式（8.1）的最简单解，对于公式（8.3）的实根s>0，给出电势φ和 作为：         （9.1）由于等式（5.9；9.1），函数y=ξ（t，x）的形式为：  （9.2）投资I和利润P密度波在静止表面附近y=y形成    (9.3)    （9.4）投资密度I（t，x，Y）（9.3）除以dx沿边界Y=Y除以（0，x）的积分，在Y=Y的e-space Rdefine投资上，作为时间的函数：            （9.5）式（9.5）表明，投资和利润面状波（9.2-9.4）可以在稳态风险边界y=y附近诱发整个宏观金融投资和利润的时间波动，频率为. 因此，接近最大风险评级Y的投资或利润的不规则时间波动可能表明在边界Y=Y沿另一个风险轴X传播的随机类面波的作用。接近稳态（X，Y）的投资和利润流类似于流体力学中由面波诱发的液流【14】。

单位投资和利润流量在风险面y=y附近循环，循环轨迹为：      由于接近稳态（x，y）的小范围环流      投资和利润流以及构成这些流的电子粒子的轨迹：       对于最简单的解，公式（9.1）s>0，因此循环和投资扰动的规模以及利润在宏观金融领域y<y内呈指数下降。现在让我们证明公式（8.1）的解（8.5-8.7）可以描述y<y的宏观领域内小扰动和表面波的指数放大。如果公式（8.3）有四个实根，那么根据Vieta定理两个根应为负。设s<0且s>0，则λs+λs>0；λ+λ=1电位形式：      考虑到等式（5.5；5.6），投资和利润可以表示为：                  对于s<0，y<y的投资和利润扰动与以下各项成比例：   它们随着（y-y）<0的指数增长。让我们再举一个可能的EQ解决方案的例子。(8.1). 设根为等式（8.6），并假设一个实根s>0，复根s3,4=r+/-iθ具有负实部r<0。

那么电位可能有以下形式：             如果复根的r<0的实部为负，则投资和利润扰动        并且随着y<y的指数增长。有趣的是，投资和利润的扰动是由因素调节的      这些调节可以建立投资和利润扰动的内部结构，从宏观边界y=y。因此，等式（8.1）承认了描述宏观域内投资和利润指数化的解决方案，这些解决方案是由边界y=y上的小扰动引起的，这种放大可以影响宏观金融可持续性。投资和利润相互作用的简单模型的宏观金融面波显示了内部金融过程的隐藏复杂性。描述不同金融变量的类似面波的传播和相互作用，对于建立宏观金融可持续性和演化模型可能很重要，这些问题需要进一步研究。结论以风险评级作为经济空间坐标对经济主体的描述为宏观金融建模的新视角奠定了基础。将宏观金融视为填补经济空间特定领域的经济主体的集合，可以通过类似流体动力学的近似来描述宏观金融状态和演化。最有趣的问题是描述各种宏观金融浪潮的产生、传播和相互作用，以及它们对宏观金融演变和可持续性的影响。我们认为，波是任何复杂系统内部动力学的必要元素。

宏观金融无疑是最复杂的系统之一，它的正确描述和管理需要相应的复杂方法和模型。利用经济空间，可以将宏观金融变量描述为时间函数，将宏观金融变量描述为时间函数和坐标。这扩展了宏观金融描述的方法和技术，为宏观金融波动模型的发展开辟了道路。【5-9】中描述了与声波具有一定相似性的宏观金融波。本文介绍了与流体中表面波相似的SMACRO金融波。我们研究了二维经济空间上投资和利润之间简单互动的模型，该模型描述了两种风险的作用。为了模拟常见的金融关系：“更多的风险-更多的利润”，我们引入了“金融加速”的势H和G，H=（hx，hy）和G=（gx，gy），描述了经济空间上投资和利润的线性稳态分布。我们强调了统计物理意义上的平衡态与宏观金融中经济空间上的稳态分布之间的区别。我们认为宏观金融是从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态下的强“非均衡”系统。通过对稳态的描述，可以研究宏观金融变量的稳态分布对风险坐标的依赖性，并建立能够管理从一个宏观金融稳态到另一个宏观金融稳态过渡的金融政策模型。宏观金融系统的经济主体用最小和最大风险等级定义的边界填充领域。

宏观金融投资和利润在宏观领域风险边界附近的扰动可能会诱发沿风险边界传播的波，类似于流体中的表面波。投资和利润就像风险波一样从宏观金融领域的一部分向另一部分传播，并在不同的宏观金融变量之间进行相互作用。即使是最简单的表面模型，也承认宏观金融变量（如宏观领域内的投资或利润）扰动的指数放大。因此，风险利润边界Y=Y的小扰动可能会在Y<Y的相对安全区域造成利润的巨大冲击，并成为宏观金融不稳定的根源。在本文中，我们研究了局部近似的宏观金融模型，该模型提出金融交易是在坐标接近同一点x的代理之间进行的。换句话说，我们假设代理仅与风险率相同的代理进行金融交易。这种简化允许通过简单微分算子通过等式（3.1；3.2；5.1-5.4）描述经济变量之间的相互作用。即使是简化的模型也证明了极端的复杂性，揭示了各种宏观金融波动。[8]中描述的代理人之间具有“距离行动”金融交易的宏观金融模型。宏观金融对经济空间的描述出现了许多难题。主要问题涉及计量经济学。目前还没有足够的计量经济数据对经济空间进行建模。要做到这一点，应开发统一的风险评估方法，以绘制Rn上任何经济主体的风险评级。风险基准可以建立计量经济学验证程序，并可以开发与物理测量精度相同的计量经济学测量。

风险评估测量和比较可以验证初始模型假设，验证或纠正宏观金融模型，将预测与观测数据进行比较，并概述预测和观测不一致的原因。这需要各国央行和金融监管机构、评级机构和市场主管部门、企业和政府统计局、学术和商业研究人员等的合作。我们相信，这些努力将有助于更好地理解和管理宏观金融。参考文献1。Cochrane，J.（2016），《宏观金融》，SIEPR讨论文件第16-033号，斯坦福大学斯坦福经济政策研究所，斯坦福大学，加利福尼亚州94305.2。Bauer，M.D.和G.D.Rudebusch（2016），解决了宏观金融期限结构模型中的跨越难题。财务回顾，内政部：10.1093/rof/rfw044.3。Brunnermeier，M.K.和Y.Sannikov（2016），《宏观、货币和金融：持续时间方法》。NBER WP 22343。https://ssrn.com/abstract=2794789.4.Kim，D.H.（2009），《宏观金融建模的挑战》。《圣路易斯联邦储备银行评论》，91（5，第2部分），第519-44.5页。Olkhov，V.，（2016），关于经济空间概念。《国际金融分析评论》，47372-381，DOI-10.1016/j.irfa。2016.01.001.6.  Olkhov，V.（2016），《金融、风险和经济空间》。ACRN《牛津金融与风险展望杂志》，金融风险与会计展望特刊5209-221.7。Olkhov，V.（2017），《经济物理学宏观经济模型》，http://arxiv.org/abs/1701.066258.Olkhov，V.（2017），《宏观经济学的经济物理学：“远距离行动”和波浪，http://arxiv.org/abs/1702.02763.9.Olkhov，V.，（2017），宏观金融定量波动模型。《国际金融分析评论》，第50143-150页。